Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Fragen zu Winkelberechnungen im Koordinatensystem

Fragen zu Winkelberechnungen im Koordinatensystem

Universität / Fachhochschule

Tags: Koordinatensystem, Winkel

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
beelze

beelze aktiv_icon

14:08 Uhr, 13.01.2015

Antworten
Guten Tag zusammen,

ich bin jetzt schon seit längerer Zeit auf der Suche nach der Lösung eines Problems und bin somit dann irgendwann hier gelandet und hab mich auch gleich angemeldet.
Eines vorne weg. Mein Problem ist sehr speziell. Ich hoffe es kann mir jemand helfen bzw. eventuell in die richtige Richtung schubsen.

Aufgabe: Mit einem Koordinatenmessgerät wird ein kalibriertes Normal dreidimensionell im Raum gemessen, vereinfacht dargestellt werden 2 punkte gemessen, die dann je Koordinaten in X,Y,Z haben. Dann wird der räumliche Abstand berechnet und mit dem Soll Maß verglichen.
Das ganze geschieht dann 4 mal in verschiedene Richtungen. Wenn man gegenüberliegende Ecken der einzelnen Messungen mit 0 und 1 betrachtet ergibt sich folgendes: RD = Raumdiagonale
RD1 000-111
RD2 100-011
RD3 110-001
RD4 010-101

Um die 4 Messungen in Bezug setzen zu können, wird für jeder Messung das selbe Normal verwendet. Aufgrund der Ungenauigkeit der Maschine ergeben sich dann 4 verschiedene Längen. Nun ist ja bei einer Maschine das Koordinatensystem nicht wie auf dem Blatt rechtwinklig zueinander, sondern weist mechanisch bedingt Abweichungen auf. Und genau diese Abweichungen möchte ich gerne Berechnen. d.h. die Abweichungen der einzelnen Winkelebenen ( XY / XZ / YZ ).
Vielen Dank schonmal für die Bemühungen.
Ich hoffe ich habe es einigermaßen verständlich dargestellt und vielleicht hat jemand einen Lösungsansatz.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
Femat

Femat aktiv_icon

15:58 Uhr, 13.01.2015

Antworten
Kannst du das zeichnerisch erläutern, was z.B. berechnet werden sollte?

Screenshot (305)
beelze

beelze aktiv_icon

16:19 Uhr, 13.01.2015

Antworten
Hi und Danke für die Antwort.
Ich hab leider momentan kein Zeichenprogramm zur Verfügung. Aber wenn ich mir dein angehängtes Bild anschaue dann wird die Diagonale von
A--G

B--H

C--E

D--F

gemessen. Theoretisch müsste ja immer das selbe Ergebnis raus kommen. Tut es aber aufgrund der verschobenen Koordinatenachsen nicht.

Und ich will dann wissen um wie viel Grad die einzelnen Koordinatenachsen zueinander von 90 abweichen.

Ich hoffe es wurde verständlicher.
Antwort
Femat

Femat aktiv_icon

16:38 Uhr, 13.01.2015

Antworten
Mach mal ein Zahlenbeispiel wie z.B.
Alle Punkte auf der x-y Ebene bleiben aber der Punkt G wandert auf (3,2,5).
Ich möchte die Ebene durch die 3 Punkte ...haben.

Ich gehe davon aus, dass da keine Koordinatenachsen verschoben werden, weil das Messsystem kann ja nicht einfach durch Maschinenfehler abgeändert werden.
Antwort
Edddi

Edddi aktiv_icon

16:58 Uhr, 13.01.2015

Antworten
Wenn dir die Koordinaten der 8 Eckpunkte vorliegen, warm dann umständlich über die Raumdiagonalen?

Es liegen dir dann doch auch direkt die Kanten und somit deren Einschlusswinkel zur Verfügung.

Sorry für das reinplatzen, aber vielleicht gibt die Antwort darauf noch einigen Aufschluss uber das Problem.

