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Funktion-Beweise(injektiv)

Schüler

Tags: Algebra, Funktion, Menge, Mengenlehre

Mr-Maths aktiv_icon

12:57 Uhr, 17.10.2015

Hey zusammen,

ich habe hier ein Beispiel:
Sei

f : A \to B

eine Funktion. Zeigen Sie f ist injektiv genau dann wenn für alle Funktionen

g, h : C \to A

bilt:

f o g = f o h \to g = h

Also die Definiton von injektiv lautet doch: f(x1) = f(x2)

\to

x1 = x2.
D.h., bei zwei gleichem x-Werten, muss auch nur ein einzige Funktionswert rauskommen. Denn wenn es für denselben y-Wert 2 verschiedene x-Werte gibt, dann ist es nicht mehr injektiv, sondern surjektiv. Kann man das so stehen lassen?

Also soll ich zeigen, warum f injektiv ist? Oder ist das meine Annahme, um zu zeigen, dass f(g(x)) = f(h(x)) ---> g=h ist?

Also jetzt mal ohne groß rumzubeweisen: Wenn f(g(x)) = f(h(x)) und x1=g(x) und x2=h(x), dann soll ja x1=x2 sein und darausfolgt, dass f(x1) = f(x2) sein muss, sodass f injektiv ist --> g(x) = h(x). Stimmt das so?

Aber wie funktioniert das "beweisen" hier in der Algebra?

Gruß
Mr-Maths

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Mengenlehre

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13:16 Uhr, 17.10.2015

"D.h., bei zwei gleichem x-Werten, muss auch nur ein einzige Funktionswert rauskommen."

Nein. Bei gleichen

x

-Werten muss immer ein Funktionswert rauskommen, sonst wäre es gar keine Funktion.

"Denn wenn es für denselben y-Wert 2 verschiedene x-Werte gibt, dann ist es nicht mehr injektiv"

Das ist richtig.

"sondern surjektiv."

Aber das ist falsch. Surjektiv heißt: für jeden Wert von

y

gibt's mindestens ein Wert von

x

.

Du musst Dich noch etwas mit den Definitionen beschäftigen, bis jetzt hast Du sie noch nicht verinnerlicht.

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13:22 Uhr, 17.10.2015

>Nein. Bei gleichen x-Werten muss immer ein Funktionswert rauskommen, sonst wäre es gar keine Funktion.

Sorry ich hab mich falsch ausgedrückt.
Ich meine folgendes: Wenn ich 2 gleiche x-Werte x1=x2 habe, dann muss f(x1) auch gleich f(x2) sein, dann ist die Funktion injektiv. Wenn nun x1 != x2 ist, aber bei beide x denselben Funktionswert habe, dann ist die Funktion doch surjektiv, da bei Surjektivität JEDER y-Wert mind. einen x-Wert haben muss, d.h. x1 und x2 zeigen auf einen Punkt/Element im Bildbereich.

So ist es doch richtig oder?

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13:26 Uhr, 17.10.2015

"Ich meine folgendes: Wenn ich 2 gleiche x-Werte x1=x2 habe, dann muss f(x1) auch gleich f(x2) sein, dann ist die Funktion injektiv."

Falsch. Für gleiche Werte

x_{1} = x_{2}

erfüllt JEDE Funktion

f (x_{1}) = f (x_{2})

.

"Wenn ich nun x1 != x2 wäre, aber denselben Funktionswert bei beide x habe, dann ist die Funktion doch surjektiv"

Immer noch falsch. Hier steht gar nicht, dass JEDER Wert

y

sich als

f (x)

darstellen lässt.

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13:30 Uhr, 17.10.2015

Und Beweise von "genau dann"- Aussagen bestehen immer aus zwei Teilen: Beweis der Implikation => und der Beweis der Implikation <=.

