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Frage zur Streifenmethode

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Streifenmethode

Mario1993 aktiv_icon

10:26 Uhr, 27.08.2011

Hallo Leute, ich habe eine Frage zur Streifenmethode des Archimedes! Und zwar gab es im Buch eine Beispielrechnung für die Untersumme für folgende Aufgabe:

Berechnen Sie Un und On

(n

steht hier für Unendlich, es ist also keine genaue Streifenzahl gegeben) für die Funktion

f (x) = 2 - x

im Intervall

[0; 2]

.

Im Buch wurde das Intervall in die

x

Werte:

0; \frac{2}{n}; \frac{4}{n}, \frac{6}{n}

und

\frac{8}{n}

eingeteilt.

n

ist an dieser Stelle

4;

die Streifenbreite

\frac{2}{n}; f (\frac{2 n - 2}{n})

ist der y-Wert des vorletzten Streifen.

Die Beispielrechnung hatte folgenden 1. Schritt:

Un

= \frac{2}{n} \cdot [f (\frac{2}{n}) + f (\frac{4}{n}) + f (\frac{6}{n}) + . .

+ f (\frac{2 n - 2}{n})]

Nun ist meine Frage:
Wieso hat man mit dem x-Wert

\frac{2}{n}

begonnen? Wieso lautet die Rechnung nicht:
Un

= \frac{2}{n} \cdot [f (0) + f (\frac{2}{n}) + f (\frac{4}{n}) + f (\frac{6}{n}) + . .

+ f (\frac{2 n - 2}{n})]

Habe mir bereits auch eine Skizze gemacht. aber man kann doch den 0 Wert einsetzen, dann kriegt man als y-Wert den y-Achsenabschnitt, nämlich

- 2

heraus. Wieso geht das nicht? Bei einer anderen Beispielaufgabe hat das Buch nämlich mit 0 angefangen:

f (x) = x^{2};

Streifenbreite

\frac{1}{n};

Intervall

[0; 1]

Dort wurde zuerst

0; \frac{1}{n}; \frac{2}{n} ...

\frac{n - 1}{n}

eingesetzt!

Mario1993 aktiv_icon

10:42 Uhr, 27.08.2011

Habe es verstanden! Ein Gedankenblitz kam mir :-D)
Werde gleich die Formel für dide Obersumme aufschreiben, dann könnt Ihr ja bitte schauen, ob diese so stimmt.

prodomo aktiv_icon

10:43 Uhr, 27.08.2011

Die untersumme enthält doch den höchsten Funktionswert im Intervall nicht. Wenn die Funktion monoton fällt, so wie hier, dann ist dies der Wert ganz links, bei den anderen Beispielen war es vermutlich anders. Der Wert

f (0)

gehört hier nur zur Obersumme.

prodomo aktiv_icon

10:45 Uhr, 27.08.2011

Nur nopch eine kOrrektur zum ersten Ansatz. Es muss

f (0) = 2

sein, nicht

- 2

Mario1993 aktiv_icon

10:45 Uhr, 27.08.2011

Wäre die Formel für die Obersumme des Beispielaufgabe folgende:

\frac{2}{n} \cdot [f (0) + f (\frac{2}{n}) + f (\frac{4}{n}) + f (\frac{6}{n}) + . .

+ f (\frac{2 n - 2}{n}) + f (2)]

???

prodomo aktiv_icon

10:46 Uhr, 27.08.2011

f (2)

kann fehlen, dann haben beide gleich viele Summanden,

f (2)

ist sowieso 0

Mario1993 aktiv_icon

10:47 Uhr, 27.08.2011

Ok, möchte aber diese Aufgabe wirklich sehr ausführlich aufschreiben, damit ich alles verstehe und evtll meine Fehler direkt bemerke. So würde die Obersumme zunächst stimmen? Oder muss ich statt

2 \to \frac{8}{n}

schreiben

...

prodomo aktiv_icon

10:59 Uhr, 27.08.2011

Du kannst

f (2)

einfach weglassen. Die Obersumme ist

\frac{2}{n} \cdot [f (0) + f (\frac{2}{n}) + f (\frac{4}{n}) + f (\frac{6}{n}]

. Das sind genau 4 Streifen. Bei der Untersumme fehlt

f (0),

dafür kommt hinten

f (\frac{8}{n})

hinzu. Die Breite bleibt

\frac{2}{n}

Mario1993 aktiv_icon

11:03 Uhr, 27.08.2011

Bei der Obersumme bei deiner Rechnung fehlt aber noch das vorletzte und letzte Glied, oder wieso hast Du das weggelassen?

