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Fundamentalmatrix

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Tags: Sonstiges

F2222 aktiv_icon

09:57 Uhr, 26.01.2011

hi, ich hab schwerigkeiten bei folgender Aufgabe:

Bestimme alle Lösungen des Differenztialgleichungssystems.

y ´_{1} = y_{1}

y ´_{2} = 3 y_{1} - 2 y_{2}

finde außerdem die Lösungen für die Anfangsbedingungen

y_{1} (0) = 1 u n d y_{2} (0) = 0

ich hab erstmal die gleichung in Form

\underline{y ´} = A \underline{y}

gebracht

\underline{y ´} = (\begin{array}{rcl} 1 & 0 \\ 3 & - 2 \end{array}) \underline{y}

so ich suche die Fundamentalmatrix und ich weiß ich muss erstmal eigenwerte und eigenvektoren berechnen.Eigenwerte sind -2 und 1, die Eigenvektoren sind

(\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \end{array})

und

(\begin{array}{rcl} 1 \\ 1 \end{array})

wie mache ich jetzt weiter ?

lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Yokozuna aktiv_icon

10:53 Uhr, 27.01.2011

Hallo,

Du bist ja schon fast am Ziel. Du hast die beiden Eigenwerte

λ_{1} = - 2

und

λ_{2} = 1

sowie die zugehörigen Eigenvektoren

\vec{v_{1}} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

(zu

λ_{1})

und

\vec{v_{2}} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

(zu

λ_{2})

. Die allgemeine Lösung des Differentialgleichungssystems lautet dann:

\vec{y} = c_{1} \cdot \vec{v_{1}} \cdot e^{λ_{1} \cdot x} + c_{2} \cdot \vec{v_{2}} \cdot e^{λ_{2} \cdot x}

wobei

c_{1}

und

c_{2}

die Integrationskonstanten sind.

Um die Lösung zu den Anfangsbedingungen

y_{1} (0) = 1

und

y_{2} (0) = 0

zu finden, muß man

c_{1}

und

c_{2}

in der allgemeinen Lösung so bestimmen, daß sich für

x = 0

gerade die Anfangsbedingungen ergeben. Dazu setzt man diese Anfangsbedingungen an der Stelle

x = 0

in die allgemeine Lösung ein und erhält dann ein lineares Gleichungssystem für die beiden Unbekannten

c_{1}

und

c_{2},

welches man dann noch lösen muß.

Viele Grüße
Yokozuna

F2222 aktiv_icon

20:58 Uhr, 27.01.2011

hi vielen dank, ich kann es jetzt ;-)

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