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Funktion -f(x) versus f(-x)

Universität / Fachhochschule

Relationen

Tags: Relation.

Alex9 aktiv_icon

23:50 Uhr, 25.09.2020

Hi,
ich habe 2 getrennte Aufgabenstellungen gegeben:

- f (x)

und

f (- x)

.

Sind die Lösungen dieser Funktionen nicht immer ident, für reele Zahlen? Oder habe ich hier einen Denkfehler?

Egal welche Zahl/Term ich auch für

x

eingebe, es kommt bei mir stets dasselbe raus und die Graphen-Zeichnungen sind auch entsprechend ident.

zB für Term:

f (x) = 2 x + 5

- f (x) = - f (2 x + 5) \to

wenn

x = 3 \to - f (x) = - 11

f (- x) = f (- 2 x - 5) \to

wenn

x = 3 \to f (- x) = - 11

zB für Term:

f (x) = - 7 x + 5

- f (x) = - f (- 7 x + 5) \to

wenn

x = 4 \to - f (x) = + 23

f (- x) = f (7 x - 5) \to

wenn

x = 4 \to f (- x) = + 23

Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

pivot aktiv_icon

00:58 Uhr, 26.09.2020

Hallo,

du hast da was missverstanden bei

f (- x)

. Hier setzt du für x einfach

- x

ein und nimmst nicht einfach das Negative von

f (x)

.

z.B. ist bei

f (x) = 2 x + 5

dann

f (- x) = 2 \cdot (- x) + 5 = - 2 x + 5

Für

x = 3

ist dass dann

f (- x) = f (- 3) = - 6 + 5 = - 1

und

- f (x) = - (2 x + 5) = - 2 x - 5

bzw.

- f (3) = - (2 \cdot 3 + 5) = - 6 - 5 = - 11

Somit gilt

f (- 3) \neq - f (3)

. Oder allgemeiner:

f (- x) \neq - f (x)

.

Gruß
pivot

Alex9 aktiv_icon

01:46 Uhr, 26.09.2020

Danke für deine Erklärung!

Ich hatte mich falsch ausgedrückt, es geht um verkettete Funktionen.

Siehe Bild anbei,

f (x)

ist gegeben in 3 verschiedenen Variante (für die 3 Intervalle).

Diese

3 x

(fx) Funktionen muss man jeweils in

- f (x)

und

f (- x)

einsetzen, für jew. Intervallbereich.

D . h

. soweit ich die anderen Beispiele aus Büchern kenne, muss man gesamten Term in neu zu bildende Funktion einsetzen.

Bei mir kommt nur eben für

- f (x)

und

f (- x),

dann dasselbe raus. Und wahrsch. sollte das nicht so sein.

Roman-22

11:06 Uhr, 26.09.2020

>

Ich hatte mich falsch ausgedrückt, es geht um verkettete Funktionen.
Nein, das ist etwas anderes. Du meinst eine abschnittsweise definierte Funktion.

>

Bei mir kommt nur eben für −f(x) und f(−x), dann dasselbe raus. Und wahrsch. sollte das nicht so sein.

Du musst doch nur mal konkrete Werte einsetzen um dir klar zu machen, dass das in der Tat nicht so ist.
Zum Beispiel

x = 6 :

f_{5} (6) = - f (6) = - (- 1) = 1

f_{6} (6) = f (- 6) = \frac{1}{2} \cdot (- 6) + 1 = - 3 + 1 = - 2

Was hast du denn allgemein für

f_{5}

und

f_{6}

rausbekommen? Zeig einfach deine Ausführungen hier, dann werden wir den Fehler schon finden.

rundblick aktiv_icon

11:50 Uhr, 26.09.2020

.

.
also: du hast mit

... ... . . {... ... . .

\frac{1}{2} x + 1 ... ... . .

. für..

x < 2

f (x) = {... ...

- 3 x + 8 ... ... ...

. für..

2 \leq x \leq 3

... ... . . {... ... .

- 1 ... ... ... ... ... . .

. für..

x > 3

eine abschnittsweise definierte Funktion gegeben

Vorschlag:

zeichne dir zunächst mal den Graph von

f

auf

- (

du wirst sehen, dass

f (x)

überall stetig ist ( also für alle

x \in ℝ)

schau dir nun entsprechend

\to f_{5} (x) = - f (x)

\Rightarrow

... ... . . {... ... . .

- \frac{1}{2} x - 1 ... ... . .

. für..

x < 2

f_{5} (x) = {... ...

3 x - 8 ... ... ...

. für..

2 \leq x \leq 3

... ... . . {... ... .

+ 1 ... ... ... ... ... . .

. für..

x > 3

\Rightarrow

Feststellung(en) ?

\to . .

.

und überlege dann entsprechend

\to f_{6} (x) = f (- x) \Rightarrow

... ... . . {... ... . .

. ?

... ... . .

. für..

f_{6} (x) = {... ...

