Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Füllhöhe eines Rotationskörper bei füllen x Litern

Füllhöhe eines Rotationskörper bei füllen x Litern

Schüler

Tags: Füllhöhe, Funktion, Rotationskörper, Rotationsvolumen

beastofpray aktiv_icon

18:31 Uhr, 15.04.2012

Hallo zusammen,

ich habe folgende Aufgabe: Bestimmen Sie die Gleichung, um auszurechnen, wie hoch der
Wasserstand in der Vase ist, wenn diese mit

0,5

Liter Wasser gefüllt werden soll.

Als Angaben habe ich die Funktionsgleichung eines Rotationskörpers:

f (x) = \frac{1}{20}

x²+5

Die Grenzen a uf der

x

Achse (Anfang und Ende der liegenden Vase)liegen bei

(- 8)

und

(10)

V = π ⋆ \int_{- 8}^{10}

((f(x))²dx

Das von mir Berechnete Volumen der gesamten Vase ist

2413,948

.

PS: es gibt keine Maßangaben in der Aufgabenstellung, ist für die Formelaufstellung aber wohl nicht nötig.

Wie komme ich jetzt zu einer Formel mit der ich bestimmen kann wie hoch der Füllstand der Vase ist wenn ich

0,5

Liter Wasser (oder einfach einen Betrag

x)

in die Vase schütte?

Meine Vermutung ist das ich das Volumen, welches ich habe von dem Gesamtvolumen abziehen muss und dann die Formel für Rotationskörper in irgendeiner Art Rückwerts rechnen muss. Oder denke ich vielleicht zu kompliziert?

lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Atlantik aktiv_icon

18:37 Uhr, 15.04.2012

Du hast die Volumenformel für die Rotation um die x-Achse genommen.

Ich verstehe nicht was es mit den Grenzen von

- 8

und

10

auf sich hat.

mfG

Atlantik

beastofpray aktiv_icon

21:06 Uhr, 15.04.2012

Ja ich habe die Volumenformel für die Rotation um die

x

Achse genommen, die Grenzen beschreiben Anfang und Ende der Vase auf der

x

Achse gesehen. Ich hab den befehl für die Grenzen direkt an das Integral zu hängen leider nicht gefunden oder übersehen.

lg

*edit* habe es nun oben entsprechend angepasst

Atlantik aktiv_icon

15:46 Uhr, 16.04.2012

Also es sind

2413,947491

cm^2 Rauminhalt. Das ist schon mal richtig.

Jetzt sind

0,5 L = 500 c m^{2}

gegeben. Wenn nun der Boden der Vase bei

- 8

liegt, würde ich so weiterrechnen:

500 = Π \cdot [(\frac{h^{5}}{2000} + \frac{1}{6} h^{3} + 25 \cdot h) - (\frac{{(- 8)}^{5}}{2000} + \frac{{(- 8)}^{3}}{6} + 25 \cdot (- 8))]

Dann die Gleichung vereinfachen und nach

h

auflösen.

mfG

Atlantik

beastofpray aktiv_icon

23:09 Uhr, 16.04.2012

Hi Atlantik,

dem kann ich folgen, eigentlich sogar ganz simpel hätte ich selbst drauf kommen können.
Wir nehmen also

h

als obere Integralgrenze und setzen ganz normal ein.

Nun müssen wir

h

isolieren. Leider hänge ich hier wieder, da die Funktion nur eine Nullstelle bei 0\0 hat kann ich keine Polynomdivision durchführen.

f (h) = \frac{1}{2000} \cdot h^{5} + \frac{1}{6} \cdot h^{3} + 25 h

Da ich die Nullstelle bei 0\0 direkt sehe kann ich

h

ausklammern und wegstreichen.
Somit bleibt noch folgendes

f (h) = \frac{1}{2000} \cdot h^{4} + \frac{1}{6} \cdot h^{2} + 25

Wie komme ich nun näher an das h? :-)
Da hier definitiv keine Nullstelle mehr auftaucht brauch ich nicht anzufangen Nullstellen zu raten.

Ich vermute hier muss eine andere Rechenart als die Polynomdivision angewandt werden.

*edit*: ich hab versucht mit Wurzel weiter zu rechnen aber da komme ich auch nicht auf ein einzelnes

h ... .

