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Französische Eisenbahnmetrik

Universität / Fachhochschule

Mengentheoretische Topologie

Tags: Mengentheoretische Topologie

Khokta aktiv_icon

07:13 Uhr, 19.11.2016

Hallo!
Ich brauche bitte Hilfe bei folgendem Beispiel:

Sei

| | . | |

die euklidische Norm auf

ℝ^{n}

. Für

x, y \in ℝ^{n}

ist die französische Eisenbahnmetrik

D : ℝ^{n} x ℝ^{n} \to ℝ

definiert durch

d (x, y) := | | x - y | |

für

(x, y) \in G, | | x | | + | | y | |

für

(x, y) \notin G,

wobei

G := {(x, y) \in ℝ^{n} x ℝ^{n} : x

und

y

liegen auf Geraden durch den Ursprung.

}

Zeige, dass durch

d

eine Metrik definiert wird.

Der Ansatz ist mir klar, ich muss also die drei Eigenschaften einer Metrik nachweisen. Nur bin ich mir bei der Vorgehensweise nicht sicher.

Ich habe beispielsweise für

(M 1) : d (x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y :

Falls

(x, y) \in G : d (x, y) = 0 \Leftrightarrow | | x - y | | = 0 \Leftrightarrow \sqrt{{(x - y)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow {(x - y)}^{2} = 0 \Leftrightarrow x - y = 0 \Leftrightarrow x = y

.

Stimmt das soweit?

Lg Khokta

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

09:03 Uhr, 19.11.2016

Hallo,

ja, jetzt kommt noch der andere Fall und dann geht's mit den anderen Metrik-Eigenschaften weiter. DAbei erfordert die Dreiecks-Ungleichung eine Reihe von Fallunterscheidungen.

Gruß pwm

Khokta aktiv_icon

17:03 Uhr, 19.11.2016

Hi,

ok die ersten beiden Eigenschaften sind somit leicht zu zeigen.
ich denke ich unterscheide beim Beweis der Dreiecksungleichung 4 Fälle:

(x, y) \in G

und

z \in G

(x, y) \in G

und

z \notin G

(x, y) \notin G

und

z \in G

(x, y) \notin G

und

z \notin G

?

Stimmt im ersten Fall die folgende Vorgehensweise:

d (x, y) = | | x - y | | = \sqrt{{(x - y)}^{2}} \leq \sqrt{{(x - z)}^{2}} + \sqrt{{(z - y)}^{2}}

pwmeyer aktiv_icon

17:35 Uhr, 19.11.2016

Hallo,

der erste Fall lautet vollständig: Es esistiert eine Gerade

g,

so dass

x, y \in g

und

z \in g

. Dann folgt die Dreiecksungleichung für

d

aus der Dreiecksungleichunge für

| | . | |

.

Der nächste Fall wäre also, dass

x, y

auf einer Geraden

g

liegen und

z

nicht auf dieser Geraden.

Die anderen Fäll muss Du noch genauer formulieren.

Gruß pwm

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