Eine weitere Frage:

Nachdem im Buch alle x-Werte in die Funktion eingesetzt wurden, kam das heraus:
Un=

\frac{2}{n} \cdot [2 - \frac{2}{n} + 2 - \frac{4}{n} + 2 - \frac{6}{n} + . .

+ 2 - \frac{2 n - 2}{n}]

Unter diesem Schritt steht: "2 kommt

(n - 1)

mal vor"

\to

Was bedeutet das? Nach diesem Schritt steht folgende Rechnung:
Un

= \frac{2}{n} \cdot [2 \cdot (n - 1) - \frac{2}{n} - \frac{4}{n} - \frac{6}{n} - . .

- \frac{2 n - 2}{n}]

prodomo aktiv_icon

11:13 Uhr, 27.08.2011

Ich habe mich auf das Beispiel mit

n = 4

bezogen, dann kann es doch auch nur 4 Streifen geben.
In der Klammer

U_{n}

musst du im Kopf anders sortieren. Dort stehen ja die Funktionswerte

f (2),

usw. In diesem Beispiel sind die Funktionswerte ja

2 - x

. In der Klammer ist das jeweils als

- x + 2

geschieben. Die

x

sind dabei 0 (ausgelassen),

\frac{2}{n}, \frac{4}{n},

usw. Dann enstehen Terme der Form

- \frac{2}{n} + 2, - \frac{4}{n} + 2,

usw. Die Zweien kann man zusammenfassen, von ihnen gibt es bei der Untersumme genau eine weniger als es Streifen gibt (der höchste Wert wird ja bei der Untersumme nicht mitgerechnet

),

also gibt es

n - 1

Zweien. Das ist die Bemerkung im Buch

Mario1993 aktiv_icon

11:22 Uhr, 27.08.2011

Nochmals zur Obersumme: Wenn es nur 4 Steifen geben darf in dieser Rechnung und der letzte 0 wird, würde ich das nun so aufschreiben (den vorletzten Streife würde ich mitnehmen):

On=

\frac{2}{n} \cdot [f (0) + f (\frac{2}{n}) + f (\frac{4}{n}) + . .

+ f (\frac{2 n - 2}{n})]

Und zu der Frage zu den 2en: Die Rechnung lautet doch:
Un=

\frac{2}{n} \cdot [2 - \frac{2}{n} + 2 - \frac{4}{n} + 2 - \frac{6}{n} + . .

+ 2 - \frac{2 n - 2}{n}]

Das heißt es gibt vier 2er auf vier Balken verteilt...das verstehe ich nicht...es gibt doch gleich viele 2er wie es Balken dort gibt, wieso dann

n - 1

Ich verstehe diesen ganzen Vereinfachungsschritt leider nicht. Könntest Du mir den noch einmal ausführlich erklären bitte?

DmitriJakov aktiv_icon

11:47 Uhr, 27.08.2011

Vielleicht hilft das hier:

f (x) = 2 - x

im Intervall

[0; 2]

Das Intervall

[0; 2}

wird in

n

Streifen mit je

\frac{2}{n}

Breite eingeteilt.

Da es eine monoton fallende Funktion ist, gilt für die Untersumme immer jeweils der Funktionswert an der rechten Seite des Streifens. Für die Obersumme gilt der Funktionswert an der linken Seite des Streifens.

U=Breite

\frac{2}{n} \cdot f (i \cdot \frac{2}{n}); i = 1 ... n

O=Breite

\frac{2}{n} \cdot f (i \cdot \frac{2}{n}); i = 0 ... (n - 1)

Mario1993 aktiv_icon

11:50 Uhr, 27.08.2011

Nein, verstehe ich immer noch nicht

\frac{:}{}

Stimmt meine aufgestellte Rechnung zur Obersumme, die ich gepsotet habe (die neue)?

