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Funktion in Potenzreihe entwickeln

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Funktionentheorie

Komplexe Analysis

Tags: Folgen und Reihen, Funktionentheorie, Komplexe Analysis

gogoman

19:24 Uhr, 19.11.2019

Hallo

Ich soll die Funktion in eine Potenzreihe umschreiben um

z_{0}

f (z) = \frac{1}{z}

Ich kenne den Potenzreihenentwicklungssatz
jedoch weiß ich nicht wie genau ich das

a_{n}

berechne.

also

a_{n} = \frac{1}{2 π i} \int_{| z - z_{0} | = r} \frac{f (z)}{{(z - z_{0})}^{n + 1}} d z

und dann ist

f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(z - z_{0})}^{n}

Bei mir ist ja

f (z) = \frac{1}{z}

und das würde ich dann einfach in

a_{n}

einsetzen dann erhalte ich

a_{n} = \frac{1}{2 π i} \int_{| z | = r} \frac{1}{z \cdot {(z - z_{0})}^{n + 1}} d z

und weiter weiß ich nicht. Danke im voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

HAL9000

20:45 Uhr, 19.11.2019

Zu ergänzen wäre wohl die Voraussetzung

z_{0} \neq 0

, denn im Fall

z_{0} = 0

existiert diese geforderte Potenzreihe gar nicht!

Dann ist per geometrischer Reihe

f (z) = \frac{1}{z_{0} + (z - z_{0})} = \frac{1}{z_{0}} \cdot \frac{1}{1 - (- \frac{1}{z_{0}}) (z - z_{0})} = \frac{1}{z_{0}} \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} {(- \frac{1}{z_{0}})}^{n} {(z - z_{0})}^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{z_{0}^{n + 1}} \cdot {(z - z_{0})}^{n}

,

gültig für alle

z

mit

∣ z - z_{0} ∣ < ∣ z_{0} ∣

gogoman

21:06 Uhr, 19.11.2019

Vielen Vielen Dank

Darauf bin ich auch gerade mit der Cauchyschen Integralformel gekommen aber mich hat es ebenfalls verwirrt das nichts zu

z_{0}

angegeben wurde. Ich werde das dann auch aufschrieben wie die Reihe dafür nicht existiert.

Danke nochmal. Auf den Trick mit der geometrischen Reihe wäre ich nicht gekommen.

gogoman

21:24 Uhr, 19.11.2019

Die Frage ich jetzt natürlich beantwortet.

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