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Frage zum Thema Extremwertprobleme

Schüler Gymnasium,

Tags: Extremwertaufgabe, Nebenbedingung, Zielfunktion

TRKORAY49 aktiv_icon

18:09 Uhr, 05.11.2014

Hallo Leute, ich übe Grad für meine Matheklausur und eine Aufgabe treibt mich in den Wahnsinn. Es ist eine Aufgabe zum Thema Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen.
Die Aufgabe lautet:
Ein Quader mit quadratischer Grundfläche hat ein Volumen von 1000cm^3.
Bestimmen Sie die Maße des Quaders, wenn sein Oberflächeninhalt minimal sein soll. Wie groß ist dieser Oberflächeninhalt?

Dann steht da:

A)

Formel für den Oberflächeninhalt(Seitenlängen a und

h) :

B)

Nebenbedingung:

C)

Zielfunktion

Den Rest kann ich dann selbst machen. Aber die

A, B, C

treibt mich wirklich richtig in den Wahnsinn. Oberflächenformel hab ich geschrieben... Ist ja

O = 2 \cdot a \cdot b + 2 \cdot a \cdot c + 2 \cdot b \cdot c

. Aber nein! Die Lösung sagt mir:

O = 2 a^{2} + 4 \cdot a \cdot h

Wieso?? Wieso ist das so?

h

kann ich ja als

c

deuten, aber wo ist b?
Und Nebenbedingung steht da in der Lösung

: 1000 = a^{2} \cdot b

Meine Frage... Wieso taucht auf einmal

B

auf?? Und wie kommt er auf sowas? Volumen ist doch

V = a \cdot b \cdot c

.

Ich hoffe ihr könnt es mir sagen und auch erklären wie ihr darauf gekommen seid.

Aufgabe

C

könnte ich dann machen und könntet ihr dass dann kontrollieren, ob die zielfunktion richtig ist?

Bitte helft mir._.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Edddi aktiv_icon

18:57 Uhr, 05.11.2014

. .

. ist wohl ein Schreibfehler. Es soll wohl

h = c

sein.

Logischerweise muss wohl ein Würfel rauskommen.

Da es sich um eine quadr. Grundfläche handelt hast du nur 2 Unbekannte, nämlich a und

h

.

Die Oberfläche ist dann ja wohl

O = 2 \cdot a^{2} + 4 \cdot a \cdot h

Wobei

a^{2}

ja die Grund- und Deckfläche ist und

4 \cdot a \cdot h

den 4 Seitenflächen entspricht.

Das Volumen

a^{2} \cdot h = 1000

ist fest vorgegeben und damit Nebenbedingung.

Umgestellt nach

h

ergibt sich

h = \frac{1000}{a^{2}}

Dies lässt sich jetzt in die zu minimierende Funktion einsetzen

O = 2 \cdot a^{2} + 4 \cdot a \cdot (\frac{1000}{a^{2}}) = 2 \cdot a^{2} + \frac{4000}{a}

Minimierung nun über Nullsetzen der Ableitung

O' (a) = 4 \cdot a - \frac{4000}{a^{2}} = 0

4 \cdot a = \frac{4000}{a^{2}}

.
.
.

mal sehen, auf welches a du kommst. Mit diesem kannst du dann

z . B

. durch einsetzen in die NB

h

berechnen

:-)

TRKORAY49 aktiv_icon

19:29 Uhr, 05.11.2014

Vielen Dank für die Antwort. Deine Antwort kann ich nachvollziehen, aber was mich immernoch verwirrt ist, wie du auch auf die Oberflächenformel gekommen bist.
Wenn es ein Würfel ist, wieso verwendet man nicht direkt

O = 6 \cdot a^{2}

?

Und die Nebenbedingung kann ich nachvollziehen.

V = a^{3},

aber das dritte a ist

h

also

V = a^{2} \cdot h \land

Und wenn

c = h

sein sollte...bei der Nebenbedingung steht ja

1000 = a^{2} \cdot b

. Soll

b

auch

h

sein?

Um dann die Aufgabe so abzuschließen wie du es schreibst:

[

[Ich wollte es so machen, dass ich es ein zweites Mal Ableite und dann den Tiefpunkt rausfinde, aber es ist eine unendliche lange Zahl. Mache ich was falsch? Weil ich nicht so ganz deinen "Minimierung nun über Nullsetzen der Ableitung" verstehe.]]

Bei längerem Nachdenken ist mir aufgefallen, dass man das ja mit der ersten Ableitung macht und mit der zweiten HP oder TP entscheidet. So:
bei mir kam

a = 10

raus. Hab es in die Nebenbedingung eingesetzt und die Lösung ist

h = 10)

So...aber die Oberfläche soll ja minimal sein. Muss ich jetzt nicht was mit Extremstellen machen? In der Lösung steht lokales Minimum

= 600

. Wie ist man darauf gekommen?

Edddi aktiv_icon

20:18 Uhr, 05.11.2014

. .

. es ist wohlbekannt dass es sich bei diesen Bedingungen um einen Würfel handeln muss, allerdings ist dir voerst jedoch nur gegeben, dass es sich um einen Quader handelt. Und dieser hat eine quadr. Grundfläche.

Damit ergeben sich oben genannte Formeln.

Mit den Lösungen

a = h = 10

ergibt sich dann also, dass eine minimale Oberfläche bei einem gegebenen Volumen

V

für

a = h = \sqrt[3]{V} = \sqrt[3]{1000} = 10

nur bei einer Würfelform (ist ja auch ein Quader) erreicht wird.

:-)

abakus

20:18 Uhr, 05.11.2014

Hallo,
dass es ein Würfel wird, weißt du ja noch gar nicht (nur, weil dir jemand das vorher schon verraten hat.
Der Quader soll laut Aufgabe eine quadratische Grundfläche haben, also sind zwei der drei Kantenlängen gleich.
Man kann also a=c ansetzen, dann wird aus V=abc die Formel V=a²*b.
Und wenn jemand die Kantenlänge b lieber als k oder q oder eben als h bezeichnen will, darf er das auch tun.

TRKORAY49 aktiv_icon

20:32 Uhr, 05.11.2014

Vielen dank nochmals :-) Meine letzte Frage wäre, wie die auf das lokale Minimum von