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Fragen zu Logarithmus und Logarithmusgesetze

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Sonstiges

Tags: Sonstig

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18:29 Uhr, 03.10.2016

Hallo,
Hätte bezüglich Logarithmus einige Fragen.
Wenn ich jetzt die Aufgabe habe:

log 2 (8)

also Logarithmus von 8 zur Basis 2

dann ist das Ergebnis ja

3,

weil 2³

= 8

.
Wenn ich das ganze jetzt aber ohne Taschenrechner und mit der Formel:

\frac{log (8)}{log (2)}

ausrechnen wollen würde, würde ich ja keine 3 rausbekommen.

Das verwirrt mich etwas, hoffe mir kann jemand helfen.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen

Bummerang

18:37 Uhr, 03.10.2016

Hallo,

"Wenn ich das ganze jetzt aber ohne Taschenrechner und mit der Formel:

\frac{log (8)}{log (2)}

ausrechnen wollen würde, würde ich ja keine 3 rausbekommen."

Wieso nicht? Du müsstest nur

log (8)

und

log (2)

ausrechnen!

anonymous

18:46 Uhr, 03.10.2016

Hallo
Ähm, du drückst dich leider sehr unklar aus.
"Wenn ich das ganze

. .

. ausrechnen wollen würde, würde ich ja keine 3 rausbekommen."

Warum sollte das nicht rauskommen?
Egal, ob du es mit Taschenrechner ausrechnest, oder ohne Taschenrechner - wenn du das kannst, es sollte 3 rauskommen, weil eben 3 rauskommt.

abakus

18:54 Uhr, 03.10.2016

Hallo wisdomsoz,
ob du das Ganze ohne Taschenrechner ausrechnen kannst hängt auch davon ab, was du mit "log" (ohne Angabe einer Basis) meinst.
Wenn es der Logarithmus zur Basis 2 ist, ist es eine Kopfrechenaufgabe.
Sollte es sich um den Versuch handeln, den ln von 8 durch den ln von 2 zu teilen, müsstest du zwei unendliche nicht periodische Dezimalbrüche kennen und sie auch noch dividieren ;-)

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19:11 Uhr, 03.10.2016

Ich weiß nicht wie ich das hier als Formel richtig reinschreibe.
Die Aufgabe lautet:

log 2 (8)

Also der Logarithmus von 8 zur Basis 2.
Ich soll es OHNE Taschenrechner ausrechnen.

Dazu mache ich doch

\frac{log 8}{log 2}

oder nicht?

Respon

19:13 Uhr, 03.10.2016

Soll es so aussehen

: {log}_{2} (8)

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19:14 Uhr, 03.10.2016

Ja genau!

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19:14 Uhr, 03.10.2016

Ja genau!

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19:14 Uhr, 03.10.2016

Ja genau!

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19:14 Uhr, 03.10.2016

Ja genau!

Respon

19:17 Uhr, 03.10.2016

Der Logarithmus einer Zahl ist jener Exponent, mit dem man die Basis potenzieren muss um die Zahl zu erhalten.
Kannst du damit etwas anfangen ?

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19:17 Uhr, 03.10.2016

Es geht hier auch ohne Log:

{log}_{2} (8)

ist äquivalent mit

: 2^{x} = 8 = 2^{3}

2^{x} = 2^{3}

x = 3

(Exponentenvergleich genügt)

anonymous

19:19 Uhr, 03.10.2016

Ähm, also nochmals
Ja richtig.

{log}_{2} (8) = 3

weil

2^{3} = 8

Weil man sich das so im Kopf klar machen kann, braucht man keinen Taschenrechner dazu.