DmitriJakov aktiv_icon

11:59 Uhr, 27.08.2011

Die Obersumme passt so.

Das letzte Glied der Untersumme ist aber:

f (n \cdot \frac{2}{n})

Du musst Dir klar machen, dass es immer eine Begrenzungslinie mehr gibt als Balken:
Ein Balken hat 2 Begrenzungen: eine linke und eine rechte.
Zwei Balken haben 3 Begrenzungen: eine links, eine in der Mitte und eine rechts
und so weiter.

Mario1993 aktiv_icon

12:09 Uhr, 27.08.2011

Ok, aber was hat das mit der 2 zu tun?
Wenn man, wie im Buch, das ganze aufteilt in

0; \frac{2}{n}; \frac{4}{n}; \frac{6}{n}; \frac{2 n - 2}{n};

2(letzte Glied), was bedeutet das für den Summanden 2? Wenn

2 + . .

. ist ja nur den x-Wert in die Funktion eingesetzt, die

2 - x

lautet. Die 2 bleibt ja überall übrig als Summand, außer beim x-Wert 2.

Mario1993 aktiv_icon

12:16 Uhr, 27.08.2011

bin in

1 \frac{1}{2}

stunden wieder da. wäre nett, wenn jemand mir das noch einmal ausführlich erklären könnte :-)

DmitriJakov aktiv_icon

12:28 Uhr, 27.08.2011

Das ist jetzt in der Aufgabe ein bisschen unglücklich, denn dort kommt die Zwei in der Funktionsvorschrift vo

(f (x) = 2 - x)

und auch im Intervall, das von Null bis Zwei läuft.

Im Buch stehen nun alle Grenzen der vier Abschnitte im Bereich von Null bis Zwei.

Die Breite der Balken ist ist

\frac{2}{n}

wenn das Intervall

[0; 2] \in n

Abschnitte aufgeteilt wurde.

Ganz links ist die Null, dann kommt ein Balken mit der Dicke

\frac{2}{n}

.
Die rechte Begrenzung des daran anschliessenden Balken liegt bei

2 \cdot \frac{2}{n}

.
Und Balken Nummer Drei hat seine rechte Grenze bei

3 \cdot \frac{2}{n}

.
Die vorletze Begrenzung lautet:

(n - 1) \cdot \frac{2}{n},

was ausmultipliziert

\frac{2 n - 2}{n}

bedeutet.
Und die letzte Begrenzung ist dann die obere Intervallgrenze

n \cdot \frac{2}{n} = 2

In Deinem Buch ist das etwas unglücklich geschrieben, denn es fehlt die allgemine Form der Berechnung. Dazu brauchst Du die Variable

i,

die Du von 0 bist

n

laufen lassen kannst.

0 \cdot \frac{2}{n}; 1 \cdot \frac{2}{n}; 2 \cdot \frac{2}{n}; (...); i \cdot \frac{2}{n}; (...); (n - 1) \cdot \frac{2}{n}; n \cdot \frac{2}{n}

Mario1993 aktiv_icon

13:30 Uhr, 27.08.2011

ok, das habe ich verstanden! und was hat das nun mit "2 kommt

n - 1

mal vor" zu tun?

DmitriJakov aktiv_icon

13:50 Uhr, 27.08.2011

Rechne jetzt mal die Obersumme und die Untersumme mit den konkreten 4 "Streifen".

n

ist also jetzt gleich 4

U = \frac{2}{4} \cdot (2 - 1 \cdot \frac{2}{4} + 2 - 2 \cdot \frac{2}{4} + 2 - 3 \cdot \frac{2}{4} + 2 - 4 \cdot \frac{2}{4})

Das letzte Glied mit

2 - 4 \cdot \frac{2}{4}

wird Null. Die 2 aus der Funktionsvorschrift

2 - x

kommt nur 3 mal vor.

und bei der Obersumme:

O = \frac{2}{4} \cdot (2 - 0 \cdot \frac{2}{4} + 2 - 1 \cdot \frac{2}{4} + 2 - 2 \cdot \frac{2}{4} + 2 - 3 \cdot \frac{2}{4})

hier kommt die 2 aus der Funktionsvorschrift

2 - x

also

n

mal vor.

