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Frage zum Restklassenring

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: polynom, Restklassenring, Ring

Mr-Maths aktiv_icon

11:49 Uhr, 02.07.2016

Hey zusammen,

mir ist das Thema mit dem Restklassenring noch nicht wirklich klar.

Fragen:
1. Meint mit mit

ℚ [X] / p ℚ [X]

jenen Restklassenring, wo keine p-Anteile enthalten sind?
2. Welche Polynome werden nun als äquivalent dargestellt?
3. Es gilt ja a=p*s + r wobei r der Rest ist, wenn man durch p teilt und s ein Teil des Quotienten. Stimmt das so?

Ich hoffe ihr könnt da ein wenig Klarheit schaffen! Das Theme ist verwirrend, wie ich finde.

Gruß
Mr Maths

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

Mr-Maths aktiv_icon

11:50 Uhr, 03.07.2016

Kann mir jemand helfen bitte?

michaL aktiv_icon

12:26 Uhr, 03.07.2016

Hallo,

> 1. Meint mit mit ℚ[X]/pℚ[X] jenen Restklassenring, wo keine p-Anteile enthalten sind?

Hm, die Frage ist mir nicht eindeutig gestellt.
Es ist halt ein Restklassenring. So einen kennst du vermutlich schon, etwa

(ℤ_{n}, +, 0, -, \cdot, 1)

.
Dort gilt

a \equiv b

(mod

n

), wenn

n ∣ (b - a)

.
Hier analog: Es gilt

q (x) \equiv r (x)

(mod

p (x)

, wenn

p (x) ∣ (r (x) - q (x)

.

> 2. Welche Polynome werden nun als äquivalent dargestellt?

Siehe oben.
Du teilst die Differenz der beiden Polynome, von denen du wissen willst, ob sie äquivalent sind, mit Rest durch

p (x)

. Ist der Rest 0, sind sie äquivalent, sonst nicht.
Mit anderen Worten: In der Restklasse eines Polynoms

q \in ℚ [x]

sind alle die Polynome, die sich um ein

p

-Vielfaches (additiv) von

q

unterscheiden.

> 3. Es gilt ja a=p*s + r wobei r der Rest ist, wenn man durch p teilt und s ein Teil des Quotienten. Stimmt das so?

Verstehe die Frage wieder nicht.
Wenn es darum geht, ein möglichst einfaches Vertretersystem für die Restklassen zu finden, dann wäre die Division mit Rest sicher ein probates Mittel.

r

wäre in deiner Notation

p

-äquivalent zu

a

.

Mfg Michael

Mr-Maths aktiv_icon

14:17 Uhr, 03.07.2016

Hmm ok danke.

D.h. wenn ich ein Polynom a gegeben hab und ich will mir die Restklasse [a] ausrechnen, muss ich folgendes machen: a:-P) ausrechnen, dann erhalte ich a=s*p + r
Und dann sehe ich ja auch das p (a-r) teilt, also p|(a-r) da a-r = s*p.

1. Und dann ist auch a äquivalent zu r. D.h. in der Restklasse [a] würden a und r befinden. Jedoch welche Polynome befinden sich noch in dieser Restklasse?

2. Denn es gibt ja mehrere Restklassen in ℚ[X]/pℚ[X] nehme ich an. Was wäre denn z.B. eine andere. Etwas wenn ich einfach statt des Polynoms a einfach ein Polynom b hernehmen würde?

ledum aktiv_icon

16:30 Uhr, 03.07.2016

Hallo
mach dir den Begriff Restklasse doch noch mal an den ganzen Zahlen

mod

einer Primzahl klar. Du scheinst den Restklassenbegriff nicht richtig verstanden zu haben: also bei den ganzen Zahlen:
bestimme die Restklasse von

17 mod 13 -

darin liegen

...,

in deinem Restklassenring

- - 22, - 9,4, 17, 30, 134 ., 264, 394, 69 ... .

(n \cdot 13 + 4) n \in ℤ

also unendlich viele Zahlen !
liegt

r

. und

p \cdot P + r

wobei

P

ein beliebiges Plynom ist .
in der Restklasse oben etwa kannst du statt

394^{5} = 4^{5} mod 13

=1024mod

13 =

10mod

13

entsprechend mit den Polynomen.
Gruß ledum

Mr-Maths aktiv_icon

17:01 Uhr, 03.07.2016

Ah ok danke, verstehe. D.h. wenn ich ein Polynom a gegeben habe und ich soll die Restklasse berechnen in dem Ring

ℚ [x] / p ℚ [x]

mit einem Polynom p, dann gilt:

a = s * p + r

, wobei s irgendein Polynom aus

ℚ [x]

ist. Und alle Polynome

s * p + r

, wobei s wie gesagt irgendein Polynom ist, befinden sich im Restklassenring

ℚ [x] / p ℚ [x]

.

