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Frage zum lösen von Linearer Gleichung

Schüler

Tags: Gleichungen aufstellen

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15:02 Uhr, 04.05.2021

Da ich leider schon lange aus dem Mathe Unterricht heraus bin, sich nun aber eine Frage aufdrängt, möchte ich gern euch bitten, mich bei dem aufstellen des Gleichungssystems zu unterstützen.

Die Lösung werde ich mir dann selbst errechnen.

Frage:

Monat April mit

30

Tagen, spielt Person

X

einmal am Tag aber höchstens

45

Spiele Schach.

Es gibt einen Zeitraum aufeinander-folgender Tage an denen exakt

14

Spiele gespielt wurden.

Diesen Zeitraum möchte ich Mathematisch auflösen.

Kann mir dazu jemand eine Hilfestellung geben?

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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15:18 Uhr, 04.05.2021

Wie lautet die Aufgabe im Original?
Was soll berechnet werden? Was meinst du mit "auflösen"?

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15:21 Uhr, 04.05.2021

Hab die Aufgabe im Anhang.

DrBoogie aktiv_icon

15:48 Uhr, 04.05.2021

Die Aufgabe hat nichts mit linearen Gleichungen zu tun.
Das ist eine kombinatorische Aufgabe. Gleichungen spielen hier nur eine Nebenrolle.

Mindblow aktiv_icon

15:51 Uhr, 04.05.2021

Vielen Dank für die Klarstellung, jedoch löst das immer noch nicht die Problematik, dass ich damit nicht weiter komme.

Würde mich über Unterstützung freuen.

Grüße.

DrBoogie aktiv_icon

16:03 Uhr, 04.05.2021

Wenn man

x_{i}

die Anzahl der Partien am Tag

i

bezeichnet, dann haben wir

x_{1} + x_{2} + . . . +_{30} = 45

.
Da

x_{i} \geq 1

für alle

i

, kann keins von

x_{i}

größer als

16

sein.
Betrachten die Fälle:
1.

max_{x_{i}} = 16

. Dann sind alle

x_{i} = 1

bis auf einen Tag. Egal wo dieser Tag liegt, man findet 14 aufeinanderfolgende Tage mit

x_{i} = 1

, damit ist dieser Fall erledigt.
2.

max_{x_{i}} = 15

. Dann gibt's noch einen Tag mit

x_{i} = 2

und die restlichen sind

x_{i} = 1

. Es gibt wie im 1. Fall 14 aufeinanderfolgende Tage mit

x_{i} = 1

oder

x_{i} = 2

. Wenn

x_{i} = 2

dabei ist, nehmen einfach einen Tag weniger. Wenn nicht, nehmen alle 14. Dieser Fall ist auch erledigt.
3.

max_{x_{i}} = 14

. Sofort erledigt
4.

max_{x_{i}} = 13

. Wenn eins von den Nachbartagen des Maximumstags erfüllt

x_{i} = 1

, nehmen diese beide. Wenn nicht, dann haben diese drei Tage in Summe

17

, die restlichen 27 Tagen haben also 28, daher ist da höchstens ein Tag mit

x_{i} = 2

, sonst alles Einse. Damit kann man wie im Fall 2 vorgehen.
Usw. - man kann so alle Fälle durchanalysieren.

Ich denke aber, dass es eine deutlich elegantere Lösung gibt. Vielleicht komme ich später drauf.

DrBoogie aktiv_icon

18:32 Uhr, 04.05.2021

So, und eine elegante Lösung sieht so aus:

Sei

a_{i}

die Anzahl der Spiele an den ersten i Tagen insgesamt (also

x_{1} + x_{2} + . . . + x_{i}

).

Wir betrachten die beiden Folgen

A = (a_{1}, a_{2}, . . ., a_{30})

und

B = (a_{1} + 14, a_{2} + 14, . . ., a_{30} + 14)

. Beide Folgen sind streng monoton steigend. Insgesamt sind es zusammen 60 Folgenelemente, die alle aus dem Bereich

1, 2, . . ., 59

stammen, denn die

a_{30}

ist maximal

45

und damit

a_{30} + 14 \leq 59

. Nach dem Schubfachprinzip muss es also zwei gleiche Folgenelemente geben. Diese können nicht beide aus einer der Folgen stammen, wegen der strengen Monotonie. Also gibt es Indizes

i, j

mit

a_{i} = a_{j} + 14

. Aber damit wurden vom

(j + 1)

-sten bist zum einschließlich

i

-ten Tag genau

14

Spiele gespielt, was zu beweisen war.

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