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Funktion f(x) in eine Potenzreihe entwickeln

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sikisboy2

sikisboy2 aktiv_icon

02:46 Uhr, 26.05.2020

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Hallo,

ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:

Wir müssen die Funktion

f (x) = \frac{x + 1}{1 + 2 x}

in eine Potenzreihe entwickeln (Entwicklungspunkt

x 0 = - 1)

.

ich weiß, dass man hier auch die geometrische Reihe benutzen muss und dass ich die Funktion in die Form

\frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}

bringen muss.

Meine Umformung wäre jetzt

\frac{1 - (- x)}{1 - (- 2 x)}

.

Das Problem ist jetzt aber, dass ich weder weiß ob es richtig oder falsch ist noch wie es weiter geht.

Danke schon mal für eure Hilfe :-)

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Nachhilfe in Mathematik

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DrBoogie

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07:32 Uhr, 26.05.2020

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Die Idee ist richtig. Du musst die Formel

\frac{1}{1 - q} = \sum_{k = 0}^{\infty} q^{k}

nutzen.
Bei dir ist

q = - 2 x

.

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DrBoogie

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07:33 Uhr, 26.05.2020

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Zerlege

\frac{x + 1}{1 + 2 x} = \frac{x}{1 + 2 x} + \frac{1}{1 + 2 x}

und behandle zunächst beide Summanden separat.

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ermanus

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08:15 Uhr, 26.05.2020

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Hallo,

hier ein anderer Vorschlag:
da wir eine Potenzreihe in

x + 1

suchen, würde ich

\frac{1}{1 + 2 x}

in eine geometrische Reihe
(Potenzreihe in

x_{0} = - 1

) umschreiben
und dann mit

x + 1

multiplizieren.

Gruß ermanus

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DrBoogie

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08:19 Uhr, 26.05.2020

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Ach so, da war ich blind. Ja, wenn man

\sum a_{n} (x + 1)^{n}

braucht, muss man anders vorgehen.
Z.B. so:

\frac{1}{1 + 2 x} = \frac{- 1}{1 - 2 (x + 1)}

und dann entwickeln, also mit

q = 2 (x + 1)

.

sikisboy2

sikisboy2 aktiv_icon

15:27 Uhr, 26.05.2020

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Hallo,

danke zunächst für eure Hilfen. Also wenn ich das richtig verstanden habe, haben wir ja dann

\sum_{k = - 1}^{\infty} = {(2 \cdot (x + 1))}^{k} \cdot {(x + 1)}^{k}

(und dann weiter vereinfachen/entwickeln) oder habe ich da jetzt was falsch verstanden ?

Antwort

DrBoogie

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15:30 Uhr, 26.05.2020

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- (x + 1) \sum_{0}^{\infty} (2 (x + 1))^{k} = - \sum_{0}^{\infty} 2^{k} (x + 1)^{k + 1}

Frage beantwortet

sikisboy2

sikisboy2 aktiv_icon

15:39 Uhr, 26.05.2020

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Achso ok denke habe das jetzt verstanden :-)

Danke

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