Der Vereinfachungsschritt gilt also nur bei der Untersumme und auch nur deswegen, weil am Ende des Intervalls der Funktionswert Null wird. Ansonsten würde dieser Schritt auch bei der Untersumme nicht vorkommen.

Mario1993 aktiv_icon

13:59 Uhr, 27.08.2011

Vielen Dank! Das Prinzip habe ich nun verstanden

. .

. aber nun auf die Aufgabe bezogen; die Formel für die Untersumme lautet ja:
Un

= \frac{2}{n} \cdot [f (\frac{2}{n}) + f (\frac{4}{n}) + f (\frac{6}{n}) + . .

+ f (\frac{2 n - 2}{n})]

Und genau da ist der Punkt... die 2 als

x

Wert steht ja nicht da, sondern es wird nur der VORLETZE x-Wert benannt. Oder kann man das ganze auch so berechnen, wie Du es gemacht hast? Weil wie schon gesagt, aus der gegebenen Formel kann ich jetzt nicht die Vereinfachung rauslesen...

Oder muss man sozusagen umdenken, wie Du es getan hast? Kann man die Untersumme auch mit deiner aufgestellten Formel errechnen?

Mario1993 aktiv_icon

14:03 Uhr, 27.08.2011

EDIT:
Oder muss man, um dies herauszufinden, die Formel so umstellen, als würde man

n

kennen? Könnte man auch mithilfe dieser Formel (statt 4 wieder

n

eingesetzt) auf die richtige Lösung kommen?

DmitriJakov aktiv_icon

14:04 Uhr, 27.08.2011

Diese Formel für die Untersumme ist jetzt nicht richtig, denn sie läuft ja nur bis

f ((n - 1) \cdot \frac{2}{n})

. Das letzte Glied der Untersumme ist hier aber

f (n \cdot \frac{2}{n})

Mario1993 aktiv_icon

14:06 Uhr, 27.08.2011

Also muss man, damit man diese Vereinfachung herausfinden kann, mit den gegebenen Balken rechnen und so tun, als würde man

n

kennen? Also klar ist, dass diese Rechnung zum falschen Ergebnis führen. Aber kann man so diese Vereinfachung herausfinden?

DmitriJakov aktiv_icon

14:15 Uhr, 27.08.2011

Also entweder hast Du da etwas aus Deinem Buch falsch zitiert oder es ist tatsächlich in dem Buch falsch erklärt. Wahrscheinlicher ist die erste Alternative.

Du hast Dich in Deinem Lernprozess auf eine Vereinfachung festgebissen. Eine solche Vereinfachungsmöglichkeit existiert aber nur ganz selten und nur unter ganz speziellen Bedingungen. Vergiss also die "Vereinfachung", die sich hier als "total verwirrende Verkomplizierung" herausgestellt hat.

Mario1993 aktiv_icon

14:20 Uhr, 27.08.2011

Ich probiere immer, alles zu verstehen, weil soetws in der Klausur vllt auch drankommen kann :-D)

Un

= \frac{2}{n} \cdot [f (\frac{2}{n}) + f (\frac{4}{n}) + f (\frac{6}{n}) + . .

+ f (\frac{2 n - 2}{n})]

Unter "

f (\frac{4}{n}) + f (\frac{6}{n})

" stand noch eine Bemerkung: "

(n - 1)

Glieder "

DmitriJakov aktiv_icon

14:25 Uhr, 27.08.2011

Wenn das Intervall in

n

Abschnitte unterteilt wird, dann gibt es auch

n

Glieder Schluss, aus fertig.

Nur bei den Spezialfällen, in denen am Ende des Intervalls die Funktion Null wird (also die x_Achse schneidet) oder wo das Intervall bei

x = 0

beginnt, dort können sich dann einzelne Elemente zu Null auflösen. Sonst aber nicht!

Mario1993 aktiv_icon

14:28 Uhr, 27.08.2011

Ok. Habe nun bei der Obersumme weitergerechnet:

On=

\frac{2}{n} \cdot [f (0) + f (\frac{2}{n}) + f (\frac{4}{n}) + . .

