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Funktion oder Folge für Erntemengen

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Tags: Folgen und Reihen, Funktion, Funktionenfolgen, Funktionenreihen

vegetto aktiv_icon

18:24 Uhr, 06.01.2022

Hallo,
Habe hier 2 mathematische Aufgaben bei denen ich nicht weiter komme Habe es bereits vereinfacht mit Regression probiert, ich denke das ist allerdings nicht der richtige Ansatz.

1.Aufgabe

Es geht darum dass Obstbäume gepflanzt werden sollen.
Jedes Jahr sollen

100

Bäume gepflanzt werden.

Jedes Jahr steigert sich der Ertrag der Bäume bis zum 8. Lebensjahr um etwa 3 kg. Danach bleibt der Ertrag gleich bis zum

25

sten Lebensjahr und nimmt wieder ab dort langsam um 1 kg pro Jahr und Baum ab bis zum 50sten Lebensjahr des Baumes.

Jahre. Ertrag eines Baumes in kg

1. 4
2. 7
3.

10

13

16

19

22

8 . - 25

25

26

24

27

23

28

22

29

21

30 ... .

. .

50

. 0

Es muss eine Funktion/ Folge

. .

. bestimmen mit der ich vereinfacht den kumulativen Erntertrag des gesamten bis dahin bestehenden Baumbesatand nach

n

Jahren berechnen kann. Wenn möglich mit veränderbarer Variablen an zusätzlich gepflanzten Bäumen pro Jahr ( hier geplant

100)

.

Beispiel:

1 Jahr: Erste Pflanzung , gehen wir von 4 kg pro Baum verkaufbare Früchte aus. Insgesamt

400

kg von

100

Bäumen.

2. Jahr: 7 kg verkaufbare Früchte erste Pflanzung/ Baum - insg. 700kg ; plus Neupflanzungen

a 100

Bäume mit dann bereits 400kg Erntegewicht.

1100

kg gesamt von insg.

200

Bäumen

3. Jahr:

10

kg verkaufbare Früchte erste Pflanzung / Baum - insg. 1000kg ; plus Pflanzungen aus Jahr

2 a 100

Bäume mit 700kg Erntegewicht. Plus Neupflanzungen mit

400

kg Erntegewicht. 2100kg gesamt von insg.

300

Bäumen.

usw.
usw.

Wie muss die Formel dazu lauten und das Schaubild der Formel aussehen?

Aufgabe 2:

Wenn mit angenommener Pflanzung aus Aufgabe 1 angepflanzt werden soll, ab welchem Jahr lohnt es sich ins Alter gekommene Bäume durch neue zu ersetzen um immer den möglichst höchsten Ertrag zu erhalten. Es sollen insgesamt

1000

Bäume gepflanzt werden, also nach

10

Jahren keine neuen Bäume mehr gepflanzt werden.

Wäre super dankbar wenn mir da jemand helfen könnte. :-)

liebe Grüße und Danke
Vegetto

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Roman-22

18:37 Uhr, 06.01.2022

> 1

Jahr: Erste Pflanzung , gehen wir von 4 kg pro Baum verkaufbare Früchte aus.
Warum?
Ich gehe davon aus, dass zum Zeitpunkt der Pflanzung der Ertrag 0 ist. Nach einem können dann

300

kg geerntet werden und es werden wieder

100

Bäume gepflanzt, sodass nach zwei Jahren

900

kg geerntet werden können, nach drei Jahren

1800,

dann

3000,

etc.
Schreib dir mal genau auf, wie diese Zahlen zustande kommen, klammere aus der Summe dann

300

aus und dir wird vl der kleine Gauß einfallen.
Jedenfalls gilt das für die ersten 8 Jahre. Dann stagniert der Ertrag. Die nä Änderung nach

10

Jahren - dann ändern sich wieder die Spielregeln, denn es werden dann ja keine neuen Bäume mehr gepflanzt. Und nach

25

Jahren ändert sich wieder alles, da dann die Bäume beginnen, von Jahr zu Jahr weniger Ertrag zu bringen.
Du wirst den Vorgang also abschnittsweise mit unterschiedlichen Funktionen bzw. Folgen beschreiben müssen.

EDIT: Angesichts der Angabe, derzufolge die Abnahme um 1kg pro Jahr nach

25

Jahren bis zum

50

Jahr andauern soll, ist deine Annahme, dass der Baum nach einem Jahr 4kg trägt und danach erst jedes Jahr um 3 kg mehr sinnvoll. Sonst wäre ja bereits nach

49

Jahren der Nullertrag erreicht.