KalleMarx aktiv_icon

00:40 Uhr, 17.04.2012

Moin beastofpray!

Ich fange mal vorn an:

Natürlich sind Maßangaben wichtig; sonst kannst Du mit dem einzufüllenden Volumen von

500 {cm}^{3}

nicht arbeiten. Nehmen wir also mal an, eine Längeneinheit im KOS entspreche einem Zentimeter. Damit wäre die Vase 18 cm hoch, was sinnvoll erscheint. Ihr gesamtes Volumen beträgt dann

V_{max} \approx 2413, 948 {cm}^{3}

.

Abgesehen von den Einheitenfehlern hat Atlantik um 14:46 Uhr die korrekte Gleichung zur Berechnung des Füllstandes beim Einfüllen eines halben Liters angegeben, der Du um 23:09 Uhr nach Deinen Aussagen folgen konntest. Warum rechnest Du anschließend nur mit einem Teil dieser Gleichung weiter? Das kann ja dann nicht mehr richtig sein.
Allgemein lautet die Gleichung beim Einfüllen eines Volumens

E

wie folgt:

E = π \int_{- 8}^{h} (f (x))^{2} d x

= π [\frac{h^{5}}{2000} + \frac{h^{3}}{6} + 25 h - (\frac{(- 8)^{5}}{2000} + \frac{(- 8)^{3}}{6} + 25 \cdot (- 8))]

= π [\frac{h^{5}}{2000} + \frac{h^{3}}{6} + 25 h + \frac{113144}{375}]

.

Dies stellst Du nach Null um:

0 = \frac{h^{5}}{2000} + \frac{h^{3}}{6} + 25 h + \frac{113144}{375} - \frac{E}{π}

.
Diese Gleichung hat offensichtlich mindestens eine Nullstelle (und zwar verschieden von Null!), die es zu finden gilt. Diese Nullstelle(n) findet man natürlich nicht durch Raten, da das absolute Glied ja irrational ist. Es muss also ein numerisches Verfahren herangezogen werden.
Zur Kontrolle: Für

E = 500

ist die einzige Nullstelle

h \approx - 4, 87503

.

Nebenbei: Wenn ein Polynom kein absolutes Glied besitzt (also alle Summanden

x

enthalten), klammert man immer die niedrigste Potenz von

x

aus, da (mindestens) eine Nullstelle dann stets

x_{1} = 0

ist.
Ein Polynom der Form

f (x) = a x^{4} + b x^{2} + c

nennt sich "biquadratisch" und man löst es mit der Substitution

z = x^{2}

und anschließend zweimal

p q

-Formel.
Polynomdivision wendet man nur bei Polynomen mit einem absoluten Glied an, wenn sich kein anderes analytisches Verfahren anbietet.

Gruß - Kalle.

beastofpray aktiv_icon

11:22 Uhr, 17.04.2012

Moin Kalle,

ja das es Kubik statt Quadrat seien müssen ist klar. Auch das mit der Höhe kommt hin es ist in der Aufgabe nur leider nicht angegeben aber wir gehen mal davon aus.

Nachdem ich deine Erklärung gelesen habe wird mir so einiges klar. Ich habe bewusst nur ein Teil der Gleichungen genommen, wollte diese nach

h

Auflösen und dann wieder einsetzen.

Natürlich absoluter Blödsinn!

- . -

Ich werde das gleich nochmal versuchen danke für die Tips! :-)

lg
beast

beastofpray aktiv_icon

00:24 Uhr, 18.04.2012

Hallo nochmal,

also ich habe das jetzt probiert aber ich schaffe es nicht eine Nullstelle zu finden(manuell). Klar Geogebra berechnet mir diese ohne Probleme als

- 4,36

aber mit welchem verfahren komme ich auf so etwas, wenn ich eine Arbeit mit solchen Aufgaben schreibe kann ich Geogebra schlecht benutzen

: (

lg
beast

Aurel

00:39 Uhr, 18.04.2012

Nimm das Newton'sche Näherungsverfahren

hier die Formel: home.eduhi.at/teacher/alindner/Dyn_Geometrie/DiffInt/Newton_Iterationsformel.gif

Noch Fragen dazu?

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

993581

993041

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?