Du kannst natürlich auch

{log}_{2} (8) = \frac{ln (8)}{ln (2)}

rechnen. Das ist mathematisch völlig in Ordnung. Aber das macht die Kopfrechnung sicherlich nicht leichter. Ich kenne kaum jemanden, der das im Kopf kann.
Die Rechnung

{log}_{2} (8) = \frac{ln (8)}{ln (2)}

ist also für Kopfrechnen viel komplexer und schwerer, als der erstgenannte Gedanke.
Und wenn jemand von dir verlangt, den

{log}_{2} (8) = 3

ohne Taschenrechner zu rechnen,
dann erwartet er von dir, den zumutbaren Gedanken:

2^{3} = 8

folglich:

{log}_{2} (8) = 3

In anderen Worten: Du musst nicht

{log}_{2} (8) = \frac{ln (8)}{ln (2)}

rechnen, du kannst den viel einfacheren Weg

2^{3} = 8

nutzen.

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19:34 Uhr, 03.10.2016

Danke, das hat mir schon sehr geholfen.

Hätte diesbezüglich aber eine weitere Frage.
Wenn ich jetzt den log von der Aufgabe: lg (4)

+

(9)

ausrechnen soll ist die basis ja immer

10,

heißt, ich könnte theoretisch gesehen auch

{log}_{10} (4) + {log}_{10} (9)

rechnen oder?

anonymous

19:37 Uhr, 03.10.2016

Leider tun wir uns schon wieder schwer, dich zu verstehen.
lg(4)

+

lg(9)

= {log}_{10} (4) + {log}_{10} (9)

Beides ist die gleiche Rechnung, nur die Schreibweise ist ein wenig anders.
"lg" ist nur eine andere (kürzere) Schreibweise für

{log}_{10}

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19:46 Uhr, 03.10.2016

Ok gut das wollte ich nur wissen, ob das einfach eine kürzere Schreibweise ist.

Wenn ich jetzt aber folgende Aufgabe habe:

lg (4)

+ 2 \cdot

(5)

Wenn ich den Logarithmus von 4 zur Basis

10

ausrechnen soll, wie kann ich das machen? Die Basis ist ja höher als die 4.

anonymous

19:49 Uhr, 03.10.2016

lg(4)

+

2*lg(5) = lg(4

\cdot 5^{2}) =

lg(100)

10^{2} = 100

folglich ist
lg(100)

= 2

folglich ist
lg(4)

+

2*lg(5)

= 2

anonymous

19:55 Uhr, 03.10.2016

"Die Basis ist ja höher als die 4"

Das ist kein Problem. Die Basis darf gerne größer als das Argument sein.

Bedenke, Beispiele:

10^{- 1} = \frac{1}{10} = 0.1; \to

folglich

\to;

lg(0.1)

= - 1

10^{- 2} = \frac{1}{100} = 0.01; \to

folglich

\to;

lg(0.01)

= - 2

10^{- 3} = \frac{1}{1000} = 0.001; \to

folglich

\to;

lg(0.001)

= - 3

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20:02 Uhr, 03.10.2016

Danke du hast mir sehr geholfen! Vielen dank!

ledum aktiv_icon

20:08 Uhr, 03.10.2016

war überflüssig

wisdomsoz aktiv_icon

20:50 Uhr, 03.10.2016

Sorry dass ich nochmal nachfrage, aber zu

100 %

habe ichs doch noch nicht verstanden.

Wenn ich jetzt lg

(9)

hätte.
Wie müsste ich da vorgehen?

Bummerang

20:59 Uhr, 03.10.2016

Hallo,

ausser da 2*lg(3) draus zu machen, wird Dir ohne TR nicht gelingen!

anonymous

21:12 Uhr, 03.10.2016

Ich ahne, du willst
lg(9)
im Kopf rechnen, ohne Taschenrechner.
Nun, im Kopf ohne Taschenrechner sind zunächst mal nur exemplarische Beispiele rechenbar.
Aber eine Schätzung ist möglich.
Ich würde also eher von einer Schätzung als von einer Rechnung sprechen.
Wir wissen:

10^{0} = 1; \to

folglich

\to;

lg(1)

= 0

10^{1} = 10; \to

folglich

\to;

lg(10)

= 1

Nun, 9 liegt zwischen 1 und

10

.
Folglich liegt der lg(9) zwischen 0 und 1.
Und wir ahnen:
Die 9 liegt viel dichter bei der

10

als bei der 1.
Folglich wird der lg(9) dichter bei der 1 als bei der 0 sein.