In diesem Fall ist die erste Implkation:

f

-injektiv => aus

f \circ g = f \circ h

folgt

g = h

.
Das ist am einfachsten indirekt zu beweisen:
Sei

f

-injektiv, es gelte

f \circ g = f \circ h

, aber sei

g \neq h

.
Dann existiert ein

x

mit

g (x_{0}) \neq h (x_{0})

. Da

f

- injektiv ist, folgt daraus

f (g (x_{0}) \neq f (h (x_{0}))

. Damit ist

f \circ g \neq f \circ h

, was der Voraussetzung widerspricht. Dieser Widerspruch zeigt, dass die Annahme

g \neq h

falsch war.

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13:34 Uhr, 17.10.2015

>>"Ich meine folgendes: Wenn ich 2 gleiche x-Werte x1=x2 habe, dann muss f(x1) auch gleich f(x2) sein, dann ist die Funktion injektiv."
>Falsch. Für gleiche Werte x1=x2 erfüllt JEDE Funktion f(x1)=f(x2).

Was meinst du hier mit "jeder Funktion"? Also ich stell mir das so vor mit injektiv:
In der Menge A sind 3 Punkte und in der Menge B sind 5 Punkte. Die 3 Punkte in Menge A zeigen auf 3 unterschiedliche Punkte in Menge B.

Und mit Surjektiv: Menge A hat 5 Punkte und Menge B hat 3 Punkte. Hier muss auf alle Punkte in B gezeigt werden, es darf kein Punkt ausgelassen werden. Aber darf in Menge A 2 Punkte ausgelassen werden?

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13:45 Uhr, 17.10.2015

"In der Menge A sind 3 Punkte und in der Menge B sind 5 Punkte. Die 3 Punkte in Menge A zeigen auf 3 unterschiedliche Punkte in Menge B."

Das ist richtig. Nur schreibst Du oben was Anderes. Und leider verstehst das nicht einmal. :(

"Und mit Surjektiv: Menge A hat 5 Punkte und Menge B hat 3 Punkte. Hier muss auf alle Punkte in B gezeigt werden, es darf kein Punkt ausgelassen werden."

Das ist auch richtig.

"Aber darf in Menge A 2 Punkte ausgelassen werden?"

Das ist die Frage des Definitionsbereichs. Im Prinzip ja, ein Funktion muss nicht überall definiert werden.

Mr-Maths aktiv_icon

13:50 Uhr, 17.10.2015

>Nur schreibst Du oben was Anderes. Und leider verstehst das nicht einmal. :(

Hilf es mir bitte, es zu verstehen.

>>"Ich meine folgendes: Wenn ich 2 gleiche x-Werte x1=x2 habe, dann muss f(x1) auch gleich f(x2) sein, dann ist die Funktion injektiv."
>Falsch. Für gleiche Werte x1=x2 erfüllt JEDE Funktion f(x1)=f(x2).

Warum ist das Falsch? Erklär es mir bitte.

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13:55 Uhr, 17.10.2015

1. Wenn

x_{1} = x_{2}

, dann erfüllt JEDE Funktion

f (x_{1}) = f (x_{2})

.
Sonst würde ein

x

Punkt auf verschiedene

y

-Punkte abgebildet werden, das wäre gar keine Funktion.

Um zu verstehen, dass 1. nicht mit Injektivität zu tun hat, nehme die Funktion

f (x) = 1

für alle

x

. Sie ist offensichtlich nicht injektiv. Und doch ist 1. für sie erfüllt.

2. Wenn

x_{1} \neq x_{2}

, aber

f (x_{1}) = f (x_{2})

, dann ist

f

NICHT INJEKTIV.

3. Wenn Situation 2 an keinen Punkten

x_{1} \neq x_{2}

vorkommt, dann ist

f

injektiv.

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14:14 Uhr, 17.10.2015

Ahh jetzt verstehe ich, danke.

Und macht es einen Unterschied, wenn ich f(x1) = f(x2) --> x1=x2 schreibe? Denn das besagt ja, wenn ich 2 y-Werte habe, die dieselben sind, also nur ein Punkt in B, dann müssen x1=x2 sein, sodass ich nur einen Wert x in A anspreche, oder wie würdest du es erklären?

