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Funktion, die unstetig ist in abzählbarer Menge

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: abzählbarer Menge, Stetigkeit, Unstetigkeit

seR44 aktiv_icon

19:32 Uhr, 12.12.2014

folgende Aufgabe lässt mich verzweifeln:
Sei

M

eine abzählbare Teilmenge von

ℂ

. Geben Sie eine Funktion an, die genau für

z \in M

unstetig ist.

Mein erster Impuls:

f : ℂ \to ℂ, x \mapsto f (x) = 1,

falls

x \in M, f (x) = 0,

sonst.

Zunächst mal ist die Funktion tatsächlich unstetig für alle

x \in M

. Da man ja immer einfach eine Folge konstruieren kann die gegen

x \in M

konvergiert, aber die Folge der Funktionswerte konstant Null ist.

Z . b

. in dem man einfach eine Folge auswählt, bei der alle Glieder in

ℂ \ M

liegen.
Jetzt ist aber das Problem, dass ich ja nicht ausschließen kann, das

M

dicht in

ℂ

liegt. Also

z . B

ℚ \times ℚ

. Die Menge ist ja auch abzählbar in

ℂ,

aber falls

M

diese Menge sein sollte ist die Fkt. nicht nur in

M

unstetig sondern in allen Punkten. Sprich das Problem ist, dass ich eine Funktion finden muss, die auch für dichte Mengen

M,

nur in den Punkten der Menge

M

untstetig ist.
Hat jemand ne Idee oder nen Ansatz?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Shipwater aktiv_icon

20:12 Uhr, 12.12.2014

de.wikipedia.org/wiki/Thomaesche_Funktion#Unstetigkeitsstellenmengen

seR44 aktiv_icon

20:17 Uhr, 15.12.2014

In dem Artikel sind ein paar begriffe, die wir noch nicht hatten. Verstehe ich es richtig, wenn ich die Funktion so konstruiere?

Sei

M

eine beliebige abzählbare Teilmenge des

ℂ

. Definiere

f

als:

f_{M} : ℂ \to ℝ

f (x) = \frac{1}{n},

falls

x \in ℚ \times ℚ \cap M

und

n

sei der Index des

x_{n} \in M

f (x) = - \frac{1}{n},

falls

x \in ℚ \times ℚ \ M

und

n

sei der Index des

x_{n} \in M

f (x) = 0

falls

x \notin M

Vor allem bei der Wahl des

n,

bin ich mir da unsicher, weil ich nicht ganz verstehe, was da passiert. Wäre nett, wenn du mir nochmal sagen könntest, ob das jetzt die gesuchte Fkt. ist :-)

Shipwater aktiv_icon

12:06 Uhr, 16.12.2014

Nein es stimmt nicht und ehrlich gesagt habe ich wenig Lust zu helfen, wenn du nichtmal in der Lage bist richtig abzuschreiben ;-) Also vergleiche nochmal und verbessere. Und dann beachte, dass bei Wiki eine Zerlegung

A = ⋃_{n = 1}^{\infty} F_{n}

(mit abgeschlossenen

F_{n}' s)

vorgenommen wurde, das musst du natürlich auch tun. Aber sollte bei einer abzählbaren Menge ja nicht allzu schwierig sein...

seR44 aktiv_icon

19:17 Uhr, 16.12.2014

Ich hab das schon gesehen, dass ich da einiges geändert habe, aber ich dachte die Zerlegung sei in meinem Fall unnötig und deshalb hab ich es so formuliert. Hab gedacht, dass das eben eine Vorschrift für allgemeinere Fälle sei.
Naja ich hab mittlerweile aber eine Funktion gefunden.
Trotzdem danke :-)

Shipwater aktiv_icon

15:48 Uhr, 17.12.2014

Jop du hast es halt nur nicht richtig übertragen.

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