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Funktion differenzierbar, Ungleichung lösen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

 
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lmnop

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16:19 Uhr, 04.04.2021

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Hallo,

es soll überprüft werden, an welchen Stellen die Funktion f:ℝ→ℝ,x→{x2-2 für x≤0; und -x-2 für x>0 differenzierbar ist.

Lösungsansatz:
1. Fall: x<0
Sei (xn)n∈ℕ Folge mit limn→∞xn=x0.
Weglassen endlich vieler Folgeglieder |xn-x0|<-xo
⇒xn-x0<-x0⇔xn<0
Def. von f⇒f(xn)=(xn)2-2 für alle n∈ℕ.
... usw.

Hier ist schon mein Problem, denn laut Lösung wäre folgendes richtig:
|xn-x0|<-xo
⇒xn-x0<-x0⇔xn>0 //Problem, warum xn>0
⇒f(xn)=-(xn)2-2 //Problem, warum dann nicht f(xn)=-(xn)-2

Ich dachte anfangs, die Lösung wäre da nicht ganz richtig, aber nachdem mir das nun schon in mehreren Aufgaben untergekommen ist, muss ich wohl irgendwas falsch machen ...

LG und frohe Ostern!
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
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ledum

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17:01 Uhr, 04.04.2021

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Hallo
du skizzierst hier Teile eines Beweises, von dem ich nicht sehe, was er mit Differenzierter bei x=0 zu tun hat. dass der GW der Steigung von f(x)=x2-2 für x gegen 00 ist und der von f(x)=-x-2-1 ist hat man doch schnell? Warum schreibst du etwa immer x0 wo es sich doch konkret um x0=0 handelt?
Um aus deinen Zitaten etwas über den Beweis zu sagen, müsst man wenigstens sehen was all die Ungleichungen für |x-x0| mit der Ableitung zu tun haben, oder geht es dir garnicht darum, sondern um Stetigkeit?
aber z. B: aus xn−x0<−x0 folgt auf keinen Fall ⇔xn>0 sondern xn<0
Gruß ledum

lmnop

lmnop aktiv_icon

17:37 Uhr, 04.04.2021

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Hallo ledum,

danke für deine Antwort. Ich habe mich da daran gehalten, wie wir solche Aufgaben in der Uni gelöst haben. Ich habe x0 betrachtet, weil alle Stellen überprüft werden müssen und nicht nur die Stelle 0. Ich habe nur den Anfang gepostet, weil da ja schon mein Problem aufgetaucht ist :-)
Ich hänge die Lösung als Bild an.
D.h. es geht auch einfacher (als die Lösung)? Könntest du mir erklären wie? - das würde mich freuen.

Danke, dass müsste es auch sein, aber nachdem mir nun wirklich mehrere Lösungen untergekommen sind, in denen die Ungleichung meines Erachtens falsch aufgelöst wurde, dachte ich, dass ich wohl doch etwas übersehe, warum es doch stimmt ... So oder so macht dann aber auch die Folgerung f(xn)=-(xn)2-2 für mich keinen Sinn.

Unbenannt
Antwort
rundblick

rundblick aktiv_icon

21:11 Uhr, 04.04.2021

Antworten
.
"Ich habe x0 betrachtet, weil alle Stellen überprüft werden müssen und nicht nur die Stelle 0. "

also: du hast eine Funktion, die → abschnittsweise definiert ist :

............. {x2-2... für x≤0
f(x)=
............. {-x-2... für x>0

nun, f ist diffbar an einer bel. Stelle x0∈D,
wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert →limx→x0f(x)-f(x0)x-x0= f´( x0)

bei deiner "Lösung" wird für x eine Folge xn gewählt die gegen x0 konvergiert.. na ja

klar : für x<0 bzw für x>0 existieren die jeweiligen Grenzwerte bzgl. der Teilfunktionen:
(das kannst du ja genauer in deinen angefügten Uni-Lösungen nachlesen)
also:

............... {limx→x0(x2-2)-(x02-2)x-x0=limx→x0x2-x02x-x0=limx→x0(x+x0)=2x0... für x0<0
f ’ (x0)=
............... {limx→x0(-x-2)-(-x0-2)x-x0=limx→x0-x+x0x-x0=limx→x0(-1)=-1... für x0>0
(es ist ja wohl längst bekannt ,
dass alle ganzrationalen Funktionen diffbar sind in ihrem Def-Bereich?)

