 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Funktion 4. Grades mit zwei Extrempunnkten
Funktion 4. Grades mit zwei Extrempunnkten
Schüler Berufliches Gymnasium,
Tags: Bedingung für 2 Extrempunkte
 
|
  |
|---|
|
Hallo ihr, ich hätte da mal eine Frage über Extrempunkte der ganzrationalen Funktion 4. Grades. Und zwar welche Bedingungen gelten, dass eine Funktion 4. Grades 2 Extremstellen haben???? Welche Schaubilder besitzen 2 Extremstellen?? |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) |
|
 |
|
Hallo,
es gibt keine Funktion 4-ten Grades mit genau 2 Extremstellen! Das kann man sich einfach vorstellen: Die Funktion geht für gegen entweder beide Male gegen oder beide Male gegen . Betrachten wir mal eine Funktion, die beide Male gegen geht. Dann kommt "links" eine Extremstelle, . die Funktionswerte werden von da an immer kleiner. Dann kommt auch "rechts" eine Extremstelle, . die Funktionswerte werden von da an immer kleiner. Letztendlich kommen zwei Teile der Kurve zwischen diesen beiden Extremstellen immer näher und werden dabei immer kleiner. Wie sollen die zusammenkommen, wenn nicht über eine dritte Extremstelle in der Mitte? Das kann man auch mathematisch belegen, indem man sich die Ableitung dieser Funktion ansieht. Diese ist 3-ten Grades und hat somit maximal 3 (reelle) Nullstellen. Damit die Funktion vierten Grades genau zwei Extremstellen hat, muss die Ableitung genau 2 Nullstellen haben. Nun hat aber eine Funktion 3-ten Grades immer mindestens eine Nullstelle, an der die x-Achse nicht nur berührt, sondern auch gequert wird. Genau eine zweite Nullstelle geht dann nur, indem diese zweite Nullstelle die x-Achse nur berührt. Dabei entsteht aber keine Extremstelle (Nullstelle zu sein ist notwendig aber nicht hinreichend!), sondern ein Sattelpunkt. In einer Umgebung der doppelten Nullstelle sind alle Werte der Ableitung (ausser an der Stelle selbst) entweder positiv oder negativ, . die Funktion selbst war vorher wachsend und nachher ist sie immer noch wachsend oder sie war fallend und nachher fällt sie immer noch. |
858258
858240