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Funktion /geometrischer Reihe/ Potenzreihe

Universität / Fachhochschule

Tags: unendliche reihen

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17:27 Uhr, 12.03.2016

Hallo

folgende Funktion ist gegeben:

$f (x) = \frac{1}{2 - 3 x}$

Zu ermitteln ist eine geeignete Potenzreihe und der dazugehörige Konvergenzradius.

Die Funktion ähnelt einer geometrischen Reihe mit $f (x) = a_{1} \cdot \frac{1}{1 - q} =$
$a_{1} \cdot \sum_{i = 0}^{\infty} q^{i} (| q | < 1,$ wodurch die Reihe absolut konvergent wird).

Somit:

$2 - 3 x = 1 - q$
$\Leftrightarrow - q = 1 - 3 x$
$\Leftrightarrow q = 3 x - 1$

$f (x) = a_{1} \cdot \sum_{i = 0}^{\infty} {(3 x - 1)}^{i} = \frac{1}{2} \cdot \sum_{i = 0}^{\infty} {(x (3 - \frac{1}{x}))}^{i} = \frac{1}{2} \cdot \sum_{i = 0}^{\infty} {(3 - \frac{1}{x})}^{i} \cdot {(x)}^{i} = \frac{1}{2} \cdot \sum_{i = 0}^{\infty} {(\frac{3 x - 1}{x})}^{i} \cdot {(x)}^{i}$

1. Fall $3 x - 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \frac{1}{3} :$

$3 x - 1 < 1$
$\Leftrightarrow x < \frac{2}{3}$

$M_{1} = [\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$

2. Fall $x < \frac{1}{3} :$

$- (3 x - 1) < 1$
$\Leftrightarrow x > 0$

$M_{2} = (0, \frac{1}{3})$

Konvergenzradius: $M_{1} ⋃ M_{2} \Rightarrow 0 < x < \frac{2}{3}$

Leider ist der Konvergenzradius sowie auch die Potenzreihe falsch, wo liegen die Fehler?

Allgemeine Fragen:
Ich beschäftige mich derzeit mit der Differenzrechnung, aber vor allem mit der Taylorentwicklung und Potenzreihen und habe diesbezüglich noch einige Fragen offen:

Oftmals interessiert man sich für die Entwicklung einer Funktion in einer Entwicklungsumgebung eines bestimmten Punktes. Aufgrund der Tatsache, dass Funktionen ziemlich komplex sein können, ist es sinnvoll, eine Annäherung durch ein Polynom zu erzielen. Dadurch lässt sich der Verlauf einer Funktion in einer gewissen Entwicklungsumgebung approximieren. Fehler (Abweichungen) in einem Intervall I $\subseteq D_{f}$ lassen sich durch das resultierende Restglied berechnen, indem jeweils die Intervallgrenzen als Argument an das Restglied übergeben werden. Dabei handelt es sich um eine Abweichung $| ε |,$ die vom Punkt $x_{0}$ zum jeweiligen x-Wert maximal auftreten kann.
Sei $p_{n} (x)$ das Annäherungspolynom an $f (x)$ an einer Stelle $x_{o} \in I$ .
Folglich gilt: Für alle $x \in I : f (x) = p_{n} (x) + R_{n} (0 < θ < 1)$ ?
Warum werden diese Polynome in Potenzreihen umgewandelt?

liebe Grüße

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Roman-22

18:19 Uhr, 12.03.2016

Alternativ: $\frac{1}{2 - 3 x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - (\frac{3}{2} x)}$

$>$ Leider ist der Konvergenzradius sowie auch die Potenzreihe falsch,
Wenn du die richtigen Lösungen kennst, warum gibst du sie hier nicht an?

$R$

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18:28 Uhr, 12.03.2016

Lösung:

$- \frac{2}{3} < x < \frac{2}{3}$

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{3}{2})}^{n} \cdot {(x)}^{n}$

Roman-22

18:29 Uhr, 12.03.2016

Das letzte "+" bezweifle ich stark und genau auf das kommst du doch leicht mit meinem Ansatz, oder?

EDIT: Sehe gerade, dass du das "+" richtigerweise auf "*" ausgebessert hast. Eine Klammer drum herum wär auch nett, da sonst trotz Laufindex $n$ nicht eindeutig ist, welche Ausdrücke summiert werden.

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18:37 Uhr, 12.03.2016

Vielen Dank Roman, wie einleuchtend..

Roman-22

19:12 Uhr, 12.03.2016

Wenns keine Rückfrage mehr gibt, Thread bitte abhaken.

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19:18 Uhr, 12.03.2016

Warum werden diese Polynome in Potenzreihen umgewandelt?

und warum muss man die $\frac{1}{2}$ vor der Summenform verwenden und keine beliebig andere Zahl?

