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Funktion in Potenzreihe umwandeln

Universität / Fachhochschule

Tags: Potenzreihe

schalkeboy aktiv_icon

20:38 Uhr, 18.11.2015

Muss die folgende Funktion in eine Potenzreihe umwandeln

f (x) = \frac{1}{(x - 1) (x - 2)}

Ich will erst einmal ein allgemeinen Ausdruck für

f^{(n)} (x)

finden, was mir aber nicht gelingt.

Ich habe mal die ersten 3 Ableitungen gemacht:

f^{1} (x) = - \frac{2 x - 3}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}

f^{2} (x) = \frac{2 \cdot {(2 x - 3)}^{2}}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{3}} - \frac{2}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}

f^{3} (x) = \frac{- 6 \cdot {(2 x - 3)}^{3}}{{(x^{2} - 3 x + 4)}^{4}} + \frac{12 \cdot (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{3}}

f^{n} (x) =

???

Ich sehe bei den ersten 3 ableitungen teilweise zusammenhänge.
ich sehe

z . b

dass im ersten term folgendes gilt:

(für gerade

n)

\frac{n! \cdot {(2 x - 3)}^{n}}{{(x^{2} - 3 x + 4)}^{n + 1}}

(für ungerade

n)

\frac{- (n!) \cdot {(2 x - 3)}^{n}}{{(x^{2} - 3 x + 4)}^{n + 1}}

aber ein zusammenhang im 2. term der ableitungen find ich nicht.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

michaL aktiv_icon

20:44 Uhr, 18.11.2015

Hallo,

mache eine Partialbruchzerlegung!

www.google.de/?gws_rd=ssl#q=partialbruchzerlegung

Mfg Michael

schalkeboy aktiv_icon

20:47 Uhr, 18.11.2015

also du meinst ich soll die funktion in so eine Form bringen:

f (x) = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2}

und dann einen allgemeinen Ausdruck für

f^{n} (x)

finden oder?

schalkeboy aktiv_icon

21:21 Uhr, 18.11.2015

Habe es mit der Partialbruchzerlegung gemacht und ich erhalte 2 Potenzreihen:

1)

Gerade

n

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} (1 + {(- 2)}^{- (n + 1)}) \cdot x^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} (1 - \frac{1}{2^{n + 1}}) \cdot x^{n}

2)

ungerade

n

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} (1 - {(- 2)}^{- (n + 1)}) \cdot x^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} (1 + \frac{1}{2^{n + 1}}) \cdot x^{n}

stimmt das so?

abakus

22:30 Uhr, 18.11.2015

Auf alle Fälle ist der Term

\frac{1}{(x - 1) (x - 2)}

die Differenz

\frac{1}{(x - 2)} - \frac{1}{(x - 1)} = \frac{1}{(x - 2)} + \frac{1}{(1 - x)}

.
Der hintere Summand lässt sich direkt als Potenzreihe schreiben; vorn sollte man noch etwas anpassen.

schalkeboy aktiv_icon

22:35 Uhr, 18.11.2015

die Partialbruchzerlegung habe ich hinbekommen, dann habe ich 2 allgemeine

f^{n} (x)

festgelegt. also einmal für gerade

n

und einmal für ungerade

n

.

ich denke die reihen müssten so passen, theoretisch muss ich ja hier 2 potenzreihen machen oder? eine reicht ja nicht.

abakus

22:57 Uhr, 18.11.2015

Hallo,
deine Reihen sehen unnötig kompliziert aus, und das Bilden von Ableitungen ist völlig überflüssig.
Es gilt nach Summenformel der geometrischen Reihe

\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + . . .

, was eine viel einfachere Summe ergibt als das, was du schreibst.

\frac{1}{x - 2}

kann man umschreiben in

- 0, 5 \cdot \frac{1}{1 - \frac{x}{2}}

, was letztendlich

- 0, 5 \cdot (1 + \frac{x}{2} + (\frac{x}{2})^{2} + (\frac{x}{2})^{3} + . . . .)

ergibt.
Das Ganze funktioniert natürlich nur innerhalb des Konvergenzradius BEIDER Reihen.

schalkeboy aktiv_icon

23:13 Uhr, 18.11.2015

verstehe, mit der geometrischen reihe macht es mehr sinn.

f (x) = \frac{1}{1 - x} + \frac{1}{x - 2}

f (x) = \frac{1}{1 - x} - 0,5 \cdot \frac{1}{1 - (\frac{x}{2})}

so jetzt schreib ich beide Terme in die geometrische reihe um:

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} - \frac{1}{2} \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{x}{2})}^{n}

passt es dann so?

Mathe45

08:03 Uhr, 19.11.2015

\frac{1}{(x - 2) \cdot (x - 1)} = \frac{1}{- 2 + x} + \frac{1}{1 - x}

Polynomdivision

1 : (- 2 + x) = - \frac{1}{2} - \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{8} - ... = \sum_{n = 0}^{\infty} - \frac{x^{n}}{2^{n + 1}}

1 : (1 - x) = 1 + x + x^{2} + ... = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}

\frac{1}{(x - 2) \cdot (x - 1)} = \sum_{n = 0}^{\infty} - \frac{x^{n}}{2^{n + 1}} + \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} \cdot (1 - \frac{1}{2^{n + 1}})

schalkeboy aktiv_icon

13:32 Uhr, 19.11.2015

Dankeschön.

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