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Frage zur Binomialverteilung

Schüler

Tags: Binomialverteilung

Pfannex aktiv_icon

10:35 Uhr, 19.06.2022

Moin,

ich habe folgende Aufgabenstellung:

Eine Firma produziert PCs. Man weiß, dass

5 %

dieser PCs Mängel aufweisen.
Frage:
Wie viele PCs müssen mindestens überprüft werden um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens

97 %

mindestens einen defekten PC zu finden.

- \to

mindestens-mindestens-mindestens

Die Anzahl der Versuche "n" ist gesucht.

Ich habe folgendes berechnet:

Gesucht sind defekte, daher

p = 5 %

\geq 97 %

mindestens eine defekte

k \geq 1

k \geq 1 - \to 1 -

"keine Treffer"

- \to k = 0

p = 0,05

q = 1 - p = 1 - 0,05 = 0,95

w = 0,97 =

Wahrscheinlichkeit

1 - (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot p^{k} \cdot q^{n - k} \geq w

1 - (\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) \cdot p^{0} \cdot q^{n - 0} \geq w

Hinweis:

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = 1; p^{0} = 1

1 - 1 \cdot 1 \cdot {0,95}^{n} \geq 0,97

1 - {0,95}^{n} \geq 0,97 | - 1

- {0,95}^{n} \geq - 0,03 | \cdot (- 1)

{0,95}^{n} \leq 0,03 | log

n \cdot log (0,95) \leq log (0,03) | : log (0,95)

n \geq \frac{log (0,03)}{log (0,95)}

n \geq 68,36

n = 69

Antwort:
Es müssen mindestens

69

PCs überprüft werden um mit einer Wahrscheinlichkeit von

97 %

mindestens einen defekten PC zu finden.

Bin ich hier richtig unterwegs?
Könnt ihr mir dieses Vorgehen bestätigen oder habe ich hier noch Gedankenfehler drin?

Gruß
Pfannex

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Bernoulli-Experimente

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11:04 Uhr, 19.06.2022

Korrekt. :-)

N8eule

11:06 Uhr, 19.06.2022

Hallo
Prinzipiell richtig.

Darf ich anmerken: Vermutlich bist du deshalb hier so wortreich unterwegs, weil du eben doch noch ein wenig unsicher umständlich verunsichert bist.
Wenn ich den Gedankengang mal auf das Wesentliche konzentrieren darf, dann wächst vielleicht das Verständnis.
Du wirst dir vielleicht leichter tun, wenn du dich nicht so sehr mit Binomial-Verteilung verwirrst, sondern eher die Gegenwahrscheinlichkeiten klar machst.

Wenn du einen PC untersuchst,
dann ist der mit Wahrscheinlichkeit

0,95

ok.
Gegenwahrscheinlichkeit: du findest mit Wahrscheinlichkeit

(1 - 0,95)

einen defekten.

Wenn du zwei PCs untersuchst,
dann sind die mit Wahrscheinlichkeit

(0,95 \cdot 0,95) = {0,95}^{2}

beide ok.
Gegenwahrscheinlichkeit: du findest mit Wahrscheinlichkeit

(1 - {0,95}^{2})

mindestens einen defekten.

Wenn du drei PCs untersuchst,
dann sind die mit Wahrscheinlichkeit

(0,95 \cdot 0,95 \cdot 0,95) = {0,95}^{3}

alle ok.
Gegenwahrscheinlichkeit: du findest mit Wahrscheinlichkeit

(1 - {0,95}^{3})

mindestens einen defekten.

verallgemeinernd:
Wenn du

n

PCs untersuchst,
dann sind die mit Wahrscheinlichkeit

{0,95}^{n}

alle ok.
Gegenwahrscheinlichkeit: du findest mit Wahrscheinlichkeit

(1 - {0,95}^{n})

mindestens einen defekten.

Jetzt soll diese Wahrscheinlichkeit mindestens einen defekten PC zu finden

97 %

betragen.
Also:

(1 - {0,95}^{n}) = 0,97

Der Rest ist nur noch ausrechnen...

Pfannex aktiv_icon

11:44 Uhr, 19.06.2022

Moin,

Danke für die Bestätigung und die ergänzenden Hinweise.
Der Blick auf's Wesentliche macht es nochmal klarer.

Ich setze mich jetzt an Teil 2 der Aufgabe, einen Hypothesentest.
Hier soll die verbesserte Fertigung

(p = 3 %)

mit

100

Versuchen untersucht werden.
Da mache ich aber einen neuen Beitrag auf....

Gruß
Pfannex

Pfannex aktiv_icon

13:19 Uhr, 19.06.2022

Ich muss hier doch nochmal für den zweiten Teil der Aufgabe einhaken.

Im zweiten Teil der Aufgabe wird davon ausgegangen, dass die Fertigung jetzt nur noch

3 %

Ausschuss produziert. Diese Behauptung soll mit einer Stichprobenprüfung von

100

Stück belegt werden.

Aufgabe:
- Entwickeln sie einen Hypothesentest auf dem

5 %

Signifikanzniveau
- Formulieren sie die Entscheidungsregel

Lösung:
Da hier beide Ereigniswahrscheinlichkeiten gegeben sind

(p 1 = 5 %; p 2 = 3 %)

würde hier doch ein Alternativtest zum tragen kommen, oder?

H 1 : p = p 1

H 2 : p = p 2

Signifikanztests kommen doch hier nicht zum tragen, oder?

Was mich jetzt verwirrt ist die fehlende Angabe für die Festlegung auf wie viele defekte Stücke geprüft werden soll. Erst dann kann ich doch den Versuch auch bewerten, oder?

Also meine Frage, was muss man hier eigentlich machen, bzw. was wird hier als Antwort erwartet?

Gruß
Pfannex

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