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Freie Variablen in einem LGS wählen

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Determinanten

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Tags: Determinanten, Eigenwert, Vektorraum

tommy40629 aktiv_icon

12:51 Uhr, 26.04.2014

Hi,

mir hat gerade jemand gesagt, das es nicht nur einen Fall gibt, wann man in einem LGS (lineares Gleichungssystem) eine Variable frei wählen kann.

Ich habe im Abitur einen Fall kennengelernt, wann man eine Variable aus dem LGS frei wählen kann.

Und zwar, wenn man eine NULLZEILE hat, dann kann man eine Variable frei wählen. z.B.:

x_{3} = t \in ℝ

Wenn man

n

Nullzeilen hat, dann darf man auch

n

freie Variablen wählen.

Was sind den jetzt die anderen Kriterien, die einem erlauben, dass man eine oder mehrere Variablen frei wählen darf??

EDIT:
Einen weiteren Fall habe ich gefunden. Wenn das LGS mehr Variablen als Gleichungen hat, dann kann man freie Variablen wählen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

anonymous

14:35 Uhr, 26.04.2014

Hallo
Zunächst sollten wir uns um mathematisch eindeutige Begrifflichkeiten bemühen.

a)

Was heisst: "... kann man eine Variable frei wählen..."?
Du sprichst offensichtlich lineare Abhängigkeit an.
Ein Gleichungssystem kann linear abhängig sein. Wenn lineare Abhängigkeit vorliegt, dann kann man tatsächlich den Wert einer Variablen frei festlegen. Die Werte sämtlicher anderen Variablen lassen sich dann aus dieser Festlegung errechnen.

Am einfachsten kann man sich das 2-dimensional klar machen. Wenn wir 2 Variablen namens "x, y" haben, und eine Geradengleichung

y = m \cdot x + b,

dann können wir:

>

ein x-y-Diagramm aufzeichnen,

>

einen Wert für

x

festlegen, und den zugehörigen Wert für

y

direkt im Diagramm ablesen,

>

oder einen Wert für

y

festlegen, und den zugehörigen Wert für

x

direkt im Diagramm ablesen.

b)

Du sprichst von "NULLZEILEN". Was genau soll das sein?

c)

Du sprichst den Fall an, dass ein LGS mehr Variablen als Gleichungen hat. Ja, das ist ein Sonderfall dafür, dass das LGS linear abhängig wird.

d)

"Was sind den

[

n] die anderen Kriterien, die einem erlauben, dass man

[...]

Variablen frei wählen darf?"
Das Kriterium ist die lineare Abhängigkeit. ZB. bei Matrizen-Arbeitweise: Wenn Nenner- und Zähler-Matrix Null werden, dann ist das Gleichungssystem linear abhängig.

e)

Ich weiß zwar immer noch nicht, was eine "Nullzeile" ist. Aber ich ahne: Vermutlich ist eine Nullzeile einfach nur ein Sonderfall, in dem das LGS linear abhängig wird.
Anders gesagt: Verstehe 'Nullzeilen' einfach als Sonderfall bzw. Beispiel für lineare Abhängigkeit.
Vermutlich sind Nullzeilen solche, wo schon der reine Augenschein zeigt, dass das LGS linear abhängig wird. Aber sei gewiss: Man sieht LGS nicht immer auf anhieb an, ob sie linear abhängig sind.

tommy40629 aktiv_icon

15:12 Uhr, 26.04.2014

Danke für Deine Antwort.

Nullzeile heißt, wenn in einem LGS eine Zeile nur aus Nullen besteht.

Das Problem mit dem linear unabhänigen LGS habe ich glaube ich auch verstanden.
Also wenn man ein LGS = Null setzt und alle Variablen sind Null, dann ist es linear unabhänig und man kann die letzte Variable frei wählen.

Ich hatte diesen Fall bei einem 2x2 LGS. Danach hatte ich dann eine Lösung.

anonymous

15:30 Uhr, 26.04.2014

"Nullzeile heißt, wenn in einem LGS eine Zeile nur aus Nullen besteht."

0 \cdot x_{1} + 0 \cdot x_{2} + 0 \cdot x_{3} + . .

= 0

0 = 0

Wenn ich dich recht verstehe, dann soll die Aussage "0=0" eine Nullzeile sein. Sei versichert, die Aussage

0 = 0

ist nicht nur in LGSs, sondern ganz allgemein überall stimmig, unsinnig, nichtssagend, nicht-hilfreich, überlesbar, omittierend, hohl, trivial und primitiv.