. ?

... ... ...

. für..

... ... . . {... ... .

. ?

... ... ... ... ... . .

. für..

\to

was stellst du nun alles fest

: \to . .

. ??

.

Roman-22

12:27 Uhr, 26.09.2020

@rundblick

>

... ... . . {... ... . .

. ?

... ... . .

. für..

x < 2

f 6 (x) = {... ...

. ?

... ... ...

. für.. 2≤x≤3

... ... . . {... ... .

. ?

... ... ... ... ... . .

. für..

x > 3

So wird das aber nix werden, egal was du für die Fragezeichen einsetzt.
Aber warten wir doch auf die Antwort des Fragestellers. Nachdem du

- f (x)

bereits vorgeführt hast, sollten wir ihm ja auch noch was übrig lassen. Wenn er meine Stichprobe mit

f_{6} (6) = . .

. nachvollzogen hat, wird ihm der Fehler in deinem Ansatz vielleicht selbst auffallen.

Alex9 aktiv_icon

14:42 Uhr, 26.09.2020

OMG, ich hätte bei

x > 6

automatisch die Funktion "-1" fälschlich beibehalten und habe übersehen dass

f (- x) \to

den Input auf

- 6

ändert und damit das gültige Intervall/die Funktion.

Nach

10

Jahren BWL fange ich wieder an die Grundlagen der Mathematik zu verstehen, unfassbar.

Vielen Dank Roman!

Roman-22

15:22 Uhr, 26.09.2020

>

OMG, ich hätte bei

x > 6

automatisch die Funktion "-1" fälschlich beibehalten
Ein verständlicher Fehler. Aufgelegt, sozusagen.
Aber auch damit hättest du für

f_{6} (6)

nicht das gleiche Ergebnis bekommen wie bei

f_{5} (6) = + 1

.

Vielleicht möchtest du zum Abschluss und zur Sicherheit deine Ergebnisse hier vorstellen.

Alex9 aktiv_icon

18:47 Uhr, 26.09.2020

Diese Funktionen sind doch nicht so trivial, ohne es aufzuschreiben/zeichnen.

Die y-Achsenpunkte habe ich im Excel berechnet, kann ich hier nicht einfügen.

f 5 (x)

ist gelb eingezeichnet.

pivot aktiv_icon

19:50 Uhr, 26.09.2020

Nur mal zu 2b)

Ist im ersten Abschnitt nicht

f (x - 2) = \frac{1}{2} \cdot (x - 2) + 1 = \frac{1}{2} \cdot x

Alex9 aktiv_icon

19:57 Uhr, 26.09.2020

Da würdest du meiner Ansicht nahx

f 2 (x) \in f (x)

einsetzen also umgekehrt. Aber ich kann mich auch irren.

pivot aktiv_icon

20:04 Uhr, 26.09.2020

Mir ist nicht ganz klar was du meinst mit f2(x)∈f(x)?
Ich bin aber auch kein Könner bei dem Thema.

Alex9 aktiv_icon

20:08 Uhr, 26.09.2020

Wollte schreiben

f 2 (x) \to

eingesetzt in

f (x),

dh du setzt das

(x - 2)

oben in

f (x)

ein und nicht umgekehrt.

Habe auch erst gestartet mit diesen Mathe-topics.

pivot aktiv_icon

20:18 Uhr, 26.09.2020

>>... (x−2) oben in f(x) ein und nicht umgekehrt.<<

Habe ich das nicht gemacht?

Also

f (x) = \frac{1}{2} x + 1

\Rightarrow f (x - 2) = \frac{1}{2} (x - 2) + 1 = \frac{1}{2} x - 1 + 1 = \frac{1}{2} x

Alex9 aktiv_icon

20:55 Uhr, 26.09.2020

Meine Herangehensweise war:

f (x) = 0,5 x + 1

f 2 (x) = f (x - 2) = 0,5 x + 1 - 2

Aber diese blöde Klammer macht ich stutzig, ob das nicht anders gehört?!

pivot aktiv_icon

21:12 Uhr, 26.09.2020

Meiner Meinung nach ist die Klammer richtig, also

f (x - 2)

Und jetzt setzt man mMn für

x

eben

x - 2

ein. Rechnung siehe oben.

Es ist eben

\underline{nicht}

f_{2} (x) = f (x) - 2

. In diesem Fall hättest du recht.

Alex9 aktiv_icon

21:24 Uhr, 26.09.2020

Danke, jetzt verstehe ich endlich.

"f" ist ja dieselbe Funktion, nur mit anderem Input.

LG

pivot aktiv_icon

21:29 Uhr, 26.09.2020

>>"f" ist ja dieselbe Funktion, nur mit anderem Input.<<
Richtig. Grüße zurück.

Roman-22

01:15 Uhr, 27.09.2020

> "f" ist ja dieselbe Funktion, nur mit anderem Input.

