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Funktion nicht Lebesgue-integrierbar

Universität / Fachhochschule

Maßtheorie

Tags: Maßtheorie

Cariiina aktiv_icon

09:51 Uhr, 01.04.2019

Guten Morgen,
ich möchte zeigen, dass die Funktion im Anhang nicht integrierbar ist auf dem Intervall (0,1].
Wie kann ich die Funktion abschätzen um zu beweisen, dass das Integral nicht endlich ist?

Über Hilfe wäre ich dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

pwmeyer aktiv_icon

10:10 Uhr, 01.04.2019

Hallo,

Du brauchst nichts abschätzen. Du kannst einfach das Integral von

g

bzw.

| g |

berechnen - genauer gesagt, eingeschränkt auf

(\frac{1}{2^{k}},1]

...

.

Gruß pwm

HAL9000

10:33 Uhr, 01.04.2019

Über welchen Integrierbarkeitsbegriff reden wir hier eigentlich? Die Funktion ist sicher nicht Riemann-integrierbar und auch nicht Lebesgue-integrierbar. Aber sie ist uneigentlich Riemann-integrierbar!

Ersti1811 aktiv_icon

10:44 Uhr, 01.04.2019

Wieso kann ich über

(\frac{1}{2^{n}}, 1)

integrieren und nicht über

(\frac{1}{2^{n}}, \frac{1}{2^{n - 1}})

?
Ist die Stammfunktion dann

\frac{2^{n}}{n} \cdot x

oder muss ich nicht erst die Integralgrenzen unabhängig von

n

machen?

Ersti1811 aktiv_icon

10:45 Uhr, 01.04.2019

Es geht um Lebesgue-Integrierbarkeit.

HAL9000

11:09 Uhr, 01.04.2019

Lebesgue-Integrierbarkeit fordert u.a. auch die Existenz von

\int_{0}^{1} ∣ g (x) ∣ d x

.

> Wieso kann ich über

(\frac{1}{2^{n}}, 1)

integrieren und nicht über

(\frac{1}{2^{n}}, \frac{1}{2^{n - 1}})

?

Unsinnig formulierte Frage, da beide Integrale existieren: Es ist

\int_{\frac{1}{2^{k}}}^{1} g (x) d x = \sum_{n = 1}^{k} \int_{\frac{1}{2^{n}}}^{\frac{1}{2^{n - 1}}} g (x) d x

gleiches gilt für

∣ g ∣

statt

g

. Die eigentliche Frage ist doch, was passiert beim Grenzübergang`

\int_{0}^{1} ∣ g (x) ∣ d x = lim_{k \to \infty} \int_{\frac{1}{2^{k}}}^{1} ∣ g (x) ∣ d x

?

Dazu solltest du endlich mal diese Teilintegrale

\int_{\frac{1}{2^{n}}}^{\frac{1}{2^{n - 1}}} g (x) d x

konkret ausrechnen!

Cariiina aktiv_icon

12:24 Uhr, 01.04.2019

Wir kommen auf 1/n. Ist das richtig? Für n-> unendlich divergiert die Folge ja.

HAL9000

14:16 Uhr, 01.04.2019

Naja, etwas genauer bitte:

Es sind

\int_{\frac{1}{2^{n}}}^{\frac{1}{2^{n - 1}}} g (x) d x = \frac{(- 1)^{n}}{n}

sowie

\int_{\frac{1}{2^{n}}}^{\frac{1}{2^{n - 1}}} ∣ g (x) ∣ d x = \frac{1}{n}

. Damit divergiert

\int_{\frac{1}{2^{k}}}^{1} ∣ g (x) ∣ d x = \sum_{n = 1}^{k} \frac{1}{n}

für

k \to \infty

, während

\int_{\frac{1}{2^{k}}}^{1} g (x) d x = \sum_{n = 1}^{k} \frac{(- 1)^{n}}{n}

konvergiert, und zwar gegen

- \ln (2)

.

Allerdings ist

lim_{k \to \infty} \int_{\frac{1}{2^{k}}}^{1} g (x) d x \overset{?}{=} \int_{0}^{1} g (x) d x

nur richtig im Sinne eines uneigentlichen Riemann-Integrals, nicht im Sinne eines Lebesgue-Integrals.

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