+ f (\frac{2 n - 2}{n})]

On=

\frac{2}{n} \cdot [2 + 2 - \frac{2}{n} + 2 - \frac{4}{n} + . .

+ 2 - \frac{2 n - 2}{n}]

On=

\frac{2}{n} \cdot [2 (n) + 1 - \frac{2}{n} - \frac{4}{n} + . .

- \frac{2 n - 2}{n}]

Stimmt dies soweit?

DmitriJakov aktiv_icon

15:11 Uhr, 27.08.2011

Stimmt fast. Ich mach es mal ein weni ausführlicher:

O_{n} = \frac{2}{n} \cdot ((2 - 0 \cdot \frac{2}{n}) + (2 - 1 \cdot \frac{2}{n}) + (2 - 2 \cdot \frac{2}{n}) + (2 - (n - 1) \cdot \frac{2}{n}))

Die Zwei in

2 - x

kommt nun in der Klammer

n

mal vor. Also kann man sie vor die Klammer ziehen:

O_{n} = \frac{2}{n} \cdot (n \cdot 2 + (- 0 \cdot \frac{2}{n} - 1 \cdot \frac{2}{n} - 2 \cdot \frac{2}{n} - (n - 1) \cdot \frac{2}{n}))

Auch das

\frac{2}{n}

kann man ausklammern:

O_{n} = \frac{2}{n} \cdot (n \cdot 2 + \frac{2}{n} \cdot (- 0 - 1 - 2 - (n - 1)))

O_{n} = \frac{2}{n} \cdot (n \cdot 2 + \frac{2}{n} (- 3 - n + 1))

O_{n} = \frac{2}{n} \cdot (n \cdot 2 + \frac{2}{n} (- 2 - n))

O_{n} = 4 + \frac{4}{n^{2}} \cdot (- 2 - n)

O_{n} = 4 + \frac{4 \cdot (- 2)}{n^{2}} + 4 \cdot \frac{- n}{n^{2}})

O_{n} = 4 + (- \frac{8}{n^{2}} - \frac{4}{n})

O_{n} = 4 - \frac{8}{n^{2}} - \frac{4}{n}

Mario1993 aktiv_icon

16:21 Uhr, 27.08.2011

Wenn man nun aber

n

gegen unendlich laufen lässt, kommt bei der Obersumme 4 heraus, bei der Untersumme 2 (der Grenzwert der Untersumme wurde im Buch schon ausgerechnet). Aber beide Grenzwerte müssen doch übereinstimmen?

DmitriJakov aktiv_icon

16:36 Uhr, 27.08.2011

Ich habe befürchtet, dass Du das jetzt nachfragst. Deswegen sollte man bei Der Zeile

O_{n} = \frac{2}{n} \cdot (n \cdot 2 + \frac{2}{n} \cdot (- 0 - 1 - 2 - (n - 1)))

mal ganz scharf bremsen.

Entwickle nun die Untersumme auf die selbe Weise und Du wirst feststellen, dass sich beide nur in der innersten Klammer unterscheiden:

U_{n} = \frac{2}{n} \cdot (n \cdot 2 + \frac{2}{n} (- 1 - 2 - 3 - n)))

Sieht es jetzt ein wenig klarer aus?

Mario1993 aktiv_icon

16:43 Uhr, 27.08.2011

Laut des Buches erhält man; nach der Vereinfachung von 2 und der Ausklammerung von

- \frac{2}{n},

folgendes Ergebnis:

Un

= \frac{2}{n} \cdot [2 \cdot (n - 1) - \frac{2}{n} \cdot (1 + 2 + 3 + ... + (n - 1))]

Dies muss man in eine vorgefertige Formel einsetzen, welche lautet:

1 + 2 + ... + n = \frac{n (n + 1)}{2}

Eingesetzt bedeutet dies:

Un

= \frac{2}{n} \cdot [2 \cdot (n - 1) - \frac{2}{n} \cdot (\frac{n (n + 1)}{2} - n)]

das

- n

kann ich mir hierbei auch noch nicht ganz genau erklären.... es kommt wohl daher, dass man bei der untersumme ja nur bis zum vorletzten

x

wert geht und wohl der endausdruck bedeutet, dass man diesen letzten wert abziehen muss, weil man so weit gar nicht gegangen ist

. .