⋆⋅
→ und deshalb sind solche Aufgaben wie hier üblicherweise nur genauer zu untersuchen
an den "Nahtstellen" - bei deinem Beispiel also nur noch an der Stelle x0=0
⋆⋅
und da schaust du dir den linksseitgen Grenzwert an →
limx→0-f(x)-f(0)x-0=limx→0-(x2-2)-(02-2)x-0=limx→0-(x2x)=limx→0-(x)=0
und den rechtsseitgen Grenzwert →
limx→0+f(x)-f(0)x-0=limx→0+(-x-2)-(0-2)x-0=limx→0+(-xx)=limx→0+(-1)=-1

und da diese beiden Grenzwerte verschieden sind, folgt
→f ist (nur!) an der Stelle x=0 NICHT diffbar ..
und da f aber stetig bei x=0, hat f also bei x=0 einen "Knick in der Optik" ..:-)

ok?
lmnop

lmnop aktiv_icon

11:22 Uhr, 05.04.2021

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Hallo rundblick,

vielen Dank für deine tolle Antwort :-)
Also, dass jede ganzrationale Funktion in ihrem Definitionsbereich differenzierbar ist, haben wir nirgends aufgeschrieben (oder folgt das automatisch aus irgendeinem Satz?). Nur, dass rationale Funktionen in ihrem Def.-Bereich stetig sind.
Dann reicht es ja nicht, nur x=0 zu betrachten, oder?

Dann bist du also auch auf 2x0 gekommen statt auf -2xo. Dann liegt da in der Lösung ein Fehler vor ...

Wäre die Untersuchung folgendermaßen vollständig? (Oder muss z.B. folgendes enthalten sein: Weglassen endlich vieler Folgeglieder ⇒|xn-x0|<-x0⇒xn-x0<-x0⇔xn<0 ?)

Lösung:
1. x<0
Sei (xn)n∈ℕ eine Folge mit limn→∞xn=x0.
Aus der Definition von f folgt dann f(xn)=xn2-2 für alle n∈ℕ
Dann ist limn→∞f(xn)-f(x0)xn-x0=... =2x0

2. x>0
Sei (xn)n∈ℕ eine Folge mit limn→∞xn=x0.
Aus der Definition von f folgt dann f(xn)=-xn-2 für alle n∈ℕ
Dann ist limn→∞f(xn)-f(x0)xn-x0=... =-1

⇒ Die Funktion f ist somit an allen Stellen x0≠0 differenzierbar, da auch die Funktionen g(x):=x2-2 und h(x):=-x-2 differenzierbar sind.

3. x=0
Sei (xn)n∈ℕ eine Folge mit limn→∞xn=x0.
Sei xn<x0, dann ist limn→∞f(xn)-f(x0)xn-x0=... =0≠-1=... =limn→∞f(xn)-f(x0)xn-x0, für xn>x0.
⇒ Die Funktion f ist an der Stelle x0=0 nicht differenzierbar.
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

13:06 Uhr, 05.04.2021

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Hallo,
wie lautet denn die Definition von f im Original.
Offensichtlich gibt es hier zwei Varianten,
die vom Fragesteller mit f(x)=x2-2 für x≤0
und die aus der Musterlösung f(x)=-x2-2 für x≤0.
Welches ist denn die richtige?
Gruß ermanus
lmnop

lmnop aktiv_icon

13:29 Uhr, 05.04.2021

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Hallo ermanus,

die Angabe lautet:
x2-2 für x≤0 und -x-2 für x>0

Deswegen meine ich ja, dass die Lösung nicht ganz richtig sein kann:
im Fall x<0 wird erst die Ungleichung falsch umgestellt und -x2-2 anstelle von x2-2 verwendet.
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

13:31 Uhr, 05.04.2021

Antworten
OK!
Dann ist die sog. Musterlösung falsch :-)
Frage beantwortet
lmnop

lmnop aktiv_icon

13:06 Uhr, 07.04.2021

Antworten
Danke!