Mit ein wenig Übung wirst du vielleicht lernen, recht präzise zu schätzen.
Ich habe da ein wenig Übung. Und ich kann dir mal anhand dieses Beispiels verraten, wie ich schätzen würde.
Ich weiß:
3 dBel entspricht (recht genau) einer Verdoppelung (des Schalldrucks).
das heisst:

0.3 =

lg(2)
Jetzt rechne gedanklich:
lg(2)=

0.3

3*lg(2)

= 3 \cdot 0.3 = 0.9

lg(2^3)

= 3 \cdot 0.3 = 0.9

lg(8)

= 0.9

Ok. Jetzt weiß ich:
lg(8)

= 0.9

lg(10)

= 1.0

Nun denn, gesucht ist der
lg(9)
Die 9 liegt genau in der Mitte zwischen 8 und

10

.
Dann wird der lg(9) recht genau in der Mitte zwischen lg(8) und lg(10) liegen,
also in der Mitte zwischen

0.9

und

1.0

.

Folglich meine Schätzung (ganz ohne Taschenrechner):
lg(9)

= 0.95

Kontrollrechnung mit Taschenrechner:
lg(9)=

0.9542425

Na, gar nicht so schlecht für eine Schätzung!
:-)

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21:24 Uhr, 03.10.2016

Das war um ehrlich zu sein zu viel für mein Hirn. Liegt vielleicht aber auch daran, dass ich den ganzen Tag schon versuche den Scheiß zu verstehen :-D)

Nehmen wir mal ein anderes Beispiel aus meinem Script, welches ich OHNE TR berechnen soll.

1 +

(0.5)

Ich wüsste ehrlich gesagt nicht, wie ich das ohne TR rechnen soll.

anonymous

21:25 Uhr, 03.10.2016

Sollst du das SCHÄTZEN oder RECHNEN?

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21:31 Uhr, 03.10.2016

Rechnen^^
Aufgabenstellung: Berechnen Sie folgende Logarithmen ohne TR.

anonymous

21:36 Uhr, 03.10.2016

Ich ahne, die Aufgabe ist so gemeint, dass du

1 +

lg(0.5)
einigermaßen genau schätzen sollst, auch wenn da vielleicht 'berechnen' steht.
Wie gesagt, wirklich exakt rechnen (im Kopf) geht nicht.

Aber es wird uns gelingen, das recht genau zu schätzen.
meine Vorgehensweise:
Wie gesagt:
3 dBel sind eine Verdoppelung,

\to

0.3 =

lg(2)

(- 1) \cdot 0.3 =

(-1)*lg(2)

- 0.3 =

lg(2^(-1))

- 0.3 =

lg(1/2) = lg(0.5)

1 +

lg(0.5)

= 1 + (- 0.3) = 0.7

Kontrolle mit TR:

1 +

lg(0.5)

= 0.69897

Na, für eine Schätzung doch gar nicht so schlecht.
Wie gesagt, das ist eine Sache der Übung.

anonymous

22:03 Uhr, 03.10.2016

. .

. und der Vollständigkeit halber:
Logarithmen konnte man natürlich schon vor den Zeiten elektronischer Hilfsmittel, wie einem Taschenrechner, rechnen,
mit Papier und Bleistift!

1 .)

über die Reihenentwicklung:

ln (1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} + . .

2 .)