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16:49 Uhr, 17.10.2015

Die Bedingung

f (x_{1}) = f (x_{2}) = > x_{1} = x_{2}

ist genau die Definition der Injektivität.

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16:54 Uhr, 17.10.2015

Kann ich diese diese Bedinung dann folgendermaßen übersetzen?
Ich habe ein f(x1) und ein f(x2), angenommen diese sind gleich, dann muss x1=x2 sein, um Injektivität erfüllen zu können, wenn x1 != x2 wäre, dann würde es 2 x-Werte geben für einen Y-Wert und das wäre nicht injektiv.

Kann man das so schreiben, oder wie würdest du es besser formulieren?

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17:00 Uhr, 17.10.2015

Man kann es auch so schreiben, aber das ist mindestens dreimal länger als nötig.

Entweder symbolisch:

f (x_{1}) = f (x_{2}) = > x_{1} = x_{2}

oder
mit Worten: keine zwei verschiedene Punkte haben dasselbe Bild unter

f

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17:04 Uhr, 17.10.2015

Ah ok, sehr gut, dann wäre dsa geklärt, danke.

Zum Beispiel nochmals:
Für "->": Zu zeigen ist g=h und Annahme ist f ist injektiv und fog = foh.
Für "<-": Zu zeigen ist fog = foh und f ist injekteiv und die Annahme ist g=h.

Stimmt das erstmals so?

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18:19 Uhr, 17.10.2015

Nein, die <- Richtung ist falsch.
In diese Richting ist zu zeigen, dass f injektiv ist.
Gegeben ist die Implikation

f \circ g = f \circ h = > g = h

, die für alle

g, h

gilt.

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18:21 Uhr, 17.10.2015

Ah okay, ich formulier beide besser:

"->"
Annahme: f ist injektive
Zu Zeigen: fog = foh -> g=h

"<-" Annahme: fog = foh -> g=h
Zu Zeigen: dass f ist injektiv

Knapp und kurz. So stimmts?

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18:22 Uhr, 17.10.2015

Für alle

g, h

fehlt noch.

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18:25 Uhr, 17.10.2015

Warum muss ich nur bei "<-" für alle g,h schreiben?
Und warum muss ich das überhaupt schreiben? Weil es für alle g,h im Bildbereich A gilt?

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18:38 Uhr, 17.10.2015

Achso und ich würde mal so anfangen:

"->"
Sei f:A->B injektiv. Zu Zeigen ist

f o g = f o h \to g = h

, wobei

f o g = f (g (x)

und

f o h = f (h (x))

.
Da f injektiv, gilt

\forall (x 1, x 2) \in A : f (x 1) = f (x 2) \to x 1 = x 2

Naja es fällt mir schwer jetzt "formell" weiter zu schreiben, aber ich sags mal so:
Da ja f injektiv ist, muss also g(x1) = h(x2) sein. und somit ist auch x1=x2 wieder.

Wie würdest du es besser machen?

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19:03 Uhr, 17.10.2015

Den Beweis von der -> Richtung habe ich schon oben aufgeschrieben.

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19:05 Uhr, 17.10.2015

Ja, aber muss man das so machen? Kann ich nicht weiter vorgehen so wie ich es geschrieben habe? Für mich ist es so einfacher.

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19:13 Uhr, 17.10.2015

Nein, muss man nicht.
Du kannst Deinen eigenen Beweis schreiben.
Momentan sehe ich bei Dir noch nicht mal die Hälfte des Beweises.

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19:14 Uhr, 17.10.2015

Ja, ich weiß nicht weiter, was ich da noch schreiben könnte. Kannst du mir ein paar Hilfestellungen bitte geben, wie ich von dem mir oben angefange weiterkomme?

Nur für "->" also.