Ja. Sagen wir es mal so: Wenn du

f (a \cdot x + b)

bilden sollst, dann ersetzt du in der Definition der Funktion

f

JEDES

x

durch

a \cdot x + b

. JEDES

x

, also auch die

x

bei den Bereichsangaben!!

So wird daher zB bei 5f) (dort hast du ja ein richtiges Ergebnis angegeben im Gegensatz zu 5b) und 5d))

f_{6} (x) = f (- x) =

{\begin{array}{c} \frac{1}{2} \cdot (- x) + 1 \\ - 3 \cdot (- x) + 8 \\ - 1 \end{array} für \begin{array}{rcl} (- x) < 2 \\ 2 \leq (- x) \leq 3 \\ (- x) > 3 \end{array}

Jetzt sollte man noch aufräumen, die Ungleichungen bzw. Ungleichungsketten mit

(- 1)

multilizieren (dabei drehen sich die Ungleichheitszeichen um) und das Ganze vl auch logischer anordnen. damit meine ich, dass man nicht

- 2 \geq x \geq - 3

schreibt, sondern besser

- 3 \leq x \leq - 2

, wie du das ja auch gemacht hast. Außerdem würde ich die Reihenfolge der Funktionsterme so anordnen, dass jener für den kleinsten Abszissenbereich zuerst da steht. Also

f_{6} (x) =

{\begin{array}{c} - 1 \\ 3 x + 8 \\ - \frac{x}{2} + 1 \end{array} für \begin{array}{rcl} x < - 3 \\ - 3 \leq x \leq - 2 \\ x > - 2 \end{array}

Ganz analog solltest du auch bei b) und d) vorgehen und eben wirklich ALLE x ersetzen und dann vl noch verschönern.
Dann sollte es auch kein Problem sein, auf die richtigen Graphen zu kommen:

Alex9 aktiv_icon

01:31 Uhr, 27.09.2020

Vielen Dank!!

Habe gerade beim Zeichnen von

5 b)

gemerkt, dass das nicht stimmen kann mit den Intervallen. Muss jetzt auf nem neuen Blatt alles nochmal machen, inkl. besserer Anordnung.

Ah jetzt sehe ich eingeloggt erst diese Grafik, beeindruckend.

Muss mir auch unbedingt LaTeX, graph-plotter-Programme etc. aneignen. Alles auf dem Papier nachzeichnen, da wird man alt...

LG

Roman-22

02:33 Uhr, 27.09.2020

> Alles auf dem Papier nachzeichnen, da wird man alt...
Ja, das ist lästig. Aber man lernt auch dabei. Hättest du dir die Graphen einfach mit einem Programm plotten lassen, wäre dir das mit den falschen Intervallen möglicherweise nicht aufgeafllen.

Ich habe die Plots zwar nicht damit gemacht, aber du solltest dir mal das kostenlose GeoGebra ansehen.

Alex9 aktiv_icon

15:46 Uhr, 28.09.2020

Gestern bereits genützt, funktioniert ausgezeichnet und schnell!!

Nur die Funktionseinträge, Intervalle linksoben muss ich noch rausfinden wie ich die einblende.

Alex9 aktiv_icon

15:47 Uhr, 28.09.2020

beim Drucken als .pdf meine ich.

Roman-22

16:02 Uhr, 28.09.2020

Du kannst die Funktionsdefinition aus dem Algebrafenster einfach mit gedrückter linker Maustaste ins Grafikfenster ziehen/kopieren.
Aber du kannst auch manuell ein entsprechendes Textobjekt erstellen mit fText=FormelText(f, true, true)

"ftext" ist dabei ein beliebig gewählter Name und ich habe angenommen, dass die Funktion mit

f (x) = . .

. definiert wurde.

ALternativ kannst du bei den Eigenschaften der Funktion auch wählen, dass "Name und Wert" angezeigt werden sollen. Allerdings wird der Funktionsterm dann nicht so schön dargestellt (sondern einzeilig mit "Wenn(....)") und man kann die Position der Beschriftung leider auch nur in sehr eingeschränktem Maß ändern.

Es ist schade, dass GeoGebra nicht dokumentenorientiert ist und man nur die einzelnen Fenster drucken kann.
Für eine brauchbare Dokumentation muss man daher erst recht wieder eine Textverarbeitung anwerfen und dort jede Menge Grafiken einbinden. Sind Änderungen nötig, müssen diese erst in Geogebra vorgenommen werden und dann die jeweiligen Screenshots im Textdokument in einem zweiten Arbeitsgang entsprechend geändert werden. Kein schöner Workflow, aber einem geschenkten Gaul

. .

Alex9 aktiv_icon

16:24 Uhr, 18.10.2020

<Du kannst die Funktionsdefinition aus dem Algebrafenster einfach mit gedrückter linker Maustaste ins Grafikfenster ziehen/kopieren.>

Besten Dank! Funktioniert einwandfrei

u

. sehr übersichtlich.

LG

1514095

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