Nochmals die Bitte, deine Ausdrucksweise zu präzisieren.

a)

Wenn du was anderes unter "Nullzeile" verstehst, dann siehst du jetzt hoffentlich, dass du dies noch präzisieren müsstest.

b)

"Das Problem mit dem linear ==>UN<==abhänigen LGS habe ich glaube ich auch verstanden."
Von UNabhängigkeit habe ich nie gesprochen.
Meine Aussagen oben betrafen stets linear abhängige Problemstellungen.

c)

"...und alle Variablen sind Null, dann ist es linear unabhänig..."
Ganz klar: NEIN und FALSCH!

d)

"...dann ist es linear unabhänig und man kann die letzte Variable frei wählen."
Ganz klar: NEIN und FALSCH!
Vermutlich wolltest du sagen:
ist es linear ABHÄNGIG und man kann

[

eine] Variable frei wählen.

tommy40629 aktiv_icon

16:06 Uhr, 26.04.2014

Also war es denn nicht so, dass wenn man z.B. ein 3x3 LGS hat mit Variablen x,y,z und man wollte wissen, ob es linear unabhänig ist, dann hatte man das LGS ja gleich Null gesetzt. Und wenn nun x=y=z=0 dann war das LGS linear unabhänig.

3 Vektoren kann man ja auch so auf lineare Unabhänigkeit prüfen.

Wenn dann die 3 Koeffizienten alle Null sind, dann sind die Vektoren lin. unabhä.

anonymous

13:45 Uhr, 27.04.2014

Auch auf die Gefahr hin, dass ich mich wiederhole: wir sollten uns um eine klare Sprache und um klare Begrifflichkeiten bemühen. Mit Halbsätzen und Halb-Missverständlichkeiten werden wir uns auch immer halb missverstehen.

Ich will das Folgende gerne auch durch ein

3 \cdot 3

LGS untermalen.
Nehmen wir beispieilhaft an:

a_{1} \cdot x + b_{1} \cdot y + c_{1} \cdot z = d_{1}

a_{2} \cdot x + b_{2} \cdot y + c_{2} \cdot z = d_{2}

a_{3} \cdot x + b_{3} \cdot y + c_{3} \cdot z = d_{3}

Du sagst: "man wollte wissen, ob es linear unabhänig ist, dann hatte man das LGS ja gleich Null gesetzt."
Was heisst "Null setzen"??
Ich vermute, ihr könntet in Schule oder Vorlesung so vorgegangen sein, den Konstantenvektor Null zu setzen,

d . h

. davon auszugehen, dass alle Koeffizienten

d_{i}

oben den Wert

d_{i} = 0

haben.

Ich bin jetzt zu wenig Fachmann, um sicher zu sein, ob man hier von 'Homogenisierung' sprechen darf. 'homogen' sagt man glaube ich im Bereich von Differenzialgleichungen. Wie auch immer, lass uns einstweilen von 'homogenem LGS' sprechen, wenn wir den Konstantenvektor

d_{i} = 0

setzen. Es wird hier schon jemand korrigierend einspringen, wenn ich dies falsch bezeichne.

Offensichtlich ist ja, dass das homogene LGS stets mindestens die Lösung besitzt:

(x = 0; y = 0; z = 0)

Wenn wir nun entscheiden wollen, ob das homogene LGS linear abhängig oder unabhängig ist, dann müssen wir doch weiter untersuchen und unterscheiden:

1)

Wenn diese Lösung

(x = 0; y = 0; z = 0)

eindeutig und die EINZIGE Lösung ist, dann ist das (homogene) LGS linear unabhängig.

2)

Wenn es neben dieser Lösung

(x = 0; y = 0; z = 0)

noch weitere Lösungen gibt, die Lösung

(x = 0; y = 0; z = 0)

also nicht die einzige Lösung ist, dann ist das (homogene) LGS linear abhängig.

Du sagst: "Wenn dann die 3 Koeffizienten alle Null sind, dann sind die Vektoren lin. unabhä."
Ich muss wieder vermuten. Vermutlich meinst du nicht die Koeffizienten, sondern die Variablen

(x, y, z)

.
Dann würde deine Aussage lauten: 'Wenn dann die 3 Variablen

(x, y, z)

alle Null sind, dann sind die Vektoren lin. unabhängig.'
Meine Antwort: ?? Fragezeichen ??
Was willst du mit dieser Aussage wirklich aussagen?
Wie gesagt, das homogene LGS hat stets mindestens die Lösung

(x = 0; y = 0; z = 0)

.
Ob das homogene LGS lin. abhängig oder unabhängig ist, musst du doch - wie oben gesagt - noch näher untersuchen...

anonymous

12:32 Uhr, 30.04.2014

Übrigens - bin ich gerade gestossen auf:
http//www.youtube.com/watch?v=Bm73sqcAXPM

Mathe45

13:02 Uhr, 30.04.2014

Kurz, einfach, eindeutig

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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