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Funktion in ihrer Fourier-Reihe entw.

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Entwickeln, Folgen und Reihen, Fourie Transformation, fourier, Fourier analyse

eddy1237 aktiv_icon

16:08 Uhr, 15.12.2017

Hi!

Ich tue mir gerade irgendwie sehr schwer die Fourier Reihen zu verstehen und brauche unbedingt Hilfe!
Ich habe schon paar Skripte und und Lehrbücher über die Fourier-Entwicklung/Analyse angeschaut und jedoch werde nur die basics erklärt und die Beispiele viel zu knapp dargestellt.

Kann mir Jemand bitte einer Sagen, wie man da so step for step vor geht? Ich weiß, es gibt hier bestimmt kein Kochrezept dafür, aber ich brauche jedenfalls einen Leitfaden dafür, wie ich ungefähr vorgehen soll....

Ich habe hier zum Beispiel eine Aufgabe aus meiner letzen Klausur, mit der ich nichts anfangen konnte und ausgelassen habe:

Entwickeln Sie die Funktion

f (x) := 3 {cos}^{2} (π x + \frac{π}{2}) + 1

definiert auf

[0,2]

in ihrer Fourier-Reihe

F (x) = \frac{a_{0}}{2} + a_{1} cos (π x) + b_{1} sin (π x) + a_{2} cos (2 π x) + b_{2} sin (2 π x) + . .

.

Hinweis:

2 {cos}^{2} (x) = 1 + cos (2 x), x \in R

Welche minimale Periode

P_{min}

besitzt F?

Gilt

f (x) = F (x)

für alle

x \in [0,2]

? Begründen Sie Ihre Antwort.

Gruß Eddy

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

ledum aktiv_icon

16:47 Uhr, 15.12.2017

Hallo
1. die Fourrierrihe für sind ist

sin (x),

die für cos(rx) ist cos(rx) da muss man gar nichts mehr machen, wenn sie in ihren Perioden gegeben sind.
du hast schon die richtige Formel um deinen

{cos}^{2} \in cos

zu verwandeln. Ausserdem

cos (a + π) = - cos (a)

und jetzt musst du gar keine Fourrierreihe mehr durch Integration finden.
wenn du nicht gerade schon sin oder

cos

Funktionen hast ist das einfache Rezept einfach in die für Fourrierreihen gegebenen Integrale ausrechen

eddy1237 aktiv_icon

18:29 Uhr, 15.12.2017

Danke für deine schnelle Antwort ledum!
Ok nach etwas umformen:

f (x) := 3 {cos}^{2} (π x + \frac{π}{2}) + 1

mit

2 {cos}^{2} (x) = 1 + cos (2 x)

\Rightarrow \frac{3}{2} (1 - cos (2 π x)) + 1

erhalte ich

= \frac{5}{2} - \frac{3}{2} cos (2 π x);

Wie schließt sich denn nun genau die Gestallt der Fourier Reihe?

Etwa (a)

F (x) = \frac{5}{2} \sum_{n = 0}^{\infty} - \frac{3}{2} cos (2 π x)

?

oder einfach (b)

F (x) = \frac{5}{2} - \frac{3}{2} cos (2 π x);

für

x \in [0,2]

oder ist beides richtig?

Gruß Eddy

ledum aktiv_icon

20:26 Uhr, 15.12.2017

Hallo
1. kannst du selbst mal überlegen, was

\frac{5}{2} \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} cos (2 π i \cdot x)

bedeuten würde?

z . B

für

x = 0

?
2. plotte doch mal die gegebene Funktion und dein

F (x)

Gruß ledum

eddy1237 aktiv_icon

17:50 Uhr, 20.12.2017

Hi!

Also Ich habe nun

F (x)

geplottet und meines Erachtens wäre die Intervallangabe

[0,2]

nicht sinnvoll, da die Funktion für

x = 0

eine Sinusfunktion ist. Also etwas Anderes kann ich mir nicht vorstellen für

F (x) = \frac{5}{2} + \frac{3}{2} cos (2 π x + π)

.

Und gilt eigentlich

f (x) = F (x)

für alle

x \in [0,2]

?

Und eine weitere Frage:
Wie berechne ich den Klirrfaktor von

F

bezüglich der Grundfrequenz

\frac{2 π}{P_{min}}

P_{min}

ist ja

1 π

wegen

P_{min} = \frac{2 π}{b}; b

aus:

a \cdot cos (b \cdot x + c)

P_{min} = \frac{2 π}{2 π} = 1

Gruß Eddy

ledum aktiv_icon

17:59 Uhr, 21.12.2017

Die Funktion ist nicht nur für

x = 0

eine sin Fkt. sondern es ist eine sin funktion, deshalb solltest du die Reihe auch nicht als verschobenen

cos

Funktion aufschreiben, sondern eben als sin Fkt.
und wenn sie auch schon auf

(0,1)

definiert ist, ist sie auch auf

(0,2)

definiert! da sie ja 1 periodisch ist.
Gruß ledum

eddy1237 aktiv_icon

16:45 Uhr, 19.01.2018

Tut mir leid wenn ich jetzt so dumm frage...

Wie schaut die Funktion

F (x) = \frac{5}{2} - \frac{3}{2} cos (2 π x)

als fertige Fourierreihe aus?
Sie muss doch auch als Summe angegeben werden, oder?

Gruß Eddy

Roman-22

17:47 Uhr, 19.01.2018

>

Sie muss doch auch als Summe angegeben werden, oder?
Nein, muss sie nicht.
Diese Klausuraufgabe war doch nur ein Test, ob du grundsätzlich verstanden hast, was bei der Fourier-Reihe eigentlich passiert. Nämlich dass man hier ein periodisches Signal in eine (meist unendliche) Summe von Schwingungen (mit immer kleiner werdender Frequenz) umwandelt.
Wenn man das verstanden hat, ist einem auch klar, dass eine Schwingung selbst natürlich immer ihre eigene Fourier-Reihe ist und diese dann eben nur aus dieser Grundschwingung besteht und keinerlei weitere Oberschwingungen dazu kommen.
Eine Schwingung ist eben schon eine Schwingung, was soll man da noch umwandeln.

In deiner Angabe wird die Reihe ja auch nicht mit dem Summenzeichen beschrieben sondern aufzählend und dann mit

+ ...

.
Du hörst dann eben auf zu schreiben, wenn nix mehr kommt.

F (x) = \frac{5}{2} - \frac{3}{2} \cdot cos (2 π x)

IST bereits das, was verlangt ist. Das Beispiel hat keine Rechnung oder Kenntnisse der Formeln verlangt, sondern nur grundlegendes Verständnis.

Genauso beim Klirrfaktor. Der Gleichanteil

\frac{5}{2}

spielt da keine Rolle und sonst gibt es nur die Grundschwingung mit der Frequenz

ω = 2 π

. Es gibt keine Oberschwingungen. Es ist eine reine, saubere Schwingung und daher ist der Klirrfaktor natürlich Null!

eddy1237 aktiv_icon

18:01 Uhr, 19.01.2018

Wow, jetzt wird mir einiges Klar!

Ich danke dir vielmals Roman!

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