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Funktion mit vorgegebenen Eigenschaften

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Anwendungsaufgabe

LenaB aktiv_icon

21:09 Uhr, 03.05.2009

Hey:-):-)

Alsoooo ich habe nochmal eine ganz schön blöde Aufgabe... Ich verstehe wirklich nichts, deswegen kann ich auch keinen Lösungsansatz zeigen....

Zwei Straßenenden sind durch Halbgerade

y = 0

für

x \leq 1

und

x \geq 3

gegeben. Sie sollen durch einen Übergangsbogen miteinander verbunden werden. Der Einfachheit wegen soll dieser Bogen der graph einer ganzrationalen Funktion

f

mit möglichst kleinem Grund sein.

a)

Der Graph von

f

soll an den Anschlusstellen die Steigung 0 haben. Bestimme

f (x)

b) f

soll an den Anschlussstellen in der ersten und in der zweiten Ableitung mit den Halbgeraden übereinstimmen. Bestimme

f (x) ...

.

sooo ich habe wirklich keinen schimmer wie ich das rechnen soll... wenn jemand einen Vorschlag hat wäre ich sehr dankbar;-);-);-)

lg lena

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

pleindespoir aktiv_icon

22:48 Uhr, 03.05.2009

Aufgabe unvollständig.
was ist mit y ab x=3 ?

Edddi aktiv_icon

10:51 Uhr, 04.05.2009

...mal seh'n ob ich die Aufgabe richtig verstanden habe, aber wenn ja gibt es unendlich viele Lösungen.

Du willst also zw. 1 und 3 auf der X-Achse einen Bogen einer ganzr. Funktion...richtig?.

Dafür verschiebe ich die Punkte mal um 2 nach links auf der X-Achse.

Jetzt brauch' ich eine Funktion zw.

- 1

und

1,

die deine Bedingungen erfüllt.

Hier eignet sich eine "GERADE" Funktion 4. Grades bestens.
Da du ja eine Funktion geringsten Grades wählen sollst, kannst du ja mal überlegen:

x^{1}

entfällt - ist nämlich kein Bogen!

x^{2}

entfällt, da keine Wendepunkt

x^{3}

entfällt auch, da nur ein Wendepunkt, wir brauchen aber 2 konvexe oder konkave Bögen, und damit auch mindestens 2 Wendestellen.
...bleibt nur Funktion 4. Grades.

Diese Funktion muss gerade sein, so hat sie den Vorteil, achsensymmetrisch zu

Y

zu sein.

Also brauchen wir eine Funktion der Form:

y = a \cdot x^{4} + b \cdot x^{2} + c

Jetzt schaun' wir mal nach unseren Bedingungen

y (- 1)

und

y (1)

müssen 0 sein, damit:

a + b + c = 0

y' (- 1) = y' (1) = 0,

damit:

4 a + 2 b = 0

so ist:

a = - \frac{b}{2}

und dies eingesetzt in

a + b + c = 0

ergibt:

- \frac{b}{2} + b + c = 0

\frac{b}{2} = - c

und somit:

b = - 2 \cdot c

dies wieder in

a = - \frac{b}{2}

ergibt:

a = c

...es war zu erwarten, das 2 Gleichungen und 3 Unbekannte nur Lösungen mit Abhängigkeiten bieten.

In unserem Fall haben wir jetzt in Abhängigkeit von

c,

und dieses

C

stellt die Höhe des Bogens dar, weil

y (0) = c .

Wir haben also als Funktion für den Bogen:

y = c \cdot x^{4} - 2 \cdot c \cdot x^{2} + c = c \cdot (x^{4} - 2 \cdot x^{2} + 1)

...Jetzt dürfen wir nicht vergessen, diese Funktion wieder zurück zu schieben (Verschiebung um 2 nach rechts auf der X-Achse)

Das machen wir mit:

y (x) \to y (x - 2)

y = c \cdot ({(x - 2)}^{4} - 2 \cdot {(x - 2)}^{2} + 1)

y = c \cdot (x^{4} - 8 \cdot x^{3} + 22 \cdot x^{2} - 24 \cdot x + 9) = c \cdot {({(x - 2)}^{2} - 1)}^{2}

...hab's ausprobiert...funktioniert gut...und mittels

c

bestimmst du die Höhe des Bogens.

:-)

pleindespoir aktiv_icon

15:00 Uhr, 04.05.2009

Also ich habe die Aufgabe nicht verstanden - gibt es eine Skizze dazu vielleicht?

Edddi aktiv_icon

15:10 Uhr, 04.05.2009

interessant ist nur das Stück zw. 1 und 3 auf

Y = 0,

da das zwischen die beiden Linien

y = 0

für

x \leq 1

x \geq 3

eingesetzt werden soll, ohne einen Knick im Übergang zu bekommen. (Darum die Bedingung, das die Ableitung an diesen beiden Punkten

= 0

sein soll)

Stell's die wie im Straßenbau vor. Gerade Straße von links, gerade Straße von rechts...und in der Mitte ist ein Hinderniss.
Also kannst du nicht einfach einen Halbkreis ransetzen (wg. Knick)...

:-)

pleindespoir aktiv_icon

15:21 Uhr, 04.05.2009

Achsoooooo.....

Ich konnte mir nicht vorstellen, wieso man zwei Strecken, die auf einer Geraden liegen, mit einem Bogen verbinden sollte...

übrigens steht da noch was von wegen möglichst kleinem Grund - ist da der Polynomgrad der Funktion oder die beanspruchte Fläche der Umgehung gemeint ?

Falls b, dann könnte man ja schon konkreter die lösung bestimmen, oder?

Edddi aktiv_icon

15:31 Uhr, 04.05.2009

...ja mei...was auch immer gemeint ist...

So richtig 100%-ig hab' ich's ja auch nicht verstanden...ich hab' einfach eine Lösung für das was ich verstanden hab' hingeschrieben...

Vielleicht kann sich ja der Fragesteller das eine oder andere rauspicken, was er gebrauchen kann.

:-)

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