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Funktion mit 3 Variablen im Raum darstellen

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maurice05 aktiv_icon

13:37 Uhr, 20.09.2014

Hey Zusammen

Beim Lösen der Aufgaben bin ich nicht weitergekommen. Die Aufgabe ist:

Die implizite Darstellung einer Funktion von zwei Variablen sei

x^{2}

−

\frac{y^{2}}{4} + z^{2} = 0,

wobei

y

≥ 0. Berechnen Sie die Schnittkurven der durch diese Funktionsgleichung
definierten Fläche mit den Koordinatenebenen und skizzieren Sie den Graphen dieser
Funktionsgleichung. Benützen Sie die Rotationssymmetrie der Fläche.

Als erstes habe ich mal umgestellt:

\sqrt{\frac{y^{2}}{4} - x^{2}} = z

Doch jetzt habe ich bereits Probleme mit der Schnittkurve.
ich würde bei der Schnittkurve für die X-Achse das

x

mit einer konstanten a ersetzen aber weiss nicht ob es dan schon die Lösung ist ?

\sqrt{\frac{y^{2}}{4} - a^{2}} = z

Bei der Skizzierung mittel Rotationssymmetrie weiss ich nicht mehr weiter könnte mir da jemand einen Ansatz geben wie man das lösen könnte ?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

anonymous

14:09 Uhr, 20.09.2014

Ein Tip:
Der Aufgabensteller spricht im Plural (Mehrzahl).
Er spricht von

>

"die Schnittkurven"

>

"den Koordinatenebenen".

Wie viele Koordinatenebenen gibt es?
Wie viele Schnittkurven gibt es?
Welcher mathematische Zusammenhang gilt für die Koordinatenebenen?
Wenn du das recht zu Papier bringst, ich wette, das hilft dir zur Lösung der Aufgabe.

maurice05 aktiv_icon

14:44 Uhr, 20.09.2014

Nun ich denke es geht darum eine Gleichung pro Schnittkurve zu erstellen für alle Koordinatenebenen.
dan wären dies

\sqrt{\frac{y^{2}}{4} - a^{2}} = z

\sqrt{\frac{b^{2}}{4} - x^{2}} = z

\sqrt{\frac{y^{2}}{4} - x^{2}} = c

Stimmt das ? aber dies würde mir auch nicht weiterhelfen.

anonymous

15:08 Uhr, 20.09.2014

Hallo
Mein erster Ansatz war, die Aufgabenstellung so zu verstehen, dass unter "Koordinatenebenen" eigentlich nur 3 Ebenen zu verstehen sind, nämlich:

>

die x-y-Ebene, also:

z = 0,

>

die y-z-Ebene, also:

x = 0,

>

die z-x-Ebene, also:

y = 0

.

Aus deinen 'a,b,c'-Andeutungen wage ich zu erahnen, dass du auch Parallelen dieser Ebenen betrachten willst (vielleicht auch sollst), nämlich:

>

eine Parallele zur x-y-Ebene unter:

z = c,

>

eine Parallele zur y-z-Ebene unter:

x = a,

>

eine Parallele zur z-x-Ebene unter:

y = b

.

Falls ja, oder wie auch immer:
Ja, mit

\sqrt{\frac{y^{2}}{4} - a^{2}} = z

bist du schon nahe am Ende.
Du kannst das als

z = z (y) = \sqrt{\frac{y^{2}}{4} - a^{2}}

Funktion verstehen, und direkt in ein z-y-Diagramm einzeichnen.

rundblick aktiv_icon

16:03 Uhr, 20.09.2014

"
Die implizite Darstellung einer Funktion von zwei Variablen sei

x^{2}

−

\frac{y^{2}}{4} + z^{2} = 0

"

1.

\to

das sieht mir eher nach drei Variablen aus?

2.

\to

die Idee mit der Quadratwurzel scheint mir nicht optimal..

3.

\to

Beispiel:
für konstantes

y = b \geq 0

(also für Parallelebenen zur Seitenrisstafel (x-z-Ebene)
bekommst du wohlbekannte Schnittkurven

\to x^{2} + z^{2} = r^{2} . .

. mit

r = \frac{b}{2}

(Tipp : sieht sehr rund aus..)

4.
Für

x

oder

z

konstant bekommst du in den entsprechenden Ebenen als Schnittkurven
wunderschöne Hyperbeln (deren genaue Beschreibung dir überlassen bleibe..)

5.
ach ja:
vergiss nicht die Sonderfälle der Schnittkurven zu betrachten.. (falls

a, b,

oder

c

gleich

0)

alles klar?

maurice05 aktiv_icon

17:30 Uhr, 20.09.2014

Vielen dank sehe nun wie und in welche richtung es geht :-)

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