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Fundamentalsystem bei 3 gleichen Eigenwerten

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Eigenvektor, Eigenwert, Fundaentalsystem, Gewöhnliche Differentialgleichungen

moarkey aktiv_icon

16:44 Uhr, 01.12.2013

Hallo Leute,

bin gerade dabei das Differentialgleichungssystem

\vec{y}' (x) = (\begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}) \cdot \vec{y} (x) + e^{2 x} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

zu lösen.

Zum Ansatz:

1. Ich rechne mir die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A aus, um auf ein Fundamentalsystem der homogenen Dgl. zu kommen.

2. Nachdem ich mein Fundamentalsystem habe, kann ich ja einfach die inhomogene Dgl. mit Hilfe der Variation der Konstanten

\vec{y} (x) = φ (x) \cdot {\vec{u}}_{0} + φ (x) \cdot \int_{0}^{x} φ {(ξ)}^{- 1} \cdot \vec{b} (ξ) d ξ

ausrechnen und dann mein Anfangswertproblem einsetzen.

Mein Problem ist nun, dass ich aber irgendwie nicht auf die benötigte Matrix

φ (x)

komme..

Die Eigenwerte von A waren ja direkt zu sehen mit

λ_{1} = λ_{2} = λ_{3} = 2

.

Der dazugehörige Eigenvektor ist dann also

{\vec{v}}_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

.

Nun bräuchte ich theoretisch aber 3 verschiedene Eigenvektoren für das Fundamentalsystem und anschließend für die Matrix

φ (x)

.

Wie komme ich auf diese? Hab ein wenig rum probiert, aber bin leider auf keine vernünftige, linear unabhängige Lösung gekommen..

Könnt ihr mir weiterhelfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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16:53 Uhr, 01.12.2013

In dem Fall musst du die Vektoren aus

K e r n {(A - λ \cdot I_{3})}^{3}

wählen. Etwas genauer: Bestimme Basis von

K e r n (A - λ \cdot I_{3})

. Dann ergänze diese zu einer Basis von

K e r n {(A - λ \cdot I_{3})}^{2}

. Und das dann schließlich noch zu einer Basis von

K e r n {(A - λ \cdot I_{3})}^{3}

ergänzen.

moarkey aktiv_icon

20:58 Uhr, 01.12.2013

Das heißt, ich müsste ja erst die Basis vom Kern

(A - λ \cdot I),

also die Basis vom Kern

(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

bilden.

Ist dann aber die Basis vom Kern

{(A - λ \cdot I)}^{2}

bzw. die Basis vom Kern

{(A - λ \cdot I)}^{3}

nicht die Gleiche?

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21:02 Uhr, 01.12.2013

Nein, da kommt jeweils immer ein Vektor dazu. Einfach ausrechnen, dann siehst du es ja.

moarkey aktiv_icon

21:06 Uhr, 01.12.2013

Könntest du es mir vielleicht gerade vorrechnen?

Ich steh da leider komplett auf dem Schlauch und es kommt immer der gleiche Vektor raus.

Da die Vektoren ja aber linear unabhängig sein müssen, macht das wenig Sinn..

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21:15 Uhr, 01.12.2013

K e r n (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) = 〈 (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) 〉

hast du ja oben schon berechnet. Dann ist

{(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})}^{2} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

und

{(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})}^{3} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

. Berechne davon jetzt die Kerne.

moarkey aktiv_icon

21:30 Uhr, 01.12.2013

Ah, jetzt sehe ich auch meinen Fehler.

Hatte (warum auch immer) im Kopf, dass bei

A^{2}

einfach jeder Wert in der Matrix "hoch 2" genommen wird..

Also wäre der Kern

(\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

und Kern

(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

oder?

Somit ist dann mein Fundamentalsystem

e^{2 x} (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), x \cdot e^{2 x} (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}), x^{2} \cdot e^{2 x} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

und mein

φ (x) = (\begin{matrix} e^{2 x} & 0 & x^{2} \cdot e^{2 x} \\ 0 & x \cdot e^{2 x} & x^{2} \cdot e^{2 x} \\ 0 & x \cdot e^{2 x} & x^{2} \cdot e^{2 x} \end{matrix})

.

