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Fubini --> Lebesgue integrierbar

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Funktionen

Integration

Maßtheorie

Tags: Funktion, Integration, Maßtheorie

mathestudent-111 aktiv_icon

10:41 Uhr, 23.10.2020

Kurze Frage:

Ich weiss, dass wenn eine Funktion Lebesgue Integrierbar ist, dass ich dann den Satz von Fubini Anwenden kann und die Integral Reihenfolge tauschen darf.

Nun Frage ich mich, ob auch das Gegenstück gilt. Wenn ich eine Funktion habe und beide Integrale das Gleiche ergeben, dann darf ich daraus folgen, dass die Funktion Lebesgue integrierbar ist?

Darf ich dass oder ist dies Falsch?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

DrBoogie aktiv_icon

10:49 Uhr, 23.10.2020

Welche Integrale meinst du dann, wenn Funktion nicht Lebesgue-integrierbar ist?

mathestudent-111 aktiv_icon

10:52 Uhr, 23.10.2020

Okei, dann hat sich dies glaube ich erledigt.

mathestudent-111 aktiv_icon

10:55 Uhr, 23.10.2020

Dann habe ich eine andere Frage

Ich habe eine Funktion, welche den Satz von Fubini erfüllt. (also beide Integrale sind gleich)
Aber die Funktion erfüllt nicht den Satz von Tonelli.
An was könnte dies Liegen?

Denn wenn eine Funktion Messbar ist, dann folgt aus Tonelli, dass Fubini anwendbar ist.

Zuerst dachte ich, da f nicht Messbar ist. Aber wenn nun Fubini hält ist f integrierbar und somit Messbar.

Ich denke ich müsste eine Begründing finden, dass Tonelli--> Fubini, aber nicht umgekehrt.
Jedoch woran könnte dies liegen?

HAL9000

10:56 Uhr, 23.10.2020

> Nun Frage ich mich, ob auch das Gegenstück gilt. Wenn ich eine Funktion habe und beide Integrale das Gleiche ergeben, dann darf ich daraus folgen, dass die Funktion Lebesgue integrierbar ist?

Mit "beide Integrale" nehme ich an, dass du die beiden über die Komponenten iterierten Integrale meinst. Die Antwort auf deine Frage lautet dann "Nein", etwa mit folgendem Gegenbeispiel:

f (x, y) = {\begin{aligned} - 1 & für x - 1 < y < x \\ 1 & für x \leq y < x + 1 \\ 0 & sonst \end{aligned}

.

Dann ist nämlich

\int_{- \infty}^{\infty} f (x, y) d x = 0

für alle

y

und auch

\int_{- \infty}^{\infty} f (x, y) d y = 0

für alle

x

und somit

\int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} f (x, y) d x d y = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} f (x, y) d y d x = 0

.

Aber

\int_{ℝ^{2}} f (x, y) d (x, y)

existiert nicht wegen

\int_{ℝ^{2}} ∣ f (x, y) ∣ d (x, y) = \infty

DrBoogie aktiv_icon

11:03 Uhr, 23.10.2020

Ich empfehle die Diskussion hier:
www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=119279&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.com%2F

Außerdem gibt's sogar in Wikipedia Einiges:
en.wikipedia.org/wiki/Fubini%27s_theorem#Counterexamples

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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