:-)
beelze

beelze aktiv_icon

17:06 Uhr, 13.01.2015

Antworten
Es ist etwas schwierig zu erklären. Die Maschine besitzt drei Achsen X,Y und Z. Es werden dann die vorher erwähnten Aufstellung des Normals gemessen. Daraus ergeben sich dann 4 Längen deren Ausgangspunkt und Endpunkt im Koordinatensystem bekannt ist. Theoretisch müssten ja alle Punkte den selben Abstand haben. Haben sie aber in der Realität nicht, da die Achsen der Maschine nicht Rechtwinkligkeit zueinander sind ( wir reden hier über 1-100 Winkelsekunden).
Einfacher ist es glaub 2-dimensional zu erklären. Das normal wird in der XY Ebene gemssen einmal von Punkt A--C und dann von A--B. Wenn jetzt der Winkel zw. X und Y Achse nicht korrekt ist, dann erscheint das Normal bei einer Messung länger und bei einer kürzer. Also es hat z.Bsp. ein theoretisches Maß von 1000mm und wird dann einmal 1000,010 mm gemessen und einmal 999,990 mm. Wenn jetzt das Normal exact im 45° Winkel zu den beiden Achsen gelegen hat, dann ergibt sich daraus ein Winkelfehler von gerundet 2"

beelze

beelze aktiv_icon

17:10 Uhr, 13.01.2015

Antworten
@edddi: Ich kann dir nicht ganz folgen :-D)
beelze

beelze aktiv_icon

17:24 Uhr, 13.01.2015

Antworten
So ich hab da mal ein Bild gefunden. Leider ist es etwas unscharf. Auf dem Bild ist in der Mitte das Messmittel zu sehen (schwarzes Teil mit vielen Kugeln) und im Hintergrund die Maschine (weiß mit blauem Zeiss Logo).
Antwort
Femat

Femat aktiv_icon

17:26 Uhr, 13.01.2015

Antworten
Puh das wird ganz schwierig.
Wärst du nicht in einem Maschinenbauerforum besser bedient?
schon der Begriff Normal bringt mich durcheinander. In der Mathe ist normal meist senkrecht, aber die Orthogonalität scheint bei dir ganz durgeschüttelt zu werden.
sorry :(
beelze

beelze aktiv_icon

17:30 Uhr, 13.01.2015

Antworten
Eigentlich ist es nur Mathematik ... haha ... aber ich glaube es scheitert hier schon an meinen Erklärversuchen. Ich werde mich dann wohl die Tage mal hinsetzen und versuchen das ganze irgendwie zu bebildern und zu skizzieren. Ich danke dann aber trotzdem schon mal für die Bemühungen.
Antwort
Femat

Femat aktiv_icon

17:39 Uhr, 13.01.2015

Antworten
Versuch das ganze KONKRET zahlenmässig mit 3D Koordinaten beispielhaft zu beschreiben.

Ich sehe dein Bild nicht.
Antwort
Edddi

Edddi aktiv_icon

19:00 Uhr, 13.01.2015

Antworten
... welche Form hat denn dein "Normal" ? Ist es ein genauer Eichwürfel, der in einer beliebigen Lage aus den 3 Achsen, welche orthogonal zu einander sein sollen, vermessen wird. Dabei gibt dir dann dein Maschienchen die Koordinaten für die Eckpunkte raus und nun müssten die Diagonalen je nach Lage des Eichwürfels ja zueinander bestimmte Längen haben?

Mathematische Hilfe wirst du hier sicherlich bekommen, jedoch haperts noch am Verständnis der Aufgabenstellung.

:-)

Antwort
Werner-Salomon

Werner-Salomon aktiv_icon

21:53 Uhr, 13.01.2015

Antworten
Hallo beelze,

ich habe mich vor Jahren intensiv mit einem ähnlichen Problem beschäftigt.
Eddit und Femat haben aber Recht; Deine Aufgabenbeschreibung ist noch mehrdeutig. Daher zunächst noch ein paar Fragen:

Ziel ist es, die 'Ungenauigkeiten' der Messmaschine zu ermitteln oder mit anderen Worten die Maschine zu kalibrieren - richtig?

Stehen die Achsen der Messmaschine senkrecht auf einander (bzw. sollen senkrecht stehen exklusiv der 'Fehler')?
Es sind nur Linearachsen - keine Rotationsachsen - richtig?

Ist der Massstab (wahrscheinlich ein Glasmassstab) einer Achse so genau, dass er nicht weiter kalibriert werden muss, bzw. kann? D.h. ist keine Skalierung in einer Achsrichtung nötig?

