Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Fragesammlung Flächen-,Winkel-,Längentreue

Fragesammlung Flächen-,Winkel-,Längentreue

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

mante aktiv_icon

06:59 Uhr, 10.12.2015

Hi

Hier nun der dritte Fragekatalog an Euch zum Thema 2x2-Matrixen.

1. Drücken "

c^{2} + d^{2} = 1

" eine lineare Abbildung aus, wie "

a^{2} + b^{2} = 1

"?

2. Drücken "

c^{2} + d^{2} = k

" eine winkeltreue Abbildung aus, wie "

a^{2} + b^{2} = k^{2}

"?

3.Warum sind Spiegelungen nur für -90°<phi<90° definiert aber Drehungen für 0° grösser gleich

φ

kleiner gleich 360° definiert?

4. Was ist hier gemeint: Da gilt ac=-b also ac+bd=0 und das Skalarprodukt

= c

stehen beide Vektoren senkrecht zueinander"? Wie kommt man von ac=-b auf ac+bd=0?

5. Wo liegt die 2. Winkelhalbierende?

6. Warum folgt aus Determinante=1 nicht unbedingt Längentreuheit der Abbildung?

7. Kann man nur bei winkeltreuen Abbildungen(oder bei allen Abbildungen) den Strekungsfaktor durch

k^{2} = a^{2} + b^{2}

berechnen?

8. Wenn man als Lösung, bei der Berechnung des Eigenvektors eine Gerade erhält, handelt es sich dann immer um eine Fixgerade= Oder aknn es auch eine Fixpunktgerade sein?

9. Wie kommt man auf

\frac{4}{13} :

Für Determinante

A \cdot = (\begin{matrix} 3 & - \frac{5}{4} \\ \frac{5}{4} & 3 \end{matrix})

gilt:

3^{2} + {(\frac{5}{4})}^{2} = 9 + \frac{25}{10} = \frac{169}{16} = {(\frac{13}{4})}^{2}

{(\frac{13}{4})}^{2} = k^{2}

\frac{13}{4} = k =

Strekungsfaktor; daher die Matrix

\frac{4}{13} A \cdot

die Matrix einer Drehung?

(A \cdot

ist hier die Abbildungsmatrix, in einem nichtkartesischen Koordinatensystem und A die Abbildungsmatrix im kartesischen Koordinatensystem)

Wäre echt toll wenn mir jemand helfen könnte :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

11:49 Uhr, 10.12.2015

Hallo
was sollen denn in den ersten Fragen

a, b, c, d

sein?
warum soll

a^{2} + b^{2} = 1

eine lineare

A

ausdrücken?
3. redest du von Schrägspiegelungen? versuch mal um 100° zu spiegeln!
4.

y = x

ist die erste, teilt den winkel im 1. und 3. Quadraten,

y = - x

die 2 te teilt den winkel im 2. und 4. quadranten.
6. warum ist bei längentreuer

A det = 1

schreib mal die Matrix einer Scherung auf,

z

. B.

(\begin{matrix} 1 & 8 \\ 0 & 1 \end{matrix})

7.ja
8. nur bei

k = 1

also Ax=x
9: berechne die der der neuen Matrix , die Bemerkung in der Klammer versteh ich nicht!
Gruß ledum

mante aktiv_icon

17:28 Uhr, 10.12.2015

Dankeschön:-)

Bei 1. und 2. Beziehen sich die Aussagen auf eine Abbildungsmatrix

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})

.
3. Hmmh, da eine Spigelung an einer Geraden erfolgt, handelt es sich dabei um eine Spiegelung um -10°, und deswegen dieser Grenzbereich, bei Drehungen, kann es jedoch solch einen nicht geben.
4. -
5. Dankeschön
6. Tut mir leid, sollte heissen "a^2 +b^2=1", warum folgt daraus nicht das es sich um eine längentreue Abbildung handelt?.

Z . B

. Warum ist die folgende Matrix keine längentreue Affinität?
((cos(Alpha),cos(Alpha)),(sin(Alpha),-sin(Alpha)))

7 . -

8. Wenn, bei der Berechnung des Eigenvektors man eine Gerade y=Ax erhält handelt es sich um eine Fixgerade? Wann handelt es sich um eine Fixpunktgerade? Und wenn dies nicht der Fall ist(y nicht gleich

x)

dann handelt es sich um eine Fixpunktgerade.
9.
Für eine Matrix

A = (\begin{matrix} \frac{17}{4} & - \frac{5}{4} \\ \frac{5}{2} & (\frac{7}{4}) \end{matrix})

A*(A*=Normaldarstellung bei einer linearen Affinität ohne Eigenwert

= (\begin{matrix} p & - q \\ q & p \end{matrix})

= T^{- 1} \cdot A \cdot T

In einem durch die beiden nicht kolinearen Vektoren

(1,0)

und

(e . f)

aufgespannten Koordinatensystem gilt:

T = (\begin{matrix} 1 & e \\ 0 & f \end{matrix})

und

T^{- 1} = (\frac{1}{f}) \cdot (\begin{matrix} f,0 \\ - e,1 \end{matrix})

somit

A \cdot = (\frac{1}{f}) \cdot (\begin{matrix} f,^{- e} \\ 0,1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{17}{4} \\ - \frac{5}{4} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \frac{5}{2} \\ \frac{7}{4} \end{matrix} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 & e \\ 0 & f \end{matrix})

=1/4f(17f+10e,10e^2+10ef-5f^2),(10,10e+7f))
durch umformen ergibt sich

e = \pm 1, f = 2

wählt man

e = 1, f = 2

ergibt sich:

A \cdot = ((1, - \frac{1}{2}), (\frac{0,1}{2})) \cdot ((\begin{matrix} \frac{17}{4} \\ - \frac{5}{4} \end{matrix}), (\begin{matrix} \frac{5}{2} \\ \frac{7}{4} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1,1 \\ 0,2 \end{matrix}) = ((3, - (\frac{5}{4})), ((\frac{5}{4}),3))

Für die Determinante von

A \cdot

gilt

3^{2} + {(\frac{5}{4})}^{2} = 9 + \frac{25}{16} = \frac{169}{16}

daher ist die Matrix

\frac{4}{13} A^{\in}

einem kartesischen Koordinantensystem) die Matrix einer Drehung.

ledum aktiv_icon

16:27 Uhr, 11.12.2015

Hallo
1. hallo wenn

a^{2} + b^{2} = 1

kann man a und

b

als

cos (a p h a)

und

sin (α

schreiben, entsprechend, wenn

c^{2} + d^{2} = 1

a = cos α, b = sin (α)

wenn

c^{2} + d^{2} = 1

dann

c = sin β, d = cos β,

deine matrix also keine Drehmatrix, wenn

d \neq a

zu 6 hab ich in deinen anderen post geantwortet.
deine Frage 8 versteh ich nicht , was nennt man denn eine Fixgerade?
9 seh ich keine Frage.
Gruß ledum

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1275739

1275318

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?