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Frage zur Berechnung von a_(n)

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: rechnung

-Lizzy- aktiv_icon

23:50 Uhr, 13.02.2018

Hallo,

Ich habe folgendes Rechenproblem:

a_{1} = i

und

a_{n + 1} = \frac{1}{2} (a_{n} + 1)

für

n \in ℕ

.
Nun soll geprüft werden, ob

a_{n}

konvergiert.

Dann:

| a_{n + 1} - 1 | = . .

= \frac{1}{2} | a_{n} - 1 |

In der Lösung wird nun weiter angegeben

= \frac{1}{2} | \frac{1}{2} (a_{n - 1} + 1) - 1 |

.
Warum gilt

a_{n} = \frac{1}{2} (a_{n - 1} + 1)

?

Später ist

{(\frac{1}{2})}^{2} | 1 - a_{n - 1} | = {(\frac{1}{2})}^{n} | 1 - a_{1} |

. Warum gilt das, bzw. welche Rechenregel ist das?

Danke für die Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

ledum aktiv_icon

00:53 Uhr, 14.02.2018

Hallo
1. wenn

a_{n + 1} = \frac{1}{2} \cdot (a_{n} + 1)

gilt dann gilt das für alle

n > 1

also auch für

n = m - 1

mit

m > 2

dann hast du

a_{m} = \frac{1}{2} \cdot (a_{m - 1} + 1)

jetzt nenn

m

wieder

n

. da es ja auf den namen des index nicht ankommt.
die formel gilt natürlich für alle aufeinanderfolgenden

a_{i}

.
2. du fängst mit irgendeinem

n

an, und weundest dasselbe immer wieder an

d . h

. bei jedem Schritt wird der Index bei a eins kleiner, jedesmal kommt ein Faktor

\frac{1}{2}

dazu , dann hast du, wenn du bei

a_{1}

ankommst

n

mal hintereinander den Faktor

\frac{1}{2}

angewandt, also

{(\frac{1}{2})}^{n}

Gruß ledum

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