Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Fundamentalsystem bestimmen

Fundamentalsystem bestimmen

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

FabianVu aktiv_icon

16:25 Uhr, 01.06.2016

Hey, ich habe eine Aufgabe bei der ich Mich schwer tuhe die zu bearbeiten und zwar ist ein fundamentalsystem für die Differentialgleichung

y' = A (x) \cdot y

zu bestimmen. Die Matrix A ist dabei

2, \frac{1}{x}

0, \frac{2}{x}

Danke im voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

FabianVu aktiv_icon

18:02 Uhr, 03.06.2016

Also mittlerweile habe ich als Eigenvektoren:

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

mit Eigenwert 2 und

(\begin{matrix} 1 \\ 2 - 2 x \end{matrix})

mit Eigenwert

\frac{2}{x}

Hier habe ich überprüft, dass die richtig sind. Allerdings weiss ich nicht daraus, wie ich ein Fundamentalystem bestimmen soll.

FabianVu aktiv_icon

18:51 Uhr, 04.06.2016

Hmm also, wenn ich ein Fundamentalsystem versuche, zu bilden, indem ich den Lösungssansatz wähle, folgt daraus, dass

y 1 = e^{2 x} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

und

y 2 = e^{2} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 - 2 x \end{matrix})

. Ersteres löst zwar die gewünschte Differentialgleichung. Beim zweiten gibt es jedoch Probleme, dass die gewünschte Gleichung gelöst werden kann.

pwmeyer aktiv_icon

11:25 Uhr, 05.06.2016

Hallo,

die Methode mit den Eigenwerten funktioniert nur, wenn A konstant ist.

Schreib Dir mal das Differentialgleichungssystem komponentenweise auf, also mit

y = (y_{1}, y_{2})

. Dann wird Dir auffallen, wie Du das lösen kannst.

Gruß pwm

FabianVu aktiv_icon

13:11 Uhr, 05.06.2016

Hmm das hatte ich auch versucht. Nur bleibe ich an folgender Stelle hängen:

Also ich habe ausgerechnet, dass

y_{2} = x^{2}

ist.

\Rightarrow 2 y_{1} + \frac{1}{x} \cdot y_{2} = y_{1}'

\Leftrightarrow 2 y_{1} + x = y_{1}'

ab da habe ich dann keine Ahnung mehr wie ich es lösen soll. Ich habe bereits die homogene Lösung hiervon betrachtet. Dies wäre

e^{2 x}

. Nur ich weiß nicht, wie man da die inhomogene Lösung bestimmt

FabianVu aktiv_icon

19:46 Uhr, 05.06.2016

Also am Ende habe ich folgendes raus:

(\begin{matrix} e^{2 x} - x - (\frac{1}{2}) \\ x^{2} \end{matrix})

raus sowie alle Vielfachen. Aber müsste die Dimension des Fundamentalsystems nicht gleich 2 sein? also noch eine weitere Lösung, die zu dieser linear unabhängig ist?

pwmeyer aktiv_icon

08:26 Uhr, 06.06.2016

Hallo,

Du musst sorgfältiger mit den Konstanten umgehen. Die Lösung für

y_{2}

ist

y_{2} (x) = c \cdot x^{2}

.

auch die Bemerkung "sowie alle Vielfachen" ist falsch. Informiere Dich über die Lösungsstruktur einer linearen inhomogenen Differentialgleichung.

Gruß pwm

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1311125

1310244

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?