Wie groß ist der 'Messraum' der Maschine - so Länge, Breite, Höhe. Reden wir hier über 5cm oder eher 5m?

Existiert nur ein einziges 'Normal', welches an den zwei(!) Endpunkten wahrscheinlich jeweils eine Kugel besitzt, die von der Maschine vermessen werden? Falls ja, so muss das Normal zwischen den Messungen bewegt werden. Das würde bedeuten, dass die relative Lage zweier Eckpositionen des Normals, die nicht zu einer Messung gehören, nicht bekannt ist, bzw. mit ausreichender Genauigkeit nicht bekannt sein kann - richtig?

Sind die Achsen ausreichend geradlinig? Mit dem Verfahren bekommt man eine eventuelle Krümmung einer Achse nicht raus. Ist das richtig bzw. gewollt?

@Eddi: stell' Dir vor, Du steckst in Deinem Garten ein Rechteck ab. Du misst aus, dass die gegenüberliegen Seiten gleich lang sind - ok. Wie prüfst Du jetzt die 'Rechteckigigkeit' des Rechtecks einfacher als durch Nachmessen und Vergleichen der beiden Diagonalen.

Gruß
Werner


beelze

beelze aktiv_icon

22:39 Uhr, 13.01.2015

Antworten
Hi Werner,
ich sehe du weist wovon ich rede. Ja es ist mein Ziel die Ungenauigkeiten zu ermitteln und im Anschluss zu korrigieren.
An der Maschine sind nur Linearachsen vorhanden und sie stehen senkrecht zueinander in der Reihenfolge XZY (also ein Horizontalarm Messgerät)
Der Maßstab kann unter Umständen auch skaliert werden, jedoch kann ich diese Berechnung selber durchführen.
Beim Messvolumen reden wir dann eher von 5m Aufwärts.
Das Normal ist ein Kugelstab. Dieses Normal besteht aus mehreren Kugeln entlang einer Linie. Das Normal wird zwischen den Messungen bewegt. Die Lage ist jedoch über die Koordinaten der Kugelmittelpunkte im Raum, welche in Maschinenkoordinaten ausgewertet werden eindeutig bestimmt. Jedoch müsste eine Berechnung der Winkelfehler des KMG dies berücksichtigen.
Die Achsen sind zum Zeitpunkt der Messungen so gut als möglich geradlinig. Eine eventuelle Krümmung muss nicht berücksichtigt werden.

Ich hoffe ich habe deine Fragen beantwortet und konnte etwas mehr Licht ins Dunkel bringen. vielen Dank für deine Bemühungen und hoffentlich fällt dir was dazu ein.

Grüße Jochen
Antwort
Werner-Salomon

Werner-Salomon aktiv_icon

21:03 Uhr, 14.01.2015

Antworten
Hallo Jochen,

dann habe ich es wohl im Prinzip verstanden.

Die übergeordnete Idee, wie man das macht, ist hier de.wikipedia.org/wiki/Methode_der_kleinsten_Quadrate beschrieben. Mein weitere Vorgehensweise wäre jetzt die Folgende:

Zunächst stellt man die Matrix für die Vorwärtskinematik der Messmaschine auf, inklusive der wahrscheinlichen Fehler, die natürlich unbekannt - also Variablen in dieser Gleichung sind.

Dies geht am geschicktesten nach der Denavit-Hartenberg-Methode. Bitte frage nach, wenn das nicht klar ist. (siehe de.wikipedia.org/wiki/Denavit-Hartenberg-Transformation

Bei den kleinen Winkeln kann man dann sin(α)=α und cos(α)=1 setzen. Man erhält dann eine Transformationsmatrix T=f(α1,Θ2,α2). Die Winkel sind die Deltas.
Da wir hier nur Linearachsen haben, sollten sich die Koordinaten p im Weltsystem mit einer einfachen Linearkombination aus den Gelenkwerten g bestimmen lassen - also:
pi=T×gi
Damit lässt sich dann eine Gleichung mit der Länge l der Normalen aufstellen
0=T×(g1-g0)-l
wenn in den drei Variablen α1,Θ2,α2 die 'richtigen' Werte stehen, sollte dieser Term zu 0 werden.

bzw. für alle vier Messungen die Summe aller Quadrate
δ=k=14(T×(g1-g0)-l)2
.. das jetzt bitte aus multiplizieren und dann nach jeder der drei Variablen ableiten und jede Ableitung zu 0 setzen. Gibt drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Das ganze muss man dann wohl nummerisch lösen.