Stimmt das so?

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21:42 Uhr, 01.12.2013

Also die Kerne hast du jetzt falsch berechnet. Bei

K e r n {(A - 2 I_{3})}^{2}

hast du doch nur die Bedingung

x_{3} = 0

und

x_{1}, x_{2}

sind frei wählbar. Also

K e r n {(A - 2 I_{3})}^{2} = 〈 (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}); (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) 〉

. Und bei

K e r n {(A - 2 I_{3})}^{3}

sind dann alle Unbekannten frei wählbar, also

K e r n {(A - 2 I_{3})}^{3} = 〈 (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}); (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}); (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) 〉

Zu jedem Basisvektor von

K e r n {(A - 2 I_{3})}^{3}

gibt es nun eine Lösung. Allerdings halt auch wieder nach einer ganz speziellen Formel. Steht da denn eigentlich nichts in eurem Skript zu?

moarkey aktiv_icon

21:55 Uhr, 01.12.2013

Oh ja stimmt, das mit dem Kern ist bei mir schon ein bisschen her..

Wie ist das mit den speziellen Formeln gemeint?

Kann ich nicht jetzt einfach das Fundamentalsystem

e^{2 x} (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), x \cdot e^{2 x} (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), x^{2} \cdot e^{2 x} (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

und mein

φ (x) = (\begin{matrix} e^{2 x} & 0 & 0 \\ 0 & x \cdot e^{2 x} & 0 \\ 0 & 0 & x^{2} \cdot e^{2 x} \end{matrix})

nehmen und damit weiter rechnen?

Im Skript steht leider überhaupt nichts dazu..

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22:04 Uhr, 01.12.2013

Nein zu jedem Basisvektor

v

von

K e r n {(A - 2 I_{3})}^{3}

lautet die entsprechende Lösung

e^{2 x} \cdot (v + x \cdot (A - 2 \cdot I_{3}) v + \frac{x^{2}}{2} {(A - 2 I_{3})}^{2} v)

Für

v_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

ist dann

v_{1} \in K e r n (A - 2 I_{3})

und

v_{1} \in K e r n {(A - 2 I_{3})}^{2}

also gerade

(A - 2 I_{3}) v_{1} = {(A - 2 I_{3})}^{2} v_{1} = 0

Für

v_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

fällt dann nur noch der letzte Summand weg und für

v_{3} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

musst du dann wirklich alle Rechnungen durchführen.
PS: Als zum Basisvektor

v

gehörende Lösung kann man auch erstmal

e^{2 x} \cdot \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!} {(A - 2 I_{3})}^{k} v

schreiben, aber da fallen dann halt fast alle Summanden weg.

moarkey aktiv_icon

22:36 Uhr, 01.12.2013

Ok, danke!

Ich bekomme jetzt die Lösungen

e^{2 x} (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), e^{2 x} (\begin{matrix} x \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

und

e^{2 x} (\begin{matrix} \frac{x^{2}}{2} \\ x \\ 1 \end{matrix})

.

Mein

φ (x)

wäre also dann letztendlich

φ (x) = (\begin{matrix} e^{2 x} & x \cdot e^{2 x} & x^{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2} \\ 0 & e^{2 x} & x \cdot e^{2 x} \\ 0 & 0 & e^{2 x} \end{matrix})

.

Passt das jetzt?

Shipwater aktiv_icon

12:05 Uhr, 02.12.2013

Sollte passen, wobei die letzte Formel, die du jetzt noch brauchst, bei uns im Skript dann so ausschaut:

moarkey aktiv_icon

22:09 Uhr, 02.12.2013

Alles klar, hab's nun endlich geschafft!

Vielen Dank für die gute Hilfe.

Shipwater aktiv_icon

22:30 Uhr, 02.12.2013

Keine Ursache.

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