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Fundamentalsystem berechnen, nur wie

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Eigenvektor, Fundamentalsystem, Matrizenrechnung, Wronski

wildapple aktiv_icon

09:56 Uhr, 15.09.2010

Guten Morgen ihr Mathefreaks,

eine Klausuraufgabe heißt:

"Berechne ein Fundameltalsystem von
$x$ mit Punkt drüber $- 2 x = 0$
$y$ mit Punkt drüber $- 2 x - y + 2 z = 0$
$z$ mit Punkt drüber $+ x - 2 z = 0$

Die Lösung könnt ihr gerne den beigefügten Rechnungen entnehmen. :-)

In der Matheklausur ist nichts zugelassen, sprich keine Unterlagen, kein Taschenrechner, auch kein nicht programmierbarer. Lediglich der Kopf dient als Rechenmaschine.
Auf der zweiten Seite findet ihr unten dann die $det W (x),$ die ich mit der Sarrus-Regel berechnen möchte was aus dem Kopf allerdings unmöglich ist. Daher zweifle ich extrem an meiner Lösungsidee.

Kann mich jemand von euch auf den richtigen Weg bringen?

Ich freue mich sehr auf eure Antworten.

Lg, Florian

pwmeyer aktiv_icon

12:15 Uhr, 15.09.2010

Hallo,

Du hast auf der srsten Seite im ersten Schritt zur Determinantenberechnung stehen:

$(2 - λ) \cdot (1 - λ) \cdot (- 2 - λ) = 0$

Daraus folgen doch direkt die Nullstellen $λ = 2,1, - 2$ . Du hast dann ausmultipliziert und versucht die Nullstellen zu berechnen und Dich dabei verrechnet.

Grundsatz: Nie ohne guten Grund ausmultiplizieren.

Für das Fundamentalsystem brauchst Du dann jeweils die zugehörigen Eigenvektoren. Hast Du die schon berechnet?

Gruß pwm

Yokozuna aktiv_icon

12:42 Uhr, 15.09.2010

Hallo,
bei den Termen mit $z$ wurden beim Rüberbringen auf die rechte Seite die Vorzeichen verdreht. Deshalb müssen in der dritten Spalte der Matrix die Vorzeichen umgedreht werden und das charakteristische Polynom lautet dann:
$(2 - λ) \cdot (1 - λ) \cdot (2 - λ)$

Viele Grüße
Yokozuna

wildapple aktiv_icon

14:13 Uhr, 15.09.2010

Hey ihr Zwei,

vielen vielen Dank für die Hilfe!!
Mensch, manchmal steh ich mir wirklich selbst im Weg.

Die Eigenvektoren habe ich noch nicht berechnet. Ich wollte mich erstmals so durchwurschteln und schauen wie weit ich komme und ob das so überhaupt sein kann.

Danke erstmal für eure Hilfe.
Ich würde mich gerne ggf. nochmals mit einer Lösung melden und fragen, ob die so okay ist. :-)

Lg, Florian

wildapple aktiv_icon

12:25 Uhr, 16.09.2010

Wie bereits angekündigt habe ich hier nochmals eine neue Lösung erstellt.
Kommt das so nun hin??

Lg, Florian

pwmeyer aktiv_icon

12:33 Uhr, 16.09.2010

Hallo,

ein Fundamentalsystem für ein $3 \times 3$ System hat 3 linear unabhängige Elemente. Du musst zu dem doppelten eigenwert $λ = 2$ eine weitere Lösung bestimmen. Das kann man technisch auf verschiedene Arten anpacken. Am besten schaust Du mal in Deine Vorlesung.

Gruß pwm

wildapple aktiv_icon

12:36 Uhr, 16.09.2010

Kannst Du mir mal ein, zwei Stichworte geben? - Die Vorlesungsunterlagen ergeben mir dafür keinen Aufschluss.

Ich hatte den Gedanken vorhin auch schon, konnte allerdings leider nichts finden und vermutete dann, dass es so stimmen sollte.

Für meinen Prof. ist so etwas leider zu trivial, als dass es erwähnt werden müsste. Das merke ich doch durchaus an einigen Stellen und aus seiner Sicht mag das auch alles richtig sein. Aus meiner leider nicht!