Wir schätzen:
lg(9)

= 0.95

Wir wissen, das ist eine Näherung, eine Schätzung.
Also müssen wir die Schätzung korrigieren.
Nennen wir die Korrektur mal: "k"
lg(9)

= 0.95 + k

9 = 10^{0.95 + k}

9 = 10^{0} . 95 \cdot 10^{k}

9 = 10^{\frac{19}{20}} \cdot 10^{k}

9 =

20.Wurzel

\sqrt{10^{19}} \cdot 10^{k}

(Bitte, liebe Leser, seht mir bitte nach, dass ich immer vergesse, wie in diesem SCH... Editor die

20

. Wurzel geschrieben wird. Das soll wirklich die 20.Wurzel sein.)

Die 20.Wurzel

\sqrt{10^{19}}

lässt sich recht genau mit Papier und Bleistift rechnen. Wir ahnen schon, sie liegt dicht bei 9.
Der exakte Wert:
20.Wurzel

\sqrt{10^{19}} = 8.9125094

(Ihr ahnt schon, ich hab's der Einfachheit halber mit TR gerechnet. Aber es ginge auch mit etwas Übung, Mühe, Fleiß und Fehlerrisiko mit Papier und Bleistift.)

\to

9 = 8.9125094 \cdot 10^{k}

10^{k} = \frac{9}{8} . 9125094 = 1.0098166

k =

lg(1.0098166)

k = \frac{ln (1.0098166)}{ln (10)}

Aus der oben genannten Reihenentwicklung gilt die sehr gute Näherung:

ln (1.0098166) = 0.00982

Irgend ein kluger Kopf hat irgendwann einmal die oft gebrauchte und daher 'gebräuchliche' Konstante errechnet:

ln (10) = 2.3046

\to

k = 0 . \frac{00982}{2} . 3046 = 0.00426

Einsetzen in obigen Ansatz:
lg(9)

= 0.95 + k = 0.95 + 0.00426 = 0.95426

Kontrolle mit TR:
lg(9)

= 0.95 + 0.00426 = 0.9542425

Na, ja, irgendwo doch schon ein klein wenig Rundungsfehlerchen eingeschlichen. Aber prinzipiell richtig.

Wie gesagt, schon in vor-elektronischer Zeit wurden Logarithmen gerechnet. Per Papier und Bleistift.
So wurden Logarithmentabellen angelegt.

und das führt uns zu

3 .)

mit Logarithmentabellen oder Rechenstab.

4 .)

Oder, oder, oder. Meine Aufzählung erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit.

Aber das nur der Vollständigkeit halber. Das soll dich - wisdomsoz - jetzt nicht verwirren. Schritt für Schritt. Ich will dir nur andeuten. Es ist alles eine Übungssache. Du bist jetzt am Kennenlernen und erste Schritte tasten. Das ist gut so, und weiter guten Mutes!

wisdomsoz aktiv_icon

22:19 Uhr, 03.10.2016

Um ehrlich zu sein, mein Kopf qualmt, werde mir das morgen genau durchlesen.
Ist im moment alles etwas schwierig, mache gerade einen Brückenkurs für meinen am

26

. Oktober startenden Informatik Studiengang. Dort sollen die Grundlagen fürs Studium aufgefrischt werden. Mein Problem ist halt, dass ich in diesem Kurs kaum was verstehe, weil ich diese ganzen Themen so komplex nie gemacht habe. Habe diese Themen wie Potenzen usw. alle relativ oberflächlich gemacht in der Unterstufe. Daher erschließt sich mir bis jetzt nicht so ganz wie ich mein Abitur bestehen konnte, wenn ich in diesen (wohl sehr) einfachen Dingen solche immensen Schwierigkeiten habe. In meinem Script schaffe ich von den meisten Aufgaben nur

a)

bis

d)

oder

e),

f) e . t . c

werden die ganzen Aufgaben so verschachtelt, dass ich nicht mehr klarkomme und keine Ahnung hab wo ich bei solchen Aufgaben ansetzen soll. Naja, irgendwie werde ich das schon hinkriegen.

Sorry für den Roman, musste mir mal meinen "Frust" von der Seele schreiben :-D)

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01:49 Uhr, 04.10.2016

Hallo
lg(0.5)=lg(1/2)=-lg(2)