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Fundamentalsystem und AWP inhomogenes System

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Anfangswertproblem, Fusys, Gewöhnliche Differentialgleichungen

JoE1993 aktiv_icon

22:28 Uhr, 24.09.2017

Hi, ich hab ein Problem mit folgenden Aufgabenteilen:

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
a)Bestimmen sie das Fundamentalsystem X8t) des homogenen linearen Systems

Gegeben:

$\dot{x} (t) = A (t) x (t)$

$A (t) = \frac{1}{1 + t ²} (\begin{array}{rcl} 1 + t + t ² & - 1 \\ 1 & 1 + t + t ² \end{array})$

welches $X (0) = E$ erfüllt.

Hinweis zeigen sie zunächst , dass $x_{0} (t) = (\begin{array}{rcl} 1 \\ t \end{array}) e^{t}$ eine Lösung ist.

b)Lösen sie das inhomogene lineare Anfangswertproblem des Systems:

$\dot{x} (t) = A (t) x (t) + b (t)$

$x (0) = (\begin{array}{rcl} 1 \\ - 1 \end{array})$

$b (t) = 2 t e^{t} (\begin{array}{rcl} - t \\ 1 \end{array}) e^{t}$

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mein Ansatz:

Mit

$x_{0} (t) = (\begin{array}{rcl} e^{t} \\ t e^{t} \end{array})$

folgt mit Reduktionsverfahren von d'Alembert:

$(\begin{array}{rcl} 0 \\ \dot{z_{2}} \end{array}) = A (t) * (\begin{array}{rcl} 0 \\ z_{2} \end{array}) - \dot{φ} (\begin{array}{rcl} 1 \\ t \end{array}) e^{t}$

das heißt:

1.Komponente:
$0 = \frac{- z_{2}}{1 + t ²} - \dot{φ} e^{t}$

2.Komponente:
$\dot{z_{2}} = \frac{1 + t + t ²}{1 + t ²} z_{2} - \dot{φ} t e^{t}$

Aus der 1. Komponente ergibt sich:
$\dot{φ} = \frac{- z_{2}}{(1 + t ²) e^{t}}$

Somit bei der 2. Komponente:
$\dot{z_{2}} = \frac{1 + t + t ²}{1 + t ²} z_{2} + \frac{z_{2}}{1 + t ²} t$

$\overset{}{\Leftrightarrow} \frac{1}{z_{2}} δ z = (\frac{1 + t + t ²}{1 + t ²} + \frac{t}{1 + t ²}) δ t$

$\overset{}{\Leftrightarrow} l n (z_{2}) = l n (t ² + 1) + t$

$\overset{}{\Leftrightarrow} z_{2} = t ² + 1 + e^{t}$

daraus folgt wiederum $\dot{φ} = - \frac{1}{1 + t ²} - \frac{1}{e^{t}}$
und $φ = e^{- t} - a r c t a n (t)$

$x (t) = φ (t) x_{0} (t) + z (t)$

$x (t) = (e^{- t} - a r c t a n (t)) (\begin{array}{rcl} e^{t} \\ t e^{t} \end{array}) + (\begin{array}{rcl} 0 \\ e^{t} + t ² - 1 \end{array})$

Das Fundamentalsystem ergibt sich damit zu:

$X (t) = (\begin{array}{rcl} e^{t} & 1 - a r c t a n (t) e^{t} \\ t e^{t} & t - a r c t a n (t) t e^{t} + e^{t} + t ² - 1 \end{array})$

Leider stimmt das nicht mit der Lösung überein:
Laut Musterlösung:

$X (t) = (\begin{array}{rcl} e^{t} & - t e^{t} \\ t e^{t} & e^{t} \end{array})$

Wo liegt der Fehler?

Bei der b) weiß ich leider überhaupt nicht wie ich die angehen soll :(.
Kann mir bitte jemand helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

09:16 Uhr, 25.09.2017

Hallo,

Dein Fehler liegt beim Schluss von $ln (z_{2})$ auf $z_{2},$ es ist:

$z_{2} = (1 + t^{2}) \cdot e^{t}$

Für $b)$ musst du aus Deinem Skript (oder WEB) die Formel für die Lösung der inhomogenen Gleichung bei bekanntem Fundamentalsystem nachschlagen.

Gruß pwm

JoE1993 aktiv_icon

16:11 Uhr, 25.09.2017

Oh man, was ein dummer Fehler. Damit ist die a) geklärt.

Zur b)

Hab mal soweit gerechnet wie ich noch den Ablauf des "Rezepts" verstanden hab:

$b (t) = 2 t e^{t} (\begin{array}{rcl} - t \\ 1 \end{array})$

$Y (t) = (\begin{array}{rcl} e^{t} & - t e^{t} \\ t e^{t} & e^{t} \end{array})$

$Y (t)^{- 1} = \frac{1}{e^{2 t} (1 + t ²)} (\begin{array}{rcl} e^{t} & t e^{t} \\ - t e^{t} & e^{t} \end{array})$

