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Fundamentalmatrix aufstellen

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Fundamentalmatrix, Gewöhnliche Differentialgleichungen

Dream123 aktiv_icon

04:37 Uhr, 11.01.2019

Hallöchen,
könnte mir bitte jemand bei folgender Aufgabe behilflich sein? Ich komme nicht voran.
Ich soll das Differentialgleichungssystem lösen:

y_{1}^{'} = - y_{1} (t) + y_{2} (t),

y_{2}^{'} = y_{1} (t) - y_{2} (t),

mit

y_{1} (0) = 2

y_{2} (0) = 0

Der erste Schritt ist laut Lösung eine Fundamentalmatrix aufzustellen, aber ich weiß nicht wie man auf die Fundamentalmatrix

Y (t) = (\begin{matrix} 1 & e^{- 2 t} \\ 1 & - e^{- 2 t} \end{matrix})

kommen soll.

Kann mir das bitte einer erklären

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

12:58 Uhr, 11.01.2019

Hallo
zuerst musst du doch mal das System lösen also Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen von

\vec{y'} = A \cdot \vec{y}

damit hast du dann

\vec{y} (t)

allgemein und kannst die Anfangsbed. einsetzen, um endlich zum speziellen

y (t)

zu kommen.
dass man das als Matrix schreibt ist mir neu .
Gruß ledum

Dream123 aktiv_icon

13:47 Uhr, 11.01.2019

Also für die Eigenwerte erhalte ich

λ_{1} = - 2

und

Λ_{2} = 0

Für die Eigenvektoren erhält man:

v_{1} = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix})

und

v_{2} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

Wie geht es nun weiter ?

Dream123 aktiv_icon

19:39 Uhr, 11.01.2019

Ich brauche wirklich dringend Hilfe, schreibe morgen die Prüfung

ledum aktiv_icon

19:48 Uhr, 11.01.2019

Hallo
damit hast du die 2 Lin unabhängigen Losungen

\vec{y} = (1,1) \cdot e^{- 2} t

und

(1,1)

also die allgemeine Lösung

y = A \cdot (e^{- 2 t}, - e^{- 2 t}) + B \cdot (1,1)

und kannst A und

B

aus den Anfangsbedingungen bestimmen. Du solltest

A = B = 1

finden.
Gruß ledum

godzilla12 aktiv_icon

04:05 Uhr, 12.01.2019

Nur weil das mit den Eigenwerten in den Büchern immer so mega kompliziert erklärt ist; wie löst mkan ein

2 X 2

System? Effektiv lautet doch die Fundamentalmatrix

A = (\begin{matrix} - 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}) (1)

Mach dir bitte klar, dass man das unmittelbar aus deinem DGLS ablesen kann und dass du weiter nichts lösen brauchst als das Eigenwertproblem von A .
Nun hat A sicher Rang

= 1;

sieht man sofort. Der erste Eigenwert ist also schon mal

E_{1} = 0,

entsprfechend einer entarteten Eigenlösung

y_{1}; 2 =

const

= c_{1}; 2

Und den zweiten kriegst du über die Spurbedingung

Sp (A)

= E_{1} + E_{2} = (- 2) \to E_{2} = (- 2) (2)

Demnach ist das System aperiodisch gedämpft.
Es ist aber von größtem Nachteil, dass die Herren Mathematiker über uns Physiker immer die Nase rümpfen; es wäre nämlich gar nicht verkehrt, wenn du dir mal aus einem QM Lehrbuch die

\to

Paulimatrizen rein ziehst. Ist dir schon aufgefallen, dass A Hermitesch ist? Einem Lehrsatz der QM gemäß lässt sich jede reelle Hermitesche

2 X 2

Matrix zerlegen als Linearkombination von Einheitsmatrix

1 |

so wie den beiden Paulimatrizen

S 1

und

S 3

. In deinem Falle wäre das

A = S 1 - 1 | (3)

Sämtliche Paulimatrizen ( Es gibt ihrer überabzählbar unendlich viele; je nach Spinorientierung. Paulimatrizen sind

\to

Vektoroperatoren) . Also sämtliche Paulimatrizen haben eigenwerte

\pm 1

entsprechend Spin up / down .
Jede Matrix vertauscht mit der Einheitsmatrix; folglich auch

S 1

. Von Daher sollte es dir möglich sein, die obigen Eigenwerte

E 1; 2

zu reproduzieren.
Die Eigenvektoren von

S 1,

die

\to

Spinoren, verlaufen unter

\pm 45

°
( Das ist stets der halbe Drehwinkel;

\to

Cayley_Klein_Parameter. )
Überleg dir, dass die Eigenvektoren von

S 1

auch solche von A sind.

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