 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Funktion Injektiv
Funktion Injektiv
Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe
Tags: Funktion, injektiv, Surjrktiv
 
|
  |
|---|
|
Hallo zusammen, ich soll für die Funktion mit entscheiden ob sie injektiv, surjektiv oder bijektiv ist, bijektiv ist die funktion ja nurn wenn sie injektiv und surjektiv ist. jedoch verstehe ich dieses Themengebiet überhaupt nicht. ich wäre euch sehr dankbar wenn wir jemand (ausführlich) injekivität und surjektivität anhand dieses Beispiels erklären kann. wie man vorgeht, was ich beachten muss und und und. damit ich beim nächsten test nicht allzzu schlecht abschneide. danke imvorraus Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
|
 |
|
Die Definitionen kennst Du ja sicher. Anschaulich: Wenn es zwei verschiedene x-Stellen gibt, die den gleichen y-Wert ergeben, dann ist die Injektivität verletzt. Wenn es eine Zahl in der Zielmenge (was rechts von steht) gibt, zu der kein passendes existiert, dann ist die Funktion nicht surjektiv. Wie kann man das jetzt überprüfen? Zeichnerisch: Graph zeichnen Gibt es im Graphen Punkte auf gleicher Höhe (nebeneinander)? Gibt es (entlang der y-Achse) y-Werte, die bei keinem erreicht werden? Rechnerisch: Versuche die Umkehrfunktion zu bilden und vertauschen, nach auflösen). Wenn es beim Auflösen nach mehrere Lösungen gibt (geben kann), dann ist die gegebene Funktion nicht injektiv. Wenn die aufgelöste Umkehrfunktion an bestimmten Stellen der Zielmenge der ursprünglichen Funktion nicht definiert ist, dann ist die ursprüngliche Funktion nicht surjektiv. Eine Stelle reicht hier schon aus zur Verletzung der Surjektivität. Jetzt versuche dies mal auf Dein Beispiel anzuwenden! |
 |
|
also.... zeichnerisch dargestellt wäre: www.wolframalpha.com/input/?i=2%2Fx-3 somit wäre die Funktion Injektiv oder? laut der Definition. |
|
|
|
Ja, richtig! |
|
|
|
ok alles klar, ist sie nun auch surjektiv? falls ja wäre sie ja auch bijektiv^^. mir ist es aber vorallem wichtig den rechnerischen weg zu verstehen ! bitte erklären danke :-) |
|
|
|
Ja, der rechnerische Weg ist natürlich wichtiger. Ich habe oben ja schon geschrieben: versuche die Unkehrfunktion zu bilden! Dazu und vertauschen und nach auflösen. |
|
|
|
ok ergibt = dann durch teilen = ist die formel korrekt umgestellt? wenn ja, woran erkenne ich nun surjektivität? |
|
|
|
WENN die richtige Umkehrfunktion wäre, dann dürftest Du dort nicht einsetzen, . bei der ursprünglichen Funktion könnte nicht herauskommen, also keine Surjektivität. Dein Umstellen ist aber misslungen! Was ergibt ? |
|
|
|
ergibt teilen durch ergibt so korrekt? |
|
|
|
Ja, die Umkehrfunktion stimmt jetzt. Darf man dort jede Zahl einsetzen? |
|
|
|
nein, da ja vorrausgesetzt wird, also nur positive zahlen, oder? und wie läuft jetzt die untersuchung der formel und der umgekehrten formel auf surjektivitä ab, setze ich für jedes . eine 1 oder 2 ein in beiden formeln? |
|
|
|
Wie kommst Du auf positive Zahlen? Die reellen Zahlen sind "alle" Zahlen. ist surjektiv, wenn der Wertebereich ganz umfasst. Da dieser Wertebereich nicht so ganz leicht zu bestimmen ist, untersuche ich lieber den Definitionsbereich der Umkehrfunktion (was nämlich das gleiche ist). Wenn es also eine Zahl gibt, die in nicht eingesetzt werden darf, dann kommt diese im Wertebereich von nicht vor, verletzt also die Surjektivität. Deshalb wiederhole ich meine Frage von oben: Gibt es eine Zahl, die man in nicht für einsetzen darf? |
|
|
|
was heißt das "nicht einsetzen darf" bzw welches ergebnis darf nicht rauskommen? setze ich beispielsweise für ein erhalte ich beispielsweise wäre das eine zahl die ich nicht einsetzen darf |
|
|
|
"Nicht einsetzen dürfen" bedeuted, dass durch das Einsetzen eine unerlaubte Rechnung entsteht. So viele unerlaubte Rechnungen (bei bestimmten Rechenarten) gibt es gar nicht. Bei dem, was Du da einsetzt, passiert nichts Unerlaubtes; bei einer speziellen Zahl aber schon! Welche könnte das denn sein? |
|
|
|
ahhh jetzt verstehe ich... bei der division durch 0 geschiet etwas unerlaaubtes, also setzte ich für die zahl 3 ein somit würde ich erhalten da eine zahl nicht durch teilbar ist aufgabe gelöst. Weil ich ja nun eine "unerlaubte" zahl gefunden habe, die diese formal unmöglichmacht, ist meine ursprüngliche formel: nicht surjektiv. alles zusammengefasst wäre: Injektiv: Ja Surjektiv: Nein Bijektiv: Nein, weil Surjektivität nicht vorhanden |
|
|
|
Deine Überlegungen sind alle vollkommen korrekt! Allerdings heißt unsere Umkehrfunktion richtig . hier darf man nicht einsetzen. Somit kann in der ursprünglichen Funktion die nicht als Funktionswert herauskommen, also tschüss Surjektivität. Wenn Du genau hinschaust, dann erkennst Du diese Tatsache auch an Deinem Funktionsgraph von . Und zum Schluss übrigens: Eine Funktion (mit veränderter Zielmenge) \0} \-3} mit wäre bijektiv! |
 |
|
ok. Vielen Dank Matlog, du hast mir sehr geholfen und nun habe ich auch endlich das thema begriffen :-) |
1073536
1072951