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Funktion n-mal differenzierbar

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Mittelwertsatz, n-mal-differenzierbar

MaStudent aktiv_icon

20:05 Uhr, 10.09.2014

Huhu,

ich wühle mich ja für gewöhnlich (gerade in der Mathematik) gerne selbst durch Probleme, deren Lösungen mir nicht direkt einfallen mögen. Doch irgendwie stehe ich bei folgender Aufgabe total auf dem Schlauch:

Es sei

f : [a, b] \to ℝ

eine n-mal differenzierbare Funktion mit

(n + 1)

Nullstellen. Zeigen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass mindestens ein

y \in] a, b [

mit

f^{(n)} (y) = 0

existiert.

Wie genau gehe ich damit um? Ich habe glaube ich extrem selten (oder noch gar nicht?) mit Funktionen zu tun gehabt, wo genannt wird, dass sie n-mal differenzierbar ist, weshalb mir irgendwie der Startpunkt für diese Aufgabe fehlt, auch wenn sie evtl. total simpel ist.

Danke für Hilfe im voraus...

LG
Marcus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

michaL aktiv_icon

22:33 Uhr, 10.09.2014

Hallo,

vollständige Induktion nach

n

.

Mfg Michael

solamente aktiv_icon

22:34 Uhr, 10.09.2014

naja

n + 1

nullstellen bedeutet ja eig nur dasse die (n+1)-te ordnung hat... also x² hat ja 2 nullstellen x³ 3 usw

also haste irgend

n

polynom denk ich mal

x^{n - 1} + x^{n - 2} ... .

. usw

und das wird man sicher über irgendeine summe oder so zusammenfassen können und davon die ableitung... also das ist jetzt mein ansatz als dummer ingenieur... habs nich so mit "beweisen Sie, dass..." aber villt klappts ja so

=)

grüße

MaStudent aktiv_icon

22:36 Uhr, 10.09.2014

Es soll auch definitiv nicht "bewiesen" werden, also nicht mit den üblichen Beweismethoden, sondern durch den Mittelwertsatz "gezeigt" werden

-

in der Mathematik schon ein unterschied.

Man kann aufjedenfall davon ausgehen, dass es nicht formal bewiesen werden soll, da diese Übung definitiv vor irgendeiner Einführung zu Beweisen kommt.

Es soll halt durch den Mittelwertsatz gezeigt werden - genau das, was ich nicht hinbekomme / nicht verstehe.

MaStudent aktiv_icon

22:43 Uhr, 10.09.2014

Ist eventuell folgendes gemeint:

\frac{f^{(n)} (x + h) - f^{(n)} (x)}{h} = \frac{f^{(n)} (x - h) - f^{(n)} (x)}{- h}

Da die Funktion von (n+1)-Ordnung ist definieren wir sie als

f^{(n)} (x) = x^{n + 1}

\Rightarrow \frac{{(x + h)}^{n + 1} - x^{n + 1}}{h} = \frac{{(x - h)}^{n + 1} - x^{n + 1}}{- h}

\Rightarrow \frac{x^{n + 1} + h^{n + 1} - x^{n + 1}}{h} = \frac{x^{n + 1} - h^{n + 1} - x^{n + 1}}{h}

\Rightarrow \frac{h^{n + 1}}{h} = \frac{- h^{n + 1}}{- h}

\Rightarrow h^{n + 1 - 1} = h^{n + 1 - 1}

\Rightarrow h^{n} = h^{n}

Und damit gibt es diesen einen Punkt

y,

oder hat das damit mal gar nichts zu tun? :-D)

(Manchmal einfach mal ins blaue raten^^)

michaL aktiv_icon

07:51 Uhr, 11.09.2014

Hallo,

> Es soll auch definitiv nicht "bewiesen" werden, also nicht mit den üblichen Beweismethoden, sondern durch den
> Mittelwertsatz "gezeigt" werden − in der Mathematik schon ein unterschied.

Sehe ich nicht so. Zu meiner Studienzeit fingen die Übungsaufgaben schon mal mit "Zeigen Sie" oder "Beweisen Sie" an und meinten letztlich das gleiche.

Ansonsten müsstest du schon "herzeigen", worin der Unterschied zwischen zeigen und beweisen liegt. (Vielleicht habt ihr dazu ja eine Definition?!)

Ich kann nur raten,es iterativ zu machen, wenn Induktion zu "hoch" ist.

Ich gebe dir einen Anfang: Da

f

n + 1

verschiedene Nullstellen

x_{1} < x_{2} < \dots < x_{n + 1}

hat, hat

f ʹ

wegen des Mittelwertsatzes ...

Eigentlich recht einfach.

Mfg Michael

MaStudent aktiv_icon

08:11 Uhr, 11.09.2014

Hey,

Danke für deinen Versuch

: S

Es ist noch sehr früh, gerade aufgewacht, ich versuch trotzdem mal etwas zu antworten:

Wenn eine Funktion (n+1)-Ordnung (n+1)Nullstellen hat, dann hat die Ableitung der Funktion

(n + 1 - 1) = n

Nullstellen. Die zweite Ableitung

n - 1,

die dritte

n - 2

Nullstellen.

\Rightarrow

Die n-te Ableitung hat

(n + 1) - n

Nullstellen

= n - n + 1 = 1

Nullstelle?

Willst du darauf hinaus oder hätte ich besser weiter schlafen sollen? :-D)

Shipwater aktiv_icon

09:12 Uhr, 11.09.2014

Zunächst mal zu solamente seinem Beitrag:

x^{2}

und

x^{3}

haben nur eine Nullstelle (wenn man Vielfachheiten nicht beachtet) und nirgends in der Aufgabe steht, dass

f

ein Polynom sein muss.

Im Falle von

n + 1

paarweise verschiedenen Nullstellen stimmt deine Überlegung. Die Aussage stimmt aber auch wenn die Nullstellen nicht paarweise verschieden sind, also wenn die Summe der Vielfachheiten der Nullstellen gleich

n + 1

ist. Hier muss man den Beweis etwas anpassen.
Ach und du solltest besser schreiben, dass

f'

wegen des Mittelwertsatzes mindestens(!)

n

Nullstellen hat etc.

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