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Freiheitsgrade, Zwangsbedingung

Universität / Fachhochschule

Tags: drei feste Stäbe, Freiheitsgrad, Körper aus vier Punktmassen, Zwangsbedingung

anonymous

00:16 Uhr, 24.05.2015

Ich sitze schon länger an dieser Aufgabe:

Gegeben ist ein Körper, der aus vier Punktmassen besteht. Die Massen sind durch drei feste Stäbe verbunden und liegen alle in einer Ebene (siehe Abbildung). Die Innenwinkel zwischen den Stäben

(α

und

β)

sind variabel. Zeigen Sie, unter Verwendung geeigneter Zwangsbedingungen, dass dieser Körper genau 8 Freiheitsgrade hat!

Ich weiß, dass die Zwangsbedingung eine holonom-skleronome ist und man damit die Gleichung

: f = d \cdot N - b (f :

Freiheitsgrad, d:-D)imension,

N :

Massepunkte, b:Zwangsbedingung) bzw. im Skript

S = 3 \cdot N - p

benutzen kann.

N = 4,

da es vier Massen sind, die Dimension im Skript ist

d = 3

. Nun ist mir bewusst, dass jede Masse keine z-Komponente hat, nur weiß ich nicht, wie ich die Zwangsbedingung aufstellen soll.

: (

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Rodja Falk Tholen aktiv_icon

02:17 Uhr, 24.05.2015

GF: (GegenFrage), (Unhöflichkeit

X

leider)

< \to

"Spaß darf sein":

Liegen die Massepunkte in einer Ebene? Wie wird in dem Kontext Ebene definiert? (Erklärung: Die Symbolsprache ist mir zu sehr kodiert!)

Welcher Winkelsummensatz gilt

(\in

einem Viereck) (natürlich für die Innenwinkel)

Wenn Sie sich mit Ebenen auseinandersetzen wollen, dann bedarf es natürlich der Linearen Algebra! Vor dem Fach hatte ich echt mal Angst! Ich dachte dadurch würde mein gesamtes Studium infrage gestellt!

F :

Weshalb studieren Sie?

anonymous

03:06 Uhr, 24.05.2015

Ja, die Massepunkte liegen in einer Ebene :-D) die Ebene ist die xy-Ebene, ich weiß nicht, was Sie mit der Definition meinen

: (

α + β

können

max

. 360° betragen; Lineare Algebra hatte ich bis jetzt nicht

: (

und ich studiere Physik, also kein Mathe

anonymous

15:53 Uhr, 24.05.2015

Achtung. Zwar sollen alle Punkte in einer Ebene liegen. Jedoch wurde nicht gefordert wie die Ebene im dreidimensionalen Raum liegen soll.
Die Forderung, dass die vie Punkte in einer bestimmten Ebene (beispielsweise x-y-Ebene) liegen sollen, wäre eine stärkere Einschränkung.

Wie du darauf kommst, dass

α + β

maximal

360^{\circ}

groß werden darf ist mir auch nicht klar. Außerdem wäre das auch keine holonoe Zwangsbedingung.

-

Es werden

N = 4

Massepunkte

(P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4})

im dreidimensionalen Raum

(d = 3)

betrachtet.
Es gelten folgende (holonome) Zwangsbedingungen (die man natürlich auch als entsprechende Gleichungen formulieren kann):

1. Der Abstand von Punkt

P_{1}

und

P_{2}

ist konstant (durch die Länge des Verbinudngsstabes gegeben)
2. Der Abstand von Punkt

P_{2}

und

P_{3}

ist konstant (durch die Länge des Verbinudngsstabes gegeben)
3. Der Abstand von Punkt

P_{3}

und

P_{4}

ist konstant (durch die Länge des Verbinudngsstabes gegeben)
4. Alle Punkte sollen in einer Ebene liegen.

D . h

. durch

P_{1}, P_{2}, P_{3}

wird eine Ebene definiert und

P_{4}

muss dann auch in dieser Ebene liegen.

Damit hat man

d \cdot N - 4 = 3 \cdot 4 - 4 = 8

Freiheitsgrade.

- - -

Zur Formulierung der Zwangsbedingungen als Gleichungen

...

Die erste Bedingung lautet beispielsweise als Gleichung formuliert:

{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2} + {(z_{1} - z_{2})}^{2} - s_{12}^{2} = 0

Dabei wird mit

s_{12}

die entsprechende konstante Stablänge bezeichnet.

Die vierte Bedingung ist etwas umständlicher hinzuschreiben. Damit sie nicht zu lang wird:

det (\begin{matrix} x_{1} - x_{4} & x_{2} - x_{4} & x_{3} - x_{4} \\ y_{1} - y_{4} & y_{2} - y_{4} & y_{3} - y_{4} \\ z_{1} - z_{4} & z_{2} - z_{4} & z_{3} - z_{4} \end{matrix}) = 0

Diese kann man natürlich auch weiter ausschreiben, was allerdings etwas länger wird:

x_{1} \cdot y_{2} \cdot z_{3} - x_{1} \cdot y_{3} \cdot z_{2} - x_{2} \cdot y_{1} \cdot z_{3} + x_{2} \cdot y_{3} \cdot z_{1} + x_{3} \cdot y_{1} \cdot z_{2} - x_{3} \cdot y_{2} \cdot z_{1}

- x_{1} \cdot y_{2} \cdot z_{4} + x_{1} \cdot y_{4} \cdot z_{2} + x_{2} \cdot y_{1} \cdot z_{4} - x_{2} \cdot y_{4} \cdot z_{1} - x_{4} \cdot y_{1} \cdot z_{2} + x_{4} \cdot y_{2} \cdot z_{1}

+ x_{1} \cdot y_{3} \cdot z_{4} - x_{1} \cdot y_{4} \cdot z_{3} - x_{3} \cdot y_{1} \cdot z_{4} + x_{3} \cdot y_{4} \cdot z_{1} + x_{4} \cdot y_{1} \cdot z_{3} - x_{4} \cdot y_{3} \cdot z_{1}

- x_{2} \cdot y_{3} \cdot z_{4} + x_{2} \cdot y_{4} \cdot z_{3} + x_{3} \cdot y_{2} \cdot z_{4} - x_{3} \cdot y_{4} \cdot z_{2} - x_{4} \cdot y_{2} \cdot z_{3} + x_{4} \cdot y_{3} \cdot z_{2} = 0

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