1. Stimmt das so?
2. Wenn ich

\frac{a}{p}

ausrechne, kommt als Rest

r = 3

raus also kann ich ja oben gleich 3 auch einsetzen richtig? Da das ja immer gleich bleibt und

s

variiert.
3. Ich soll ja

a^{10}

in diesem Restklassenring berechnen, jedoch ist doch a selbst schon in diesem enthalten und ich muss einfach jetzt das Polynom

a^{10}

berechnen?
4. Ich dachte ich muss

[a]

auch irgendwo verwenden, aber repräsentiert

[a]

nicht einfach die Restklasse in dem Restklassenring?

michaL aktiv_icon

18:43 Uhr, 03.07.2016

Hallo,

> 1. Stimmt das so?

Ja. Aber ich habe auf diese Frage tatsächlich schon weiter oben geantwortet.
Cleverer finde ich übrigens die (schon weiter oben erwähnte) Darstellung

q (x) = a (x) + p (x) \cdot v (x)

bzw gleich

q = a + p \cdot Q [x]

, wenn nach der Restklasse von

a

gefragt ist. Dann muss man nicht vorher noch eine Division mit Rest durchführen.

> 2. Wenn ich

\frac{a}{p}

ausrechne, kommt als Rest r=3 raus also kann ich ja oben gleich 3 auch einsetzen richtig?

Korrekt. Du stellst jetzt aber tatsächlich sehr verwandte Fragen. Auf dem Restklassenring ist eine Multiplikation definiert. Und es wurde sicher in der Vorlesung deutlich, dass es egal ist, welchen Vertreter man für die Rechnung nimmt.
Beherzige ledums Rat und mache dich nochmal bei einfacher handhabbaren Restklassenringen schlau.
Bau nicht auf Sand!

> Ich soll ja

a^{10}

in diesem Restklassenring berechnen, jedoch ist doch

a

selbst schon in diesem enthalten und ich
> muss einfach jetzt das Polynom

a^{10}

berechnen?

Ja, siehe ledums Beitrag.
Du kannst mit

a

selber rechnen. Das ist aber nicht schlau. Schlauer ist, einen möglichst einfachen Vertreter der Restklasse von

a

zu finden.
Ich wollte es in meinem ersten Beitrag schreiben bzw. habe es aber wieder gelöscht: Es gilt

Q [x] / p Q [x] ≃ Q

, d.h. es gibt ein Vertretersystem, in dem jedes "Polynom" höchstens Grad 0 hat, also eigentlich einer rationalen Zahl entspricht.

Bei a) gibt es ein Vertretersystem, bei denen alle Vertreter höchstens Grad 1 haben. Es ist nicht trivial, aber in diesem Fall gilt

Q [x] / p Q [x] ≃ Q [\sqrt{11} i]

.

Ich denke, der erste Teil ist zum Aufwärmen, der zweite dann um zu sehen, ob du wirklich das Abstraktionsniveau erreichst.

> 4. Ich dachte ich muss [a] auch irgendwo verwenden, aber repräsentiert [a] nicht einfach die Restklasse in dem
> Restklassenring?

Ja, nein, weiß nicht. Du stellst so ungenaue Fragen!
Du musst nicht mit

a

rechnen um die Restklasse

[a^{10}]

zu berechnen.
Aber: Irgendwie verwendest du

[a]

ja doch, egal mit welchem Vertreter du rechnest.
Vergleiche mit

\frac{1}{2} + \frac{4}{6}

. Du musst nicht nicht mit

\frac{1}{2}

rechnen, besser ist

\frac{3}{6}

. Aber: Irgendwie hat man doch das Gefühl, mit

\frac{1}{2}

zu rechnen, oder?

Mfg Michael

Mr-Maths aktiv_icon

19:02 Uhr, 03.07.2016

Achso, jetzt ist es klarer geworden, danke.

Es gilt ja:

a = ℚ [x] \cdot p + 4

und wenn ich das Polynom Null einsetze, dann habe ich doch a=r, d.h. mein gegebenenes Polynom a ist äquivalent mit dem Rest r=4 und somit kann ich sagen: [a]^10 =[a^10]=[4^10]

Genau das ist der Punkt, stimmts?

ledum aktiv_icon

15:56 Uhr, 04.07.2016

Hallo
das war das Bsp für die ganzen Zahlen, ich hoffe du kannst es jetzt auf die Polynome übertragen.
Gruß ledum

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