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Funktion mit 2 Punkten bestimmen.

Schüler Gesamtschule, 12. Klassenstufe

Tags: Abitur, Analysis, Differentialrechnung, Funktion, Mathematik

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00:16 Uhr, 13.08.2014

So

nun habe ich eine Aufgabe zum berechnen einer ganzrationalen Funktion 3. Grades mit zwei vorgegeben Punkten.

Aufgabe:

Der Graph der ganzrationalen Funktion dritten Grades

f

hat im Punkt

P (2 | 5)

eine waagerechte Tangente und im Punkt

Q (1 | 3)

einen Wendepunkt. Bestimme die ganzrationale Funktion

f

. Auf eine Probe darf verzichtet werden.

Also zu Beginn erst einmal die Ableitungen aufschreiben:

f (x) =

ax^3

+

bx^2

+

+ d

f' (x) =

3ax^2

+

2bx

+ c

f'' (x) =

6ax

+ 2 b

Ich habe 4 Variablen vorliegen. Das bedeutet ich benötige auch 4 Bedingungen.

Wie erhalte ich aus diesen zwei gegebenen Punkten insgesamt 4 Bedingungen?

Danke für eure Hilfe

Liebe Grüße
Serienjunkie96

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Ma-Ma aktiv_icon

00:23 Uhr, 13.08.2014

Ist es nicht ein bissl spät für Dich ?

Die ersten zwei Bedingungen kannst Du einfach aus den Punktkoordinaten ablesen

. .

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00:25 Uhr, 13.08.2014

Für mich ist es nicht zu spät :-)
Aber wir können die morgen machen. Wollte die Frage nur schonmal stellen.

f (2) = 5

f (1) = 3

Ma-Ma aktiv_icon

00:30 Uhr, 13.08.2014

Aha, Du bist also auch eine Nachteule

...

- - - - - - - - - - - - -

Die ersten beiden Bedingungen passen.

Jetzt ist Dein Kopf gefragt.
"im Punkt

P (2 | 5)

eine waagerechte Tangente "

Waagerechte Tangenten hat man

z . B

. bei Extremwerten

. .

. dort ist die Steigung derTangente=0

III)

f' (2) = ...

. ?

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00:33 Uhr, 13.08.2014

vielleicht

III.)

f' (2) = 0

Ma-Ma aktiv_icon

00:36 Uhr, 13.08.2014

Okay, ist gebongt.

- - - - - - - - - - - - -

"im Punkt

Q (1 | 3)

einen Wendepunkt. "
Hast Du da auch noch eine Idee ?
Tipp: Notwendige Bedingung für Wendepunkt.

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00:39 Uhr, 13.08.2014

Notwendige Bedingung für einen Wendepunkt lautet ja:

f'' (x) = 0

f''' (x)

ungleich 0

also müsste es doch theoretisch so sein:

f'' (1) = 0

oder lieg ich falsch?

Ma-Ma aktiv_icon

00:44 Uhr, 13.08.2014

f'' (1) = 0

Jepp, das war´s, Kopf kann man fast ausschalten

. .

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

f (2) = 5

II)

f (1) = 3

III)

f' (2) = 0

IV)

f'' (1) = 0

- - - - - - - - - - - - - - - - -

Ab nun wird´s langweilig

. .

1)

Gleichugen aufschreiben

2)

ausrechnen

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00:46 Uhr, 13.08.2014

Okay super :-) Danke

dann mach ich das morgen und geh doch jetzt schlafen. Morgen gehts weiter :-)

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10:18 Uhr, 13.08.2014

8 a + 4 b + 2 c + d = 5

II)

a + b + c + d = 3

III)

12 a + 4 b + c = 0

IV)

6 a + 2 b = 0

also kann man doch sagen, das

d = 5

und

c = 0

ist oder??
oder ist das zu früh?

Stephan4

11:43 Uhr, 13.08.2014

Aufgaben dieser Art kann man hier
http//www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm
auf Knopfdruck rechnen lassen.

Dein Lösungsansatz scheint zu stimmen.

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13:12 Uhr, 13.08.2014

Und was mach ich jetzt?

Ma-Ma aktiv_icon

13:16 Uhr, 13.08.2014

Hallo, ich bin gerade on und schaue mir mal Deine Gleichungen an. Moment bitte.
LG Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

13:22 Uhr, 13.08.2014

Die Gleichungen stimmen.

Jetzt werden wir nacheinander die Anzahl der Variablen reduzieren.

- - - - - - - -

Zuerst würde ich

d

eliminieren,

z . B

V) = I) -

II)
(Die Bezeichnung

V)

...(römisch

5)

habe ich eingeführt, damit es nachher übersichtlicher bleibt.)

- - - - - - -

Danach schauen wir uns

V)

und III) an und eliminieren die Variable

c

- - - - - - -

Mach mal

. .