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19:18 Uhr, 17.10.2015

Du musst zeigen, dass

g = h

, also musst Du zeigen

g (x) = h (x)

für alle

x

, wenn Du es direkt beweisen willst. Daher musst Du ein beliebiges

x

nehmen und dann

f (g (x)) = f (h (x))

nutzen, um

g (x) = h (x)

zu folgern.

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19:31 Uhr, 17.10.2015

Ok, danke.

Sei

f : A - > B

injektiv. Zu Zeigen ist

f o g = f o h \to g = h

, also ist

f (g (x) = f (h (x))

, also auch g(x) = h(x) zu zeigen.
Da f injektiv, gilt

\forall x 1, x 2 \in A : f (x 1) = f (x 2) \to x 1 = x 2

Also wähle

x 1 u n d x 2 \in A

beliebig für das gilt: f(g(x1)) = f(h(x2)) und somit auch g(x1) = h(x2) gelten muss, dass die Injektivität von f erfüllt ist.

Also so in etwa?

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20:18 Uhr, 17.10.2015

Nun, leider hast Du

g (x) = h (x)

nicht bewiesen.
Und was Du geschrieben hast, ergibt eigentlich wenig Sinn.
Was sollen die

x_{1}

und

x_{2}

? Du musst

g (x) = h (x)

beweisen, und zwar für alle

x

, nicht für irgendwelche

x_{1}

und

x_{2}

, die vom Himmel gefallen sind.

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20:38 Uhr, 17.10.2015

Hm, aber im Anhang habe ich auch einen Beweis und da wird auch nur mit x1 und x2 gearbeitet, warum? Ist dieser falsch?

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20:42 Uhr, 17.10.2015

In welchem Anhang?

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21:07 Uhr, 17.10.2015

Ah, jetzt ist es da im vorigen Beitrag.

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21:09 Uhr, 17.10.2015

Was hat dieser Beweis mit der Aufgabe zu tun, die wir hier besprechen? :-O
Oder glaubst Du etwa, alle Beweise sehen ähnlich aus? :-O

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21:10 Uhr, 17.10.2015

Ahhh, mist. Falsches Bild, sorry :s.

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21:13 Uhr, 17.10.2015

Okay, das Bild wird nicht eingefügt, darum so: www.bilder-upload.eu/show.php?file=b4b38b-1445110099.png

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21:16 Uhr, 17.10.2015

Auch dieser Beweis hat mit der Aufgabe wenig zu tun, zumindest mit der Hälfte, an der Du gerade dran bist.
In diesem Beweis geht es darum, zu beweisen, dass eine Funktion injektiv ist.
In der Aufgabe versuchst Du aber zuerst mal die -> - Richtung zu beweisen, wo es nicht darum geht, Injektivität zu zeigen, sondern Injektivität gegeben ist.

Mr-Maths aktiv_icon

21:38 Uhr, 17.10.2015

Hm ok danke.

Sei f:A−>B injektiv. Zu Zeigen ist fog=foh -> g=h , also ist f(g(x)=f(h(x)) , also ist g(x) = h(x) zu zeigen.
Hmm ab hier weiß ich nicht weiter. Soll ich dann sagen für ein beliebiges

x \in A

gilt f(g(x))=f(h(x))? Ja aber das soll ich ja beweisen, ich darf ja net einfach sagen, dass das dasselbe ist oder ned?

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21:49 Uhr, 17.10.2015

Jetzt bist Du leider komplett verwirrt.

Der direkte Beweis geht so:
Sei

f

injektiv und es gelte

f \circ g = f \circ h

. Zu zeigen ist

g = h

.
Wählen wir ein

x

beliebig. Dann gilt

f (g (x)) = f (h (x))

wegen

f \circ g = f \circ h

.
Da

f

injektiv ist, folgt daraus

g (x) = h (x)

. Da dies für jedes beliebige

x

gilt, folgt

g = h

.

Eigentlich nicht kompliziert, aber Die fehlt noch das Gefühl für strenge mathematische Beweise. Du brauchst etwas mehr Erfahrung.