Ist einiges an Schreibarbeit, sollte aber machbar sein.

Gruß
Werner



beelze

beelze aktiv_icon

21:02 Uhr, 16.01.2015

Antworten
Hi,
also erst mal muss ich mich für die verspätete Antwort entschuldigen. Ich hatte die letzten Tage zu viel zu tun. Und dann sag ich auch gleich mal Danke für die Bemühungen.

Also dein Lösungsvorschlag sieht gut aus, auch wenn ich kein Wort verstehe :-D)
Ich hoffte, dass dieses Thema mit ein bisschen sin, cos,... und Pythagoras zu lösen wäre.

Meinst du falls ich es doch noch schaff es zu verstehen, dass man da dann in Excel was schreiben kann. Also z. Bsp..
1.Messung: 1.P X ... Y... Z... / 2.P X... Y... Z...
2.Messung: 1.P X ... Y... Z... / 2.P X... Y... Z...
3.Messung: 1.P X ... Y... Z... / 2.P X... Y... Z...
4.Messung: 1.P X ... Y... Z... / 2.P X... Y... Z...

und Krieg dann von Excel:
Fehler Winkel XY ... sec
Fehler Winkel XZ ... sec
Fehler Winkel YZ ... sec

Ich war zwar in Mathe immer gut und Begriffsstutzig bin ich auch nicht, aber zu mehr als Mittlerer Reife hat es dank mangelnder Lernbereitschaft in der Schulzeit nie gereicht.

Nochmals Danke und Grüße

Antwort
Werner-Salomon

Werner-Salomon aktiv_icon

13:00 Uhr, 17.01.2015

Antworten
Hallo Jochen.

in Excel kann man sehr schön die Vorwärtskinematik 'rechnen'. Aber das setzt voraus, dass alle Werte bekannt sind. Das ist hier nicht der Fall. Die willst Du ja gerade heraus bekommen.

Solltest Du aber die fertige Gleichung für die Summe aller Fehlerquadrate bestimmt haben, halte ich es für sehr wahrscheinlich, dass Du mit Hilfe von Excel eine nummerische Lösung dafür bestimmen kannst. Das geht mit Hilfe des sogenannten 'Solvers'. (suche nach "Excel Solver"). Aber es setzt die 'fertige Gleichung' voraus - besser die drei Ableitungen dieser Gleichung.

Im Prinzip ginge es auch mit ein Bisschen (mehr) Trigonometrie und Pythagoras (weil die Achsen kartesisch sind) aber mit Denavit-Hartenberg ist es wirklich einfacher, weil man nach 'einfachen' mechanischen Regeln vorgeht - vorausgesetzt man hat ein wenig Übung damit. Man macht dabei weniger Fehler!

Leider habe ich i.A. auch keine Zeit .. wann brauchst Du denn eine Lösung? Ist das Arbeit, Praktikum oder Ausbildung?

Du solltest auf jeden Fall das mit Denavit-Hartenberg verstanden haben. Voraussetzung dafür ist u.a. Matrizenmultiplikation. Da ist nichts abstraktes dabei und es geht immer 'nach Kochrezept'. Schau Dir noch mal den Artikel im Wiki an. Könntest Du das hin bekommen?

Gruß
Werner





beelze

beelze aktiv_icon

11:52 Uhr, 19.01.2015

Antworten
Hi Werner,
nochmals Danke für deine Bemühungen.
Ich werde mich die Tage mal ein bisschen einlesen. Hab aber im Moment leider auch viel anderes am Hut.Ich hab eigentlich keinen Zeitdruck darauf. Ich habe ein Programm, welches bereits das rechnet was ich möchte. Ich benütze dieses geschäftlich und würde gerne verstehen was dabei geschieht. Es liegt irgendwie in meiner Natur Dinge versteen zu wollen und nicht nur als gegeben hinzunehmen.
Ich Danke dir auf jeden Fall mal für die wichtigen Tipps und versuche mich einzuarbeiten.
Grüße
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.