$\dot{v} (t) = Y (t)^{- 1} b (t) = \frac{1}{e^{2} t (1 + t ²)} (\begin{array}{rcl} - 2 t ² e^{2 t} & 2 t ² e^{2 t} \\ 2 t^{3} e^{2 t} & 2 t e^{2 t} \end{array}) = \frac{1}{1 + t ²} (\begin{array}{rcl} - 2 t ² + 2 t ² \\ 2 t^{3} + 2 t \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 2 t \end{array})$

Jetzt muss man komponentenweise integrieren:

$\int_{x_{0}}^{t} \dot{v} (s) d s$

(Danach soll man auf $v (x) = v (x_{0}) + \int_{x_{0}}^{t} Y (t)^{- 1} b (s) d s$ kommen.) <--- ist aber uninteressant denn:

Letztendlich kommt man so auf:

$\overline{y} (x) = Y (t) (v (x_{0}) + \int_{x_{0}}^{t} Y (s)^{- 1} b (s) d s)$

mit

$\overline{y} (x_{0}) = y_{0}$
$\overset{}{\Leftrightarrow} Y (x_{0}) v (x_{0}) = y_{0}$
$\overset{}{\Leftrightarrow} v (x_{0}) = Y^{- 1} (x_{0}) y_{0}$

Leider versteh ich dem Rezeptablauf nicht.
1.Wie kommt man auf das $x_{0}$ ?
2.Wie kommt man auf das $y_{0}$ ?
3.Was ist $v (x_{o})$ ?
4.Ist $\overline{y} (t)$ eine Lösung des inhomogenen DGL Systems und somit die Lösung dieser Aufgabe?

pwmeyer aktiv_icon

10:11 Uhr, 26.09.2017

Hallo,

Dein "Rezept" ist teilweise mit anderen Bezeichnungen notiert als in der Aufgabenstellung verwendet wird. Wieder einmal zeigt sich die Problematik von Rezeptsammlungen, die ohne Verständnis und Studium angelegt werden.

Eine Formel für die Lösung ist

$y (t) = Y (t) [Y {(t_{0})}^{- 1} y_{0} + \int_{t_{0}}^{t} Y {(s)}^{- 1} \cdot b (s) d s]$

Dabei ist $t_{0} = 0$ (hier) und $y_{0}$ der vorgegebene Anfangswert, hier $x (0) = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})$ .

Gruß pwm

JoE1993 aktiv_icon

10:48 Uhr, 26.09.2017

Guten morgen,

vielen Dank für die Antwort.

Wieso ist $t_{0} = 0$ ?

pwmeyer aktiv_icon

11:04 Uhr, 26.09.2017

"Wieso ist t0=0?"

Ist in der Aufgabe so angegeben, $x (0) = .$ .

JoE1993 aktiv_icon

11:46 Uhr, 26.09.2017

okay dankeschön.

JoE1993 aktiv_icon

15:05 Uhr, 26.09.2017

Jetzt hab ich aber noch eine Frage bzgl. der Integrationsgrenzen und $y_{0}$ bei einer ähnlichen Aufgabe:

Gesucht sind ALLE Lösungen des inhomogenen Systems.

Gegeben:
Fundamentalsystem : $Y (t) = (\begin{array}{rcl} e^{t ²} & \frac{1}{9} e^{t ² - 3 t} (3 t - 2) \\ e^{t ²} & \frac{1}{9} e^{t ² - 3 t} (3 t + 7) \end{array})$

$b (t) = (\begin{array}{rcl} t e^{t ²} \\ e^{t ²} \end{array})$

Aus der Teilaufgabe davor: $x_{0} (t) = (\begin{array}{rcl} e^{t ²} \\ e^{t ²} \end{array})$

laut deiner Hinweise ist $x_{0} (0) = y_{0}$

Dieses mal ist logischerweise kein $x_{o} (0)$ gegeben, wodurch man keinen Startwert hat. Heißt das dann, dass man $t_{0}$ einfach als Variable in der Rechnung mitzieht?

EDIT: Hab durch ausprobieren herausbekomme, dass $t_{0}$ wieder $0$ ist. Ist $t_{0} = 0$ also allgemein der Ansatz?

pwmeyer aktiv_icon

17:30 Uhr, 26.09.2017

Hallo,

auch hier würde ein Blick ins Skript helfen: Man erhält alle Lösungen der inhomogenen Gleichung als $x + x_{p},$ wobei $x_{p}$ (irgend-)eine Lösung der inhomogenen Gleichung ist (sog. partikuläre Lösung) und $x$ alle Lösungen der homogenen Gleichung durchläuft.

Gruß pwm

JoE1993 aktiv_icon

18:01 Uhr, 26.09.2017

Dazu steht leider nichts im Skript.

Ich hab einfach deinen Weg genommen und $Y^{- 1} (t) y_{0} = c$ $, c \in ℝ ²$ definiert, weil $y_{0}$ ja nicht gegeben ist und deshalb nicht klar ist was da raus kommt.
Das Integral ist $\int_{x_{0} = 0}^{t} Y^{- 1} (s) b (s) d s$

Daraus folgt letztendlich die Lösung: $y (t) = \frac{1}{81} e^{t ²} (\begin{array}{rcl} 9 t^{3} + 9 t ² + 36 t - 8 \\ 9 t ³ + 9 t ² + 9 t + 28 \end{array}) + Y (t) c$

Die Lösung deckt sich mit der Musterlösung.

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