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Für welche Vektoren hat die Matrix den Rang 1?

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Lineare Algebra, Matrizenmultiplikation, Rang einer Matrix, Vektor

ivo96 aktiv_icon

23:48 Uhr, 29.08.2017

Hey!

Ich tüftel momentan an einer kleinen Aufgabe rum, komme aber leider nicht auf das Ergebnis bzw. bin mir unsicher, ob mein Ergebnis richtig/vollständig ist.

Die Aufgabe lautet wie folgt:

"Für welche Vektoren

a \in ℝ^{n}

hat die Matrix

a \cdot a^{T} \in ℝ^{n x n}

den Rang 1?"

Beispielhaft habe ich für

a = (\begin{matrix} a 1 \\ a 2 \\ a 3 \end{matrix})

dies mal ausprobiert:

a \cdot a^{T} = (\begin{matrix} a 1 \\ a 2 \\ a 3 \end{matrix}) \cdot ((a_{1}, a_{2}, a_{3})) = (\begin{matrix} a 1^{2} & a 1 a 2 & a 1 a 3 \\ a 2 a 1 & a 2^{2} & a 2 a 3 \\ a 3 a 1 & a 3 a 2 & a 3^{2} \end{matrix})

Ich hoffe, soweit stimmt alles. Ich habe mir überlegt, das beispielsweise für

a = 1

alle 3 Spalten voneinander linear abhängig wären, da dann:

(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix})

Die sollte auch

n > 1

gelten. Außerdem gilt dies auch für alle

a = λ

mit

λ \in ℝ,

also generell immer, wenn die Vektoren nur aus einer Zahl bestehen, da dann gilt:

a \cdot a^{T} = (\begin{matrix} λ^{2} & λ^{2} & λ^{2} \\ λ^{2} & λ^{2} & λ^{2} \\ λ^{2} & λ^{2} & λ^{2} \end{matrix}),

somit wären wieder alle Spalten voneinander linear abhängig und somit würde der Rang 1 betragen.

Sind meine Überlegungen richtig und die Lösungen vollständig, oder habe ich was vergessen beziehungsweise sind die Überlegungen falsch?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Multiplikation
Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

ledum aktiv_icon

00:01 Uhr, 30.08.2017

Es ist zu spät zum rechnen für mich aber Rang 1 hat die Maria auch, wenn jede Zeile ein Vielfaches einer anderen ist, nicht nur wenn sie gleich sind.
ich denke also dass du nicht alle

w

gefunden hast, sollte man aber mit 3 mal 2 und 3 mal 3 ausprobieren.
Gruß ledum

HilbertRaum aktiv_icon

08:48 Uhr, 30.08.2017

Deine Matrix A ist symmetrisch. Mithin ist der Rang von A gleich der Anzahl ihrer Eigenwerte, die nicht 0 sind.
Du suchst also eine symm. M., die genau einen Eigenwert ungleich 0 hat...

ivo96 aktiv_icon

11:02 Uhr, 30.08.2017

Okay, vielen Dank, die Tatsache hatte ich leider vergessen.

Demnach würde der Rang immer 1 betragen, solange nur ein einziger Eintrag des Vektors a ungleich 0 beträgt, richtig? Also so:

(\begin{matrix} λ_{1} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (λ_{1}, 0, 0) = (\begin{matrix} {(λ_{1})}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

oder

(\begin{matrix} 0 \\ λ_{2} \\ 0 \end{matrix}) \cdot (0, λ_{2}, 0) = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & {(λ_{2})}^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

?

Und so müsste es doch auch trotzdem stimmen, oder?

(\begin{matrix} λ_{3} \\ λ_{4} \\ λ_{5} \end{matrix}) \cdot (λ_{3}, λ_{4}, λ_{5}) = (\begin{matrix} {(λ_{3})}^{2} & λ_{3} λ_{4} & λ_{3} λ_{5} \\ λ_{4} λ_{3} & {(λ_{4})}^{2} & λ_{4} λ_{5} \\ λ_{5} λ_{3} & λ_{5} λ_{4} & {(λ_{5})}^{2} \end{matrix})

mit

λ_{3} = λ_{4} = λ_{5}

Also entweder wenn alle Einträge gleich sind, oder wenn nur ein einziger ungleich 0 ist. Ist das korrekt?

ivo96 aktiv_icon

11:14 Uhr, 30.08.2017

Mir ist gerade aufgefallen, dass der Rang auch 1 ist, wenn

z . B

a = (\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})

oder

a = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{matrix})

. Ist der Rang somit immer

1,

wenn...
1. alle Einträge von

a = 0

und einer

\neq 0,

also

z . B

a = (\begin{matrix} 0 \\ a \\ 0 \end{matrix})

oder
2. alle Einträge ein Vielfaches voneinander sind, also

z . B

a = (\begin{matrix} a_{1} \\ λ_{1} \cdot a_{1} \\ λ_{2} \cdot a_{1} \end{matrix})

mit

λ_{1}, λ_{2} \in ℤ

Ist die Lösung korrekt und vollständig?

HilbertRaum aktiv_icon

09:24 Uhr, 31.08.2017

Prüfe doch mal das ...
Eigenwert

λ_{2 . . n} = 0

heisst

a a^{T} v = 0

für

v \neq 0

.
Also kann

a a^{T}

keiner bijektiven Abb. entsprechen und demzufolge ist

d e t (a a^{T}) = 0

a a^{T} = (\begin{array}{rcl} a_{1}^{2} & a_{2} a_{1} & . . . & a_{n} a_{1} \\ a_{1} a_{2} & a_{2}^{2} & . . . & a_{n} a_{2} \\ a_{1} a_{3} & a_{2} a_{3} & . . . & a_{n} a_{3} \\ . . . & . . . & . . . & . . . \\ a_{1} a_{n} & a_{2} a_{n} & . . . & a_{n}^{2} \end{array})

D.h. Spalte 2...n muss von Spalte 1 abhängen:

(\begin{array}{rcl} a_{k} a_{1} \\ . . . \\ a_{k}^{2} \\ . . . \\ a_{k} a_{n} \end{array}) = r_{k} (\begin{array}{rcl} a_{1}^{2} \\ a_{1} a_{2} \\ a_{1} a_{k} \\ . . . \\ a_{1} a_{n} \end{array})

also

a_{k}^{2} = r_{k} a_{1} a_{k}

d.h.

a_{k} = r_{k} a_{1}

mit

a_{1} \neq 0

Also:

a = (\begin{array}{rcl} a_{1} \\ r_{1} a_{1} \\ . . . \\ r_{n} a_{1} \end{array})

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