. bin mir da aber nicht sicher, ob ich das so richtig verstanden habe.

Shipwater aktiv_icon

16:45 Uhr, 27.08.2011

Ich hab das vor kurzem schon mal durchgerechnet, siehe:
http//www.onlinemathe.de/forum/Integralrechnung-Grenzwert-bestimmen

DmitriJakov aktiv_icon

17:00 Uhr, 27.08.2011

Jetzt weiß ich endlich woher Deine Frage mit dem "Vereinachungsschritt" kommt:

Bei mir lautet die Untersumme:

U_{n} = \frac{2}{n} \cdot (n \cdot 2 + \frac{2}{n} (- 1 - 2 - 3 - n))

für

n

gegen unendlich wird das zu:

U_{n} = \frac{2}{n} \cdot (n \cdot 2 + \frac{2}{n} (- 1 - 2 - 3 - (...) - (n - 1) - n))

Jetzt kann man das letzte

n

in der innersten klammer ja auch aus der Klammer rausnehmen:

U_{n} = \frac{2}{n} \cdot ([n \cdot 2] + [\frac{2}{n} (- 1 - 2 - 3 - (...) - (n - 1))] - [\frac{2}{n} \cdot n])

und hat so 3 Summanden erhalten. Zur Verdeutlichung habe ich sie in eckige Klammern geschrieben.

Jetzt kann man den ersten und den dritten Summanden auch hinereinander anordnen. Es gilt ja das Kommutativgesetz der Addition:

U_{n} = \frac{2}{n} \cdot ([n \cdot 2] - [\frac{2}{n} \cdot n] + [\frac{2}{n} (- 1 - 2 - 3 - (...) - (n - 1))])

Die 2. Klammer wird ausmultipliziert:

U_{n} = \frac{2}{n} \cdot ([n \cdot 2] - [2] + [\frac{2}{n} (- 1 - 2 - 3 - (...) - (n - 1))])

Und schliesslich wird 2 ausgeklammert:

U_{n} = \frac{2}{n} \cdot ([2 \cdot (n - 1)] + [\frac{2}{n} (- 1 - 2 - 3 - (...) - (n - 1))])

Mario1993 aktiv_icon

17:07 Uhr, 27.08.2011

Ok danke! Habe ich das richtig erklärt mit dem

- n

? ich habe es grob glaube ich verstanden, aber es zündet noch nicht so richtig. darum wäre eine kurze erklärung an diesder stelle noch einmal nett.

und noch einmal zur rechnung der obersumme: bei dem grenzwert kommt ja am ende 4 heraus...wieso nicht 2? weil wie schon gesagt, es müsste eig bei ober- sowieso untersumme der gleiche grenzwert herauskommen.

DmitriJakov aktiv_icon

17:19 Uhr, 27.08.2011

Das kommt daher, dass man einen festen Term kennt, und zwar für die Summe von

1 + 2 + 3 + 4 + (...) + n = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}

In meiner Klammer steht jetzt aber (nachdem man die Vorzeicht durch Ausklammern von

- 1

umgedreht hat):

1 + 2 + 3 + 4 + (...) + (n - 1)

Um diese festehende Formel verwenden zu können nusst du also "erweitern", ähnlich wie bei der quadratischen Ergänzung:

1 + 2 + 3 + 4 + (...) + (n - 1) + n - n

Du trennst dann ab:

[1 + 2 + 3 + 4 + (...) + (n - 1) + n] - [n]

Das darfst Du ja tun. Du darfst in einer Summe mit lauter positiven Zahlen Klammern setzen wie du grade lustig bist.

Und jetzt kannst Du für die erste Klammer den bekannten Ausdruck

\frac{n \cdot (n + 1)}{2}

einsetzen:

[\frac{n \cdot (n + 1)}{2}] - [n]

Die eckigen Klammern sind nur zur Verdeutlichung da. Du kannst sie dann auch weglassen.

