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Funktion als Intervall

Universität / Fachhochschule

Tags: Bijektivität, Funktion als Intervall

anonymous

13:50 Uhr, 24.11.2011

Hallo,

ich soll folgende funktion

ℝ \to ℝ

f (x) = | x^{2} + 6 x + 8 | - | x^{2} + 4 x + 3 |, x \in ℝ

1)

Graphisch skizzieren und bestimmen ob Injektiv, Surjektiv oder Bijektiv

2)

In drei Intervalle I_1 I_2 I_3 mit

ℝ =

I_1

⋃

I_2

⋃

I_3 zerlegen, so dass

f

auf jedem Interfall umkehrbar ist. Und zudem die Umkehrfunktion jeweils angeben.

Die Zeichnung des Graphes habe ich als Anhang angefügt. Die Funktion ist Surjektiv, da jeder

Y

Wert

min 1

Mal angenommen wird. Jedoch nicht Injektiv, da im Bereich von

- 3,5

und

1,3

die Mehrere Male die gleichen Y-Werte angenommen werden und so keine eindeutige Zuordnung möglich ist. Daher ist der Graph auch nicht bijektiv.

Ich geh davon aus, dass das soweit stimmt.

2)

Wenn ich das als Intervalle schreiben sollte, würde ich bei 3 Stück einfach schreiben

I_1

: [- \infty,1] = {x \in ℝ | - \infty \leq x \leq - 3 |}

I_2

: [1, - 1] = {x \in ℝ | - 3 \leq x \leq - 2 |}

I_3

: [- 1, \infty] = {x \in ℝ | - 2 \leq x \leq \infty |}

Aber irgendwie habe ich das Gefühl, dass das was ich da gemacht habe eher Falsch ist. Zu dem versteh ich nicht wie ich mit den Intervallen eine Umkehrfunktion zustande bringen soll.

Danke fürs Lesen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

hagman aktiv_icon

14:10 Uhr, 24.11.2011

Im Prinzip hast du das richtig gemacht.
Allerdings hast du nur ganzzahlige Argumente getestet.
Die Unterteilung in Intervalle solltest du lieber danach regeln, wo sie natürlich auftreten (lokale Maxima/Minima, ggf. Fallunterscheidungen der Betragsfunktion)

anonymous

14:20 Uhr, 24.11.2011

Im Prinzip muss ich aber die Intervalle so wählen, das die funktion bijektiv ist und ich eine Umkehrfunktion bilden kann oder nicht?

hagman aktiv_icon

14:25 Uhr, 24.11.2011

Genau. Und bijektiv ist sie immer von einem Minimum bis zu nächsten Maximum oder anders herum.
Dennoch würde ich erst einmal den Funktionsausdruck so vereinfachen, dass er in den einzelnen Intervallen ohne Betragsfunktion auskommt. Ob dann nochmal lokale Extrema auftreten, kann man ja ohnehin erst dann leicht entscheiden.

Wie vereinfacht sich also

f (x),

wenn man

x \leq - 4

bzw.

- 4 < x \leq - 3

bzw.

- 3 < x \leq - 2

bzw.

- 2 < x \leq - 1

bzw.

- 1 < x

voraussetzt

(- 4, - 3, - 2, - 1

sind die Nullstellen der beiden quadratischen Polynome)

anonymous

14:32 Uhr, 24.11.2011

Ja aber meine Intervalle gehen doch von

- \infty

bis zum ersten maximum.von dem Maixmum bis zum minimum und dann wieder bis

\infty

? Oder hab ich da was falsch aufgeschrieben?

meine

x

sind ja für den bereich definiert?

Edit:
Ja ich hab gesehen was ich für einen mist geschrieben habe

^.^{}

I_1 :

[

−∞,-3]={x∈ℝ|−∞≤x≤−3|}

I_2 :

[

-3,−2]={x∈ℝ|−3≤x≤−2|}

I_3 :

[

-2,∞]={x∈ℝ|−2≤x≤∞|}

So meinst du?

anonymous

14:44 Uhr, 24.11.2011

Bei

x \leq - 4

ist die Funktion ja

2 x + 5

von

- 3

bis

- 2

ist die Funktion

- 2 x - 5

bei

x \geq - 1

ist sie wieder

2 x + 5

Auf die anderen 2 Funktionen komm ich im moment irgendwie nicht. Ich steh da auf der Leitung

Allerdings ist von

- 4

bis

- 3

die linke hälfte positiv und größer und die rechte negativ und dabei kleiner

und bei

- 2

bis

- 1

die rechte positiv und größer und die linke negativ und kleiner

Aber ich brauch doch 3 umkehrfunktionen oder? das hier sind dann aber 5?

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