Mr-Maths aktiv_icon

22:07 Uhr, 17.10.2015

Hm ja, wenn ich mir das so durchlese ist das auch recht simpel^^. Danke dir.

Aber muss ich ned auch schreiben, dass x ein Element aus der Menge A z.B. ist? Da dies ja der Def.Bereich von f ist. Und die Def. von injektiv brauche ich auch nicht zu erwähnen?

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22:37 Uhr, 17.10.2015

"Aber muss ich ned auch schreiben, dass x ein Element aus der Menge A z.B. ist"

Ja, für einen richtig sauberen Beweis musst Du das schreiben.

Mr-Maths aktiv_icon

22:51 Uhr, 17.10.2015

Okay, dann hier mal die Rückrichtung:

"<-"
Sei

g = h

und für alle g,h gilt

f o g = f o h

. Zu zeigen ist die Injektivität von f, also

\forall x_{1}, x_{2} \in A : f (x_{1}) = f (x_{2}) \to x_{1} = x_{2} .

Seien also

x_{1}, x_{2} \in A

mit

f (x_{1}) = f (x_{2})

, d.h.

f (g (x_{1})) = f (h (x_{2}))

.
Da nach Annahme

g = h

, folgt

g (x_{1}) = h (x_{2})

und somit

x 1 = x 2

, was die Injektivität von f zeigt.

Hmm, was sagst du? Ist da was richtig? Ich habe jetzt x1 und x2 verwendet, weil wir ja Injektivität zeigen wollen, also muss ich ja die Definition aufschreiben, oder? Was sagst du?

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23:07 Uhr, 17.10.2015

Hier

x_{1}

und

x_{2}

zu verwenden ist richtig, aber sonst leider alles falsch.

Zuerst einmal ist "Sei

g = h

und für alle

g, h

gilt

f \circ g = f \circ h

" kompletter Quatsch. Du darfst nicht

g = h

schreiben und dann plötzlich "für alle

g, h

", denn alle

g, h

erfüllen ja nicht die Bedingung

g = h

. Und mit der Aufgabe hat das was Du schreibst sowieso nichts zu tun. Richtig ist: für alle

g, h

gilt

f \circ g = f \circ h

g = h

.

Und weiter wird's nicht besser. Warum schreibst Du z.B.
"

f (x_{1}) = f (x_{2})

, d.h.

f (g (x_{1})) = f (h (x_{2}))

"? Links und rechts stehen hier total verschiedene Gleichungen. Denn wenn

x_{1}

ein Argument der Funktion

f

ist, kann er im allgemeinen Fall kein Argument der Funktion

g

sein, deren Argumente liegen in einem anderen Raum!

Also sorry, aber das ist so was von unbrauchbar.

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23:28 Uhr, 17.10.2015

Ah ok, ich sehs. Ja stimmt, das hat ja gar keinen Zusammen die x's in den jeweils anderen Räumen. Hab zu stark auf das Beispiel oben im Anhang geguckt.

"<--"
Für alle g,h gilt

f o g = f o h \ r i g h t a r r o w g = h

. Zu zeigen ist die Injektivität von f.
also

\ f o r a l l x 1, x 2 \ i n A : f (x 1) = f (x 2) \ r i g h t a r r o w x 1 = x 2

.

Was nun? Naja ich weiß das wenn

f o g = f o h

gilt, dann gilt auch

f (g (x)) = f (h (x))

und g(x) muss eben gleich h(x) sein, dass f injektiv ist.

Sind die Gedanken schon besser, oder noch immer falsch?

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23:41 Uhr, 17.10.2015

Das ist alles OK, nur musst Du irgendwie

x_{1}

und

x_{2}

mit

g

und

h

in Verbindung bringen.

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00:23 Uhr, 18.10.2015

Ich weiß nicht, wie ich das umschreiben soll.

Soll ich einfach eine neue Definition machen, also:

\forall x 1, x 2 \in C : f (g (x 1)) = f (h (x 2)) \to g (x 1) = h (x 2)

und darausfolgt, dass f injektiv ist, da g=h ist.

