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Für welche Vektoren ex. die Richtungsableitung?

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, Richtungsableitung

rancidrufus aktiv_icon

16:30 Uhr, 11.07.2017

Hallo allerseits,

ich bin leider noch nicht so ganz warm geworden in der mehrdimensionalen Analysis und habe
folgende Aufgabe zu lösen:

$f$ ist eine Funktion vom IR³ nach IR, gegeben durch $f (x, y, z) = \sqrt{{(- 1 + 3 \cdot x - y)}^{2} + {(x + 3 \cdot y + z)}^{4}}$
Zu bestimmen ist die Menge der Vektoren aus dem IR³, für welche die Richtungsableitung im Punkt $(0,0,0)$ existiert.

Ich habe zunächst angefangen, den Grenzwert $h \to 0$ von $\frac{f (0 + h \cdot v) - f (0)}{h}$ für ein allgemeines $v = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ zu betrachten, jedoch führte dies nicht besonders weit, und ich war mir auch nicht sicher inwieweit eine Abschätzung hier hilfreich sein könnte.

Desweiteren habe ich Überlegungen angestellt, ob die partiellen Ableitungen in $(0,0,0)$ stetig seinen. Ich meine, dass sie dies sind, da die Ableitungen als Komposition stetiger Funktionen stetig sein müssten (und der auftretende Nennerausdruck nur für Vektoren einer Geraden 0 wird, welche nicht durch $(0,0,0)$ geht..)

Jedoch sind meine Kenntnisse noch sehr schwammig und hoffe von euch etwas Hilfe zu bekommen, wie hier generell vorzugehen ist..
Danke im Voraus,
Manuel

DrBoogie aktiv_icon

17:26 Uhr, 11.07.2017

"Ich habe zunächst angefangen"

War doch richtig so.

$f (0) = 1$ , $f (h v) = \sqrt{(3 h v_{1} - h v_{2} - 1)^{2} + h^{4} (v_{1} + 3 v_{2} + v_{3})^{4}} = \sqrt{1 + h (2 v_{2} - 6 v_{1}) + h^{2} (. . .)}$ ,
und weiter mit dem Trick $a - b = \frac{a^{2} - b^{2}}{a + b}$ hast Du

$\frac{f (h v) - f (0)}{h} = \frac{\sqrt{1 + h (2 v_{2} - 6 v_{1}) + h^{2} (. . .)} - 1}{h} = \frac{h (2 v_{2} - 6 v_{1}) + h^{2} (. . .)}{h (\sqrt{1 + h (2 v_{2} - 6 v_{1}) + h^{2} (. . .)} + 1)} = \frac{(2 v_{2} - 6 v_{1}) + h^{2} (. . .)}{(\sqrt{1 + h (2 v_{2} - 6 v_{1}) + h^{2} (. . .)} + 1)}$ und das konvergiert immer bei $h \to 0$ .
Daher vermute ich, dass die Funktion nicht richtig angegeben wurde.

rancidrufus aktiv_icon

17:34 Uhr, 11.07.2017

Hi DrBoogie,
die Funktion ist so korrekt...

Dies würde doch in dem Fall auch mit der Stetigkeit aller partiellen Ableitung im Urspung und der daraus folgenden totalen Diffbarkeit korrespondieren, da in dem Fall genauso alle Richtungsableitungen existieren, oder?

DrBoogie aktiv_icon

17:36 Uhr, 11.07.2017

Wenn die Funktion total diff-bar ist, dann existieren alle Richtungsableitungen, ja.

rancidrufus aktiv_icon

17:45 Uhr, 11.07.2017

OK danke für deine Mühe. Es handelt sich um eine Online Aufgabe, hier schlichen sich des öfteren schon mal "Fehler" ein...also ist das Ergebnis nicht soo verwunderlich, auch wenn es zu Übungszwecken sicherlich anders gemeint war ;-)

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