00Student00 aktiv_icon

13:29 Uhr, 13.08.2014

Hey :-)

- - - - - - -

8 a + 4 b + 2 c + d = 5

II)

a + b + c + d = 3

\Rightarrow 7 a + 3 b + c = 2

III)

12 a + 4 b + c = 0

V) 7 a + 3 b + c = 2

\Rightarrow 5 a + b = - 2

- - - - - -

sollte ich

V)

von III) abziehen? oder III) von

V)

?
Ich habe jetzt einfach mal III-V gemacht

Ma-Ma aktiv_icon

13:35 Uhr, 13.08.2014

Sieht super aus.

Es ist egal, ob I)-II) oder II)-I).
Ebenso egal, ob III)

- V)

oder V)-III).
Wichtig, die Vorzeichen müssen stimmen.

Nun hast Du

5 a + b = - 2

Jetzt kommt noch die IV) ins Spiel.
Eventl. zuerst IV):2 rechnen

...

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13:42 Uhr, 13.08.2014

Gut :-)

- - - - -

IV)

6 a + 2 b = 0 | : 2

(damit ich

b

erliminiere)

3 a + b = 0

V) 5 a + b = - 2

5 a + b = - 2

3 a + b = 0

\Rightarrow 2 a = - 2

Nun könnte man die Variable a bestimmen:

2 a = - 2 | : 2

a = - 1

Ma-Ma aktiv_icon

13:46 Uhr, 13.08.2014

Hast Du sehr schön gemacht! Und auch sehr übersichtlich gearbeitet. Großes Lob!

Ja, ich habe auch

a = - 1

Nun

b, c

und

d

bestimmen.

Zum Schluss PROBE. Könntest

z . B

Q (1 | 3)

in die entstande Funktionsgleichung einsetzen und prüfen, ob´s passt.

00Student00 aktiv_icon

13:59 Uhr, 13.08.2014

Dankeschön :-)

- - - - - -

a = - 1

Nun bestimme ich die Variable

b

indem ich die zuvor ermittelte Variable

a = - 1

in die IV) Gleichung einsetze:

IV)

6 a + 2 b = 0

6 \cdot (- 1) + 2 b = 0

- 6 + 2 b = 0 | + 6

2 b = 6 | : 2

b = 3

Damit hätte ich nun zwei Variablen ermittelt:

a = - 1; b = 3

Nun setze ich diese beiden Variablen in die III) Gleichung ein:

III)

12 a + 4 b + c = 0

(12 \cdot (- 1)) + (4 \cdot 3) + c = 0

- 12 + 12 + c = 0 | + 12

12 + c = 12 | - 12

c = 0

Nun habe ich auch die 3. Variable ermittelt.

Um nun auch die letzte Variable erfolgreich zu ermitteln setze ich die nun bekannten Variablen in die II) Gleichung ein:

II)

a + b + c + d = 3

- 1 + 3 + 0 + d = 3 | + 1

3 + 0 + d = 4 | - 3

d = 1

Damit hätte ich alle variablen ermittelt:

a = - 1

b = 3

c = 0

d = 1

Die Funktion lautet:

f (x) = - 1 x^{3} + 3 x^{2} + 1

Probe:

f (1) = - 1 \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} + 1

f (1) = 3

Der Punkt

Q (1 | 3)

wurde bestätigt und die Funktion ist richtig :-)

- - - - - -

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14:02 Uhr, 13.08.2014

Der folgende Graph bestäigt die Punkte ebenfalls

Ma-Ma aktiv_icon

14:04 Uhr, 13.08.2014

Alles perfekt.

Bei dieser Aufgabe hatten wir nicht so eine schöne Bedingung, wo wir

x = 0

einsetzen konnten und somit schnell zum Ziel kamen.

Hier musste man step-by-step die Anzahl der Variablen reduzieren.
Ich nehme an, dieses Prinzip hast Du jetzt auch verstanden und kannst es das nächste Mal anwenden.

Zudem hast Du sehr sauber und übersichtlich gearbeitet. Das vereinfacht das Lösungsvorgehen erheblich. Freue mich, dass Du meinen Rat so gut umgesetzt hast.

LG Ma-Ma

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14:09 Uhr, 13.08.2014

Ja das ist mir auch aufgefallen.
Zu Beginn dachte ich ja das ich

c

und

d

direkt bestimmen konnte. Hinterher ist mir aber aufgefallen, dass es nicht ging.
Vielen Dank für deine Unterstützung.
Ich hoffe ich kann das jetzt bei weiteren Aufgaben erfolgreich umsetzen.

LG Serienjunkie96

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14:09 Uhr, 13.08.2014

Ja das ist mir auch aufgefallen.
Zu Beginn dachte ich ja das ich

c

und

d

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