Brauch ich dann aber die andere Definition vorher noch? Aber dann muss ich ja noch irgendwie auch zeigen, wie ich dazu gekommen bin

\forall x 1, x 2 \in C : f . . .

zu schreiben, oder?

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09:20 Uhr, 18.10.2015

"Soll ich einfach eine neue Definition machen"

Das darfst Du gar nicht.

Der direkte Beweis geht so (in Kurzform):
gegeben:

f \circ g = f \circ h = > g = h

.
Seien

x_{1}

und

x_{2}

so, dass

f (x_{1}) = f (x_{2})

. Definiere KONSTANTE Funktionen

g

und

h

so:

g (y) = x_{1}

für alle

y

h (y) = x_{2}

für alle

y

. Wegen

f (g (y)) = f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (h (y))

für alle

y

haben jetzt

f \circ g = f \circ h

, woraus folgt

g = h

, also

x_{1} = g (y) = h (y) = x_{2}

.
Damit ist gezeigt:

f (x_{1}) = f (x_{2})

x_{1} = x_{2}

und Funktion

f

ist injektiv.

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11:14 Uhr, 18.10.2015

1. Ahh OK, d.h. ich darf hier einfach einen Wert g(y) mit einem wert x1 gleichsetzen?

y ist dann aus der Menge C und g(y) aus A. Und x1 ist auch aus A.

2. Kann ich das so hinzufügen?

3. was bedeutet für alle y genau? Für alle Elemente aus Menge C?

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11:17 Uhr, 18.10.2015

"1. Ahh OK, d.h. ich darf hier einfach einen Wert g(y) mit einem wert x1 gleichsetzen?"

Du setzt nichts gleich, Du definierst für ein gegebenes

x_{1}

eine konstante Funktion

g (y)

, die diesen Wert in allen

y

annimmt. Das darfst Du natürlich, so eine Funktion existiert immer.

"y ist dann aus der Menge C und g(y) aus A. Und x1 ist auch aus A"

Ja, das ist richtig.

"3. was bedeutet für alle y genau? Für alle Elemente aus Menge C?"

Ja.

Mr-Maths aktiv_icon

13:42 Uhr, 18.10.2015

Danke, ich habe es wieder ein bisschen anders wie du gemacht:

"<--"
Annahme: Für alle g,h gilt

f o g = f o h \ r i g h t a r r o w g = h

Zu zeigen ist die Injektivität von f, also

\ f o r a l l x 1, x 2 \ i n A : f (x 1) = f (x 2) \ r i g h t a r r o w x 1 = x 2 .

Definition der konstanten Funktionen g und h:

\ f o r a l l y \ i n C : g (y) = x 1 \ w e d g e h (y) = x 2

Nach Annahme gilt

f o g = f o h

, also für alle y:

f (g (y)) = h (g (y))

, woraus folgt

g (y) = h (y)

für alle y. Da für alle y: g(y)=x1 und h(y)=x2 gilt das, was zu zeigen war:

f (x 1) = f (x 2) \ r i g h t a r r o w x 1 = x 2

, also die Injektivität von f.

Für mich ist der Beweis so nachzuvollziehen. Was sagst du?^^
Und ist das "für alle y" immer nötig? Kann ich das nicht irgendwo einmal hinschreiben, dass es dann für immer so gilt?

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20:53 Uhr, 18.10.2015

"Für mich ist der Beweis so nachzuvollziehen. Was sagst du?"

Ich hätte Schwierigkeiten, ihn zu verstehen, wenn ich ihn nicht gerade davor selber geschrieben hätte. :-)

Mr-Maths aktiv_icon

20:55 Uhr, 18.10.2015

Aber ist doch ziemlich dasselbe, was du geschrieben hast, oder?

DrBoogie aktiv_icon

21:02 Uhr, 18.10.2015

Ja, sicherlich, nur die Wortwahl von Dir ist nicht sehr präzise, aus meiner Sicht.

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