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Frage zur gleichmäßigen Beschränktheit

Universität / Fachhochschule

Funktionenfolgen

Tags: Funktionenfolgen, gleichmäßige Konvergenz, Gleichmäßige_Beschränktheit

xwq1234 aktiv_icon

17:01 Uhr, 05.01.2016

Hallo,

ich lese gerade das Analysis Buch von Walter Rudin und dort steht nun das gleichmäßge Konvergenz einer Folge von beschränkten Funktionen impliziert das diese auch gleichmäßig Beschränkt ist.
Wahrscheinlich mach ich irgendeinen groben Fehler, aber die Folge: ( von

R

nach

R)

x^{2} - \frac{1}{n}

konvergiert doch gleichmäßig gegen

x^{2}

und ist auch durch

x^{2}

beschränkt jedoch ist

x^{2}

nicht gleichmäßig Beschränkt.

lg, xwq124

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Shipwater aktiv_icon

17:33 Uhr, 05.01.2016

Die Funktionen

f_{n} (x) = x^{2} - \frac{1}{n} (n \in ℕ)

sind doch gar nicht auf

ℝ

beschränkt. Gemeint ist natürlich "beschränkt durch eine Zahl". Ich weiß nicht was du mit "durch

x^{2}

beschränkt" meinst. So ist die Beschränktheit jedenfalls nicht zu verstehen. Du solltest dir am besten nochmal die Definitionen von "beschränkt" und "gleichmäßig beschränkt" ansehen.

xwq1234 aktiv_icon

19:00 Uhr, 05.01.2016

Achso sry hab mich verschrieben meinte punktwesie Beschränktheit und das ist so definiert das es ne Funktion

g (x)

gibt die größer als fn(x) ist für alle

n (

und

g (x)

muss überall nur endliche werte annehmen was

x^{2}

ja tut )
Und gleibmäßige Beschränktheit so das es ein

M

gibt sodass fn(x)<M

Shipwater aktiv_icon

19:44 Uhr, 05.01.2016

Deine Beschreibungen reichen mir nicht aus. Am besten tippst du die besagten Definitionen und die entsprechende Behauptung 1 zu 1 ab.
Jede punktweise konvergente Funktionenfolge ist doch auch punktweise beschränkt, da die Konvergenz einer Folge schon ihre Beschränktheit impliziert. Es ergibt also keinen Sinn "punktweise Beschränktheit" und "gleichmäßige Konvergenz" zu fordern, da letzteres schon ersteres impliziert. Daher denke ich, dass du irgendwas falsch verstehst. Eventuell ist einfach nur eine Folge bestehend aus beschränkten Funktionen gemeint.

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