Mario1993 aktiv_icon

17:26 Uhr, 27.08.2011

ok. da die summenformel ja vorgegeben ist und für die obersumme gilt (die den letzten

x

wert, also

n,

mit einschließt, muss man bei der untersumme also einfach diesen letzten balken abziehen. richtig?

in der obersumme ist aber noch ein fehler

: - (

man muss doch auf den gleichen grenzwert

(2)

kommen...

DmitriJakov aktiv_icon

17:52 Uhr, 27.08.2011

Also Dein Buch macht mich fertig. Zuerst wird aus der Untersumme das letzte Summenglied "n" chirurgisch entfernt, nur um es später wieder zu implantieren. Und dann muss man das selbe ja nochmal mit der Obersumme machen.

O_{n} = \frac{2}{n} (n \cdot 2 + \frac{2}{n} \cdot (- 0 - 1 - 2 - (...) - (n - 1)))

- 1

ausklammern und die Null weglassen.

O_{n} = \frac{2}{n} (n \cdot 2 - \frac{2}{n} \cdot (1 + 2 + (...) + (n - 1)))

SO!

Also jetzt wieder

+ n - n

O_{n} = \frac{2}{n} (n \cdot 2 - \frac{2}{n} \cdot (1 + 2 + (...) + (n - 1) + n - n))

das

- n

aus der Klammer rauswerfen

O_{n} = \frac{2}{n} (n \cdot 2 - \frac{2}{n} \cdot (1 + 2 + (...) + (n - 1) + n) + \frac{2}{n} \cdot n))

das

\frac{2}{n} \cdot n

nach vorne ziehen:

O_{n} = \frac{2}{n} (n \cdot 2 + \frac{2}{n} \cdot n - \frac{2}{n} \cdot (1 + 2 + (...) + (n - 1) + n))

O_{n} = \frac{2}{n} (n \cdot 2 + 2 - \frac{2}{n} \cdot (1 + 2 + (...) + (n - 1) + n))

O_{n} = \frac{2}{n} (2 \cdot (n + 1) - \frac{2}{n} \cdot (1 + 2 + (...) + (n - 1) + n))

Für die Summe:

1 + 2 + (...) + n = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}

einsetzen

O_{n} = \frac{2}{n} (2 \cdot (n + 1) - \frac{2}{n} \cdot \frac{n \cdot (n + 1)}{2})

U_{n}

war an dieser Stelle:

U_{n} = \frac{2}{n} (2 \cdot (n - 1) - \frac{2}{n} \cdot (\frac{n \cdot (n + 1)}{2} - n))

Dieses

O_{n}

und das

U_{n}

kannst Du weiter vereinfachen.

Mario1993 aktiv_icon

10:43 Uhr, 28.08.2011

Ich wollte mich nochmals vielmals bei allen Beteiligten bedanken!!! Habe die Aufgabe soeben in Ruhe noch einmal gerechnet und kam, bei der Grenzwertbildung auf

2 + \frac{2}{n},

lässt man

n

gegen Unendlich gehen lautet das Ergebnis 2. Ich setze mich nun an eine weitere Aufgabe, falls dort weitere Fragen entstehen sollten, werde ich einen neuen Frage-Thread eröffnen und den Link hier posten. Vielen Dank!!!

Mario1993 aktiv_icon

11:07 Uhr, 28.08.2011

Noch eine kleine Frage:
Man benötigt folgende Summenformel:

1 + 2 + . .

+ n = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}

Kann man also auch

2 + n

in diese Formel einsetzen? Also sprich:

2 + n = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}

Shipwater aktiv_icon

11:11 Uhr, 28.08.2011

2 + n = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}

kann ja nicht stimmen. Ich denke du meinst

\sum_{k = 1}^{n + 2} k = \frac{(n + 2) \cdot (n + 3)}{2}

das wäre richtig.

Mario1993 aktiv_icon

11:13 Uhr, 28.08.2011

Ich kam beim Vereinfachen auf die Rechnung:
On

= \frac{2}{n} \cdot [2 n - \frac{2}{n} \cdot (2 + n)]

2 + n

habe ich die Summenformel eingesetzt und den Grenzwert gebildet und kam am Ende auf
On

= \frac{2 n}{n} + \frac{2}{n};

lässt man jetzt

n

gegen Unendlich laufen ist das Ergebnis 2

Shipwater aktiv_icon

11:15 Uhr, 28.08.2011

Für was brauchst du hier eine Summenformel?