Roman-22

19:42 Uhr, 12.03.2016

$>$ Warum werden diese Polynome in Potenzreihen umgewandelt?
??? Welche Polynome? Ein Polynom ist idR seine eigene Potenzreihe.

$>$ und warum muss man die $\frac{1}{2}$ vor der Summenform verwenden und keine beliebig andere Zahl?
?? Wovon sprichts du?
Falls du meinen Ansatz meinst, da ergibt sich der Faktor $\frac{1}{2}$ doch durch Ausklammern der 2 im Nenner.
In deinem Ansatz ist das $\frac{1}{2}$ ja falsch, da müsste dein $a_{1}$ ja 1 sein.

$R$

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19:54 Uhr, 12.03.2016

Anders gefragt, wofür benötigt man diese Potenzreihen?
Wenn man beispielsweise eine Funktion mit einem Polynom annähert, dann kann man dieses Polynom ebenfalls als Potenzreihe darstellen:

Taylorreihe:
$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{k} (x_{0})}{k!} {(x - x_{0})}^{k}$

und die Frage bzgl. $\frac{1}{2} :$
Weshalb klammert man $\frac{1}{2}$ aus und keine andere Zahl? Ergibt sich dieses $a_{0}$ (ausgegangen von der ursprünglichen Formel $a_{k} \cdot \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{1}{q - 1}),$ wobei $k$ die kleinste natürliche Zahl aus einer gegebenen Menge $M ⋂ N_{0}$ ist?

In diesem Fall folglich:
$f (0) = \frac{1}{2}$ ?

liebe Grüße

Roman-22

20:40 Uhr, 12.03.2016

$>$ Wenn man beispielsweise eine Funktion mit einem Polynom annähert, dann kann man dieses Polynom ebenfalls als Potenzreihe darstellen
Diese Polynom ist doch nur der erste Teil der Potenzreihe.
und nochmal - ein Polynom IST seine eigene Potenzreihe.

$>$ Weshalb klammert man $\frac{1}{2}$ aus und keine andere Zahl?
Du möchtest den Ausdruck auf die Form $a_{1} \cdot \frac{1}{1 - q}$ bringen, also ergibt sich das von selbst.
Anderes Beispiel:

$\frac{7}{5 - 8 x} = 7 \cdot \frac{1}{5 - 8 x} = (⋆)$
Hurra, jetzt haben wir wie gewünscht die 1 im Zähler, jetzt hätten wir gerne noch anstelle der 5 eine 1
$(⋆) = 7 \cdot \frac{1}{5 \cdot (1 - \frac{8}{5} x)} = \frac{7}{5} \cdot \frac{1}{1 - (\frac{8}{5} x)}$
und fertig. $a_{1} = \frac{7}{5}$ und $q = \frac{8}{5} x$ .

$R$

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20:59 Uhr, 12.03.2016

Okay, alles verstanden, danke.

Nur noch die Frage, wozu die Potenzreihen sinnvoll sind.
Um den Konvergenzbereich zu bestimmen?

Lg

Roman-22

21:18 Uhr, 12.03.2016

$>$ Nur noch die Frage, wozu die Potenzreihen sinnvoll sind.
$>$ Um den Konvergenzbereich zu bestimmen?

Nein, der Sinn von Potenzreihen besteht sicher nicht darin, den Konvergenzbereich zu bestimmen, denn ohne Potenzreihe kein Konvergenzbereich.

Eine Potenzreihe stellt eine Funktion dar (sie nähert sie nicht nur, sie IST die Funktion). Allerdings sehr oft nicht für alle $x \in ℝ$ sondern nur für einen bestimmten Bereich von x-Werten. Diesen Konvergenzbereich zu ermitteln ist wesentlich, da man nur innerhalb dieses Bereichs die Potenzreihe anstelle der Originalfunktion verwenden kann/darf. Außerhalb dieses Bereichs hat die Potenzreihe mit der Funktion nichts mehr zu tun.

Anwendungen sind vielfältig. Klassiker ist natürlich die Näherung der Orgiginalfunktion durch eine einfacher handhabbare ganzrationale Funktion (Polynomfunktion). Dazu wird einfach nach einem Glied der Potenzreihe abgebrochen. Der Teil, der da "hinten" weggelassen wird, ist das Restglied und natürlich ist es interessant, für dieses zumindest eine Größenabschätzung nach oben zu haben, denn damit weiß man, wie ungenau die Näherung maximal ist.

Eine andere Anwendung kann zB sein, eine Integration durchzuführen, indem man den Integranden oder Teile davon in eine Potenzreihe entwickelt.

Andere mögliche Anwendungsgebiete sind etwa das Bestimmen von Grenzwerten oder auch bei der Lösung von Differntialgleichungen.

$R$

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21:31 Uhr, 12.03.2016

Vielen Dank!

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