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Fundamentalmatrix aufstellen

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Fundamentalmatrix, Gewöhnliche Differentialgleichungen

 
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Dream123

Dream123 aktiv_icon

04:37 Uhr, 11.01.2019

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Hallöchen,
könnte mir bitte jemand bei folgender Aufgabe behilflich sein? Ich komme nicht voran.
Ich soll das Differentialgleichungssystem lösen:
y1'=-y1(t)+y2(t),
y2'=y1(t)-y2(t),
mit
y1(0)=2
y2(0)=0

Der erste Schritt ist laut Lösung eine Fundamentalmatrix aufzustellen, aber ich weiß nicht wie man auf die Fundamentalmatrix Y(t)=(1e-2t1-e-2t) kommen soll.


Kann mir das bitte einer erklären


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

12:58 Uhr, 11.01.2019

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Hallo
zuerst musst du doch mal das System lösen also Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen von y'=Ay
damit hast du dann y(t) allgemein und kannst die Anfangsbed. einsetzen, um endlich zum speziellen y(t) zu kommen.
dass man das als Matrix schreibt ist mir neu .
Gruß ledum
Dream123

Dream123 aktiv_icon

13:47 Uhr, 11.01.2019

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Also für die Eigenwerte erhalte ich λ1=-2 und Λ2=0

Für die Eigenvektoren erhält man: v1=(-11) und v2=(11)
Wie geht es nun weiter ?



Dream123

Dream123 aktiv_icon

19:39 Uhr, 11.01.2019

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Ich brauche wirklich dringend Hilfe, schreibe morgen die Prüfung
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

19:48 Uhr, 11.01.2019

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Hallo
damit hast du die 2 Lin unabhängigen Losungen
y=(1,1)e-2t und (1,1) also die allgemeine Lösung
y=A(e-2t,-e-2t)+B(1,1) und kannst A und B aus den Anfangsbedingungen bestimmen. Du solltest A=B=1 finden.
Gruß ledum
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godzilla12

godzilla12 aktiv_icon

04:05 Uhr, 12.01.2019

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Nur weil das mit den Eigenwerten in den Büchern immer so mega kompliziert erklärt ist; wie löst mkan ein 2X2 System? Effektiv lautet doch die Fundamentalmatrix




    A=(-111-1)    (1)



Mach dir bitte klar, dass man das unmittelbar aus deinem DGLS ablesen kann und dass du weiter nichts lösen brauchst als das Eigenwertproblem von A .
Nun hat A sicher Rang =1; sieht man sofort. Der erste Eigenwert ist also schon mal E1=0, entsprfechend einer entarteten Eigenlösung y1;2= const =c1;2
Und den zweiten kriegst du über die Spurbedingung



     Sp (A) =E1+E2=(-2)E2=(-2)    (2)



Demnach ist das System aperiodisch gedämpft.
Es ist aber von größtem Nachteil, dass die Herren Mathematiker über uns Physiker immer die Nase rümpfen; es wäre nämlich gar nicht verkehrt, wenn du dir mal aus einem QM Lehrbuch die Paulimatrizen rein ziehst. Ist dir schon aufgefallen, dass A Hermitesch ist? Einem Lehrsatz der QM gemäß lässt sich jede reelle Hermitesche 2X2 Matrix zerlegen als Linearkombination von Einheitsmatrix 1| so wie den beiden Paulimatrizen S1 und S3. In deinem Falle wäre das



    A=S1-1|    (3)



Sämtliche Paulimatrizen ( Es gibt ihrer überabzählbar unendlich viele; je nach Spinorientierung. Paulimatrizen sind Vektoroperatoren) . Also sämtliche Paulimatrizen haben eigenwerte ±1 entsprechend Spin up / down .
Jede Matrix vertauscht mit der Einheitsmatrix; folglich auch S1. Von Daher sollte es dir möglich sein, die obigen Eigenwerte E1;2 zu reproduzieren.
Die Eigenvektoren von S1, die Spinoren, verlaufen unter ±45 °
( Das ist stets der halbe Drehwinkel; Cayley_Klein_Parameter. )
Überleg dir, dass die Eigenvektoren von S1 auch solche von A sind.
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