Lg, Florian

Yokozuna aktiv_icon

14:02 Uhr, 16.09.2010

Hallo,

ich fasse mal zusammen, was wir haben:

$\dot{x} = A \cdot x, x = (\begin{matrix} \begin{matrix} {\begin{matrix} x \end{matrix}}_{1} \\ {\begin{matrix} x \end{matrix}}_{2} \end{matrix} \\ {\begin{matrix} x \end{matrix}}_{3} \end{matrix}), A = (\begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & - 2 \\ - 1 & 0 & 2 \end{matrix})$

und wir haben die Eigenwerte $λ_{1} = 1, λ_{2} = λ_{3} = 2$ und die Eigenvektoren

$v_{1} = (\begin{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \\ 0 \end{matrix})$ zum Eigenwert $λ_{1}$ und $v_{2} = (\begin{matrix} \begin{matrix} 0 \\ - 2 \end{matrix} \\ 1 \end{matrix})$ zum Eigenwert $λ_{2} = λ_{3}$ . Wir brauchen noch eine dritte linear unabhängige Fundamentallösung. Bei den Differentialgleichungen 2. Ordnung hat man ja ähnliche Probleme bei mehrfachen Eigenwerten. Dort probiert man in der Regel etwas in der Art $t \cdot e^{λ \cdot t}$ . Aber das funktioniert hier leider nicht, wie der folgende Versuch zeigt:

$x = v_{2} \cdot t \cdot e^{2 t} \Rightarrow \dot{x} = v_{2} \cdot (e^{2 t} + 2 t \cdot e^{2 t}) = v_{2} \cdot e^{2 t} + v_{2} \cdot 2 t \cdot e^{2 t} = A \cdot v_{2} \cdot t \cdot e^{2 t} \Rightarrow$

$v_{2} \cdot e^{2 t} = A \cdot v_{2} \cdot t \cdot e^{2 t} - v_{2} \cdot 2 t \cdot e^{2 t} \Rightarrow v_{2} = t \cdot (A \cdot v_{2} - 2 v_{2}) = 0$

da $A \cdot v_{2} - 2 v_{2} = 0$ ( $v_{2}$ Eigenvektor zum Eigenwert 2). Die letzte Gleichung könnte jedoch nur erfüllt werden, wenn $v_{2}$ der Nullvektor wäre.

Deshalb modifiziert man den obigen Ansatz leicht:

$x = v_{2} \cdot t \cdot e^{2 t} + v_{3} \cdot e^{2 t}$ mit einem Vektor $v_{3}$ , den wir noch bestimmen müssen.

$x = v_{2} \cdot t \cdot e^{2 t} + v_{3} \cdot e^{2 t} \Rightarrow \dot{x} = v_{2} \cdot e^{2 t} + v_{2} \cdot 2 t \cdot e^{2 t} + v_{3} \cdot 2 \cdot e^{2 t} = A \cdot (v_{2} \cdot t \cdot e^{2 t} + v_{3} \cdot e^{2 t}) \Rightarrow$

$v_{2} \cdot e^{2 t} = A \cdot v_{2} \cdot t \cdot e^{2 t} + A \cdot v_{3} \cdot e^{2 t} - v_{2} \cdot 2 t \cdot e^{2 t} - v_{3} \cdot 2 \cdot e^{2 t} \Rightarrow$

$v_{2} = A \cdot v_{2} \cdot t + A \cdot v_{3} - v_{2} \cdot 2 t - v_{3} \cdot 2 = t \cdot (A \cdot v_{2} - 2 v_{2}) + A \cdot v_{3} - 2 v_{3} = A \cdot v_{3} - 2 v_{3} \Rightarrow$

$v_{2} = A \cdot v_{3} - 2 v_{3}$

Aus dieser Gleichung läßt sich $v_{3}$ bestimmen und die Lösung der Differentialgleichung lautet dann:

$x = C_{1} \cdot v_{1} \cdot e^{t} + C_{2} \cdot v_{2} \cdot e^{2 t} + C_{3} \cdot (v_{2} \cdot t \cdot e^{2 t} + v_{3} \cdot e^{2 t})$

Viele Grüße

Yokozuna

wildapple aktiv_icon

14:21 Uhr, 16.09.2010

Mensch, ihr habt mir total geholfen. Erscheint mir logisch!!

Vielen Dank für die wirklich geduldige und mühevolle Hilfe, Danke schön!!

Lg, Florian

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