O_{n} = \frac{2}{n} \cdot [2 n - \frac{2}{n} \cdot (2 + n)] = \frac{2}{n} \cdot (2 n - \frac{4}{n} - 2) = 4 - \frac{8}{n^{2}} - \frac{4}{n}

Mario1993 aktiv_icon

11:17 Uhr, 28.08.2011

Dann wäre der Grenzwert ja

4,

dieser ist aber 2. Der Grenzwert bei der Obersumme muss ja der selbe sein, wie bei der Untersumme. Bei der Untersumme musste man auch mit einer Summenformel weiterrechnen, um auf den Grenzwert 2 zu kommen

DmitriJakov aktiv_icon

11:21 Uhr, 28.08.2011

Deine Vereinfachung von

O_{n}

ist falsch. Überprüfe das nochmal.

Mario1993 aktiv_icon

11:26 Uhr, 28.08.2011

= \frac{2}{n} \cdot [2 + 2 - \frac{2}{n} + 2 - \frac{4}{n} + . .

+ 2 - \frac{2 n - 2}{n}]

\to 2

ausklammern

On

= \frac{2}{n} \cdot [2 n \cdot (- \frac{2}{n} - \frac{4}{n} - \frac{2 n - 2}{n}]

= \frac{2}{n} \cdot [2 n - \frac{2}{n} \cdot (1 + 2 + n - 1)]

Shipwater aktiv_icon

11:29 Uhr, 28.08.2011

So kannst du das nicht schreiben. Wenn dann

O_{n} = \frac{2}{n} \cdot [2 n - \frac{2}{n} \cdot (1 + 2 + ... + n - 1)]

Dieses

+ ... +

darf nicht fehlen. Noch schöner wird es mit dem Summenzeichen:

O_{n} = \frac{2}{n} \cdot [2 n - \frac{2}{n} \cdot \sum_{k = 1}^{n - 1} k]

Mario1993 aktiv_icon

11:31 Uhr, 28.08.2011

Ist aber meine Rechnung so richtig?

DmitriJakov aktiv_icon

11:34 Uhr, 28.08.2011

Ich glaube eher, dass das hier gemeint ist:

O_{n} = \frac{2}{n} (2 \cdot (n + 1) - \frac{2}{n} \frac{n \cdot (n + 1)}{2})

O_{n} = \frac{2}{n} (2 \cdot (n + 1) - (n + 1))

O_{n} = \frac{2}{n} (n + 1)

O_{n} = 2 + \frac{1}{n}

U_{n}

geht ähnlich und wird zu

U_{n} = 2 - \frac{1}{n}

Edit: Natürlich muss es heissen

O_{n} = 2 + \frac{2}{n}

und

U_{n} = 2 - \frac{2}{n}

Die Sonne blendet hier so :-D)

Shipwater aktiv_icon

11:34 Uhr, 28.08.2011

Du meinst wohl das richtige aber ohne die

+ ... +

ist es einfach falsch.
@ DmitriJakov:

O_{n} = 2 + \frac{2}{n}

und

U_{n} = 2 - \frac{2}{n}

Mario1993 aktiv_icon

11:37 Uhr, 28.08.2011

Aber wir hatten doch oben gesagt, dass

2 n

mal vorkommt; sprich 2 ausgeklammert bedeutet

2 \cdot n

Wenn da noch ein Fehler drin sein sollte, könntest Du bitte bei meinem Ansatz weiterrechnen? Verstehe diesen nämlich eigentlich soweit

DmitriJakov aktiv_icon

11:41 Uhr, 28.08.2011

Ich habe es doch ganz ausführlich gerechnet. Schau doch bitte dort nochmal nach.

Und weil dieser thread bei mir inzwischen über 2 Minuten braucht, bis er vollständig angezeigt wird schlage ich vor, dass Du einen neuen thread aufmachst, und dann Dich auf diesen hier beziehst.

Stelle die Frage dann zu einem bestimmten Posting unter Angabe der Uhrzeit des postings.

Shipwater aktiv_icon

11:41 Uhr, 28.08.2011

Du musst es halt einfach so schreiben: