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Fundamentalsatz der Algebra
Universität / Fachhochschule
Tags: Fundamentalsatz der Algebra.
 
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Hallo ich hätte eine Frage zum Fundamentalsatz der Algebra bzgl Polynomen mit nur reelen Koeffiezenten. Auf Wikipedia steht: Falls ein Polynom über den reellen Zahlen ist, falls also alle Koeffizienten ∈ liegen, so sind die zugehörigen Nullstellen nicht notwendigerweise reell. Es gilt aber: Ist eine nichtreelle Nullstelle von so ist auch ihr komplex Konjugiertes ¯ eine Nullstelle von P. Ist eine mehrfache Nullstelle von so hat ¯ dieselbe Vielfachheit. In der faktorisierten Schreibweise des Polynoms lassen sich daher die zugehörigen Linearfaktoren immer zu einem quadratischen Faktor − − ¯ ) zusammenfassen. Ausmultipliziert hat dieses Polynom zweiten Grades wieder rein reelle Koeffizienten: − − ¯ − ¯ ⋅ ¯ − 2 Re ( ⋅ Daraus folgt im Umkehrschluss, dass jedes reelle Polynom sich in reelle Polynomfaktoren vom Grad eins oder zwei zerlegen lässt. Warum folgt der letzte Satz frage ich mich? Warum reele Polynomfaktoren sind es nicht nichtreele Polynomfaktoren? Vll verstehe ich das Wort Polynomfaktor falsch ? Eventuell hilft mir ein Beispiel auch. |
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1) Nach dem Fundamentalsatz der Algebra lässt sich jedes solche Polynom in komplexe Linearfaktoren zerlegen 2) Bei reellen Polynomen tauchen Nullstelle und ihr konjugiert komplexes Pendant aber immer in Paaren auf (siehe oben!). 3) Multipliziert man die zugehörigen Linearfaktoren, so ergibt die Rechnung (wiederum siehe oben) ein Polynom mit reellen Koeffizienten, denn und sind nun mal reelle Zahlen. In Verbindung (1)(2)(3) folgt dann nun mal die Aussage, dass jedes reelle Polynom zerlegbar in Linearfaktoren bzw. solchen quadratischen Polynome (*) ist. Ich weiß, ich hab im wesentlichen das von oben wiederholt, weil ich einfach nicht erkenne, was dir denn daran noch unklar ist. |
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Also ich verstehe alle deine Ausführungen. Meine Frage bezog sich auf das Wort "reele Polynomfaktoren". ich verstehe, dass das polynom reel ist. ich verstehe, dass es zerlegbar in Linearfaktoren und die angegebenen quadratischen Faktoren ist. Es bezog sich auf reele Polynomfaktoren. Deswegen fragte ich auch ob ich das Wort Polynomfaktoren richtig verstehe. Hoffentlich versteht man meine Frage. :-) |
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Mit "reeller Polynomfaktor" ist einfach ein Polynomfaktor mit sämtlich reellen Koeffizienten gemeint - ich dachte, das wäre jetzt doch langsam deutlich geworden! |
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Hallo dankeschön für die Antwort habe meinen Denkfehler verstanden. |
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