HAL9000

10:53 Uhr, 07.01.2022

Zu Aufgabe 2: Hier geht es ja darum, wie man langfristig mit einem Baumbestand der festen Anzahl 1000 im Mittel den höchsten Ertrag erzielen kann. Das gelingt einfach dadurch, dass jeder Baum über seine gesamte Nutzungszeit den höchsten mittleren Ertrag pro Jahr erzielt! Mit der Ertragsmenge im Jahr

k

e_{k} = {\begin{array}{ll} 3 k + 1 & für 1 \leq k \leq 8 \\ 25 & für 8 \leq k \leq 25 \\ 50 - k & für 25 \leq k \leq 50 \end{array}

bekommt man die kumulative Ertragsmenge

c_{k} = \sum_{j = 1}^{k} e_{j}

der Jahre

1 \dots k

c_{k} = {\begin{array}{ll} \frac{k (3 k + 5)}{2} & für 1 \leq k \leq 8 \\ 25 k - 84 & für 8 \leq k \leq 25 \\ \frac{(99 - k) k}{2} - 384 & für 25 \leq k \leq 50 \end{array}

Was wir maximieren wollen ist

f (k) = \frac{c_{k}}{k}

. Offenbar wird man dieses Maximum im letzten Intervall

25 \leq k \leq 50

finden, dort ist

f (k) = \frac{99 - k}{2} - \frac{384}{k}

Die Ableitung ergibt

f' (k) = - \frac{1}{2} + \frac{384}{k^{2}}

mit Nullstelle bei

k^{*} = \sqrt{768} \approx 27.7

. Eines der beiden benachbarten Funktionswerte ist das Maximum, letztlich ist das

f (28) = \frac{305}{14} \approx 21.786

.

D.h., langfristig optimal ist es, jeden Baum 28 Jahre lang zu nutzen und dann durch einen neuen zu ersetzen. Dadurch ergibt sich im vorliegenden Szenario folgender Zyklus:

10 Jahre lang jährlich 100 Bäume pflanzen
18 Jahre lang keine Bäume pflanzen

und dann wieder von vorn.

P.S.: Ich bin wie Roman-22 von der Annahme ausgegangen, dass im ersten Jahr 4kg geerntet werden - hätte allerdings wirklich etwas deutlicher in der Aufgabenstellung stehen können.

vegetto aktiv_icon

11:43 Uhr, 07.01.2022

Hallo,

Vielen lieben Dank für eure Antworten. Also zur Erntemenge im ersten Jahr. Es soll tatsächlich angenommen werden dass die Erntemenge im ersten Jahr nicht null sondern 4 kg ist.
Die Bäume werden in einer Baumschule vorgezogen, so dass sie schon fruchtend eingepflanzt werden.
Trotzdem danke fürs mitdenken.

Richtig gut! Das hätte ich so nicht mehr hingekriegt. ☺️☺️ Damit kann ich jetzt echt etwas anfangen.
Liebe Grüße Vegetto

vegetto aktiv_icon

11:47 Uhr, 07.01.2022

Hallo,

Vielen lieben Dank für eure Antworten. Also zur Erntemenge im ersten Jahr. Es soll tatsächlich angenommen werden dass die Erntemenge im ersten Jahr nicht null sondern 4 kg ist.
Die Bäume werden in einer Baumschule vorgezogen, so dass ich schon fruchtend eingepflanzt werden.
Trotzdem danke fürs mitdenken.

Zu Aufgabe 1
Muss leider gestehen, dass ich da mathematisch nicht mehr so fit bin als dass ich da den Lösungsweg hinbekomme.
Wäre richtig klasse wenn mir da jemand vorrechnen könnte.

HAL9000

13:09 Uhr, 07.01.2022

Was Aufgabe 1 betrifft: Im Jahr

n

hat man je 100 Bäume vom Alter

1, 2, \dots, n

und damit einen Jahresertrag des gesamten Baumbestandes von

100 (e_{1} + \dots + e_{n}) = 100 c_{n}

.

Dabei werden aber - anders als in Aufgabe 2 - keine Bäume gefällt bzw. nur solche 50 Jahre oder älter (die tragen eh nicht mehr zum Ertrag bei). Für

n > 50

beachte man (was ich oben nicht erwähnt hatte)

c_{n} = c_{50} = 841

, einfach weil für jeden Baum ab Alter 50 Jahre kein weiterer Ertrag hinzukommt.

Übrigens würde ich noch eine Aufgabe 3 nachschieben:

In Aufgabe 2 spielten die Kosten für Rodung und Neuanpflanzung der Bäume keine Rolle - das ist ein wenig praxisfern. Wenn man diese Kosten mit einbezieht, dürfte es sich ein wenig länger als 28 Jahre lohnen, die Bäume tragen zu lassen.

vegetto aktiv_icon

08:36 Uhr, 08.01.2022

Hallo,
Danke für die Antworten. Leider werde ich aus der Antwort für Aufgabe eins nicht schlau. Glaub das ist einfach zu lange her.
Ist die Lösung jetzt hier theoretisch nicht drei verschiedene Folgen?

Könnten man mal ein Rechenbeispiel machen für das achte Jahr oder das zwölfte?
Ist der dann überhaupt eine Formel beziehungsweise Folge möglich in der ich nur die Anzahl der Jahre eintrage? Wie würde diese aussehen?

Die Aufgaben sind tatsächlich für die Praxis gedacht. Ich will tatsächlich eine Obstplantage anlegen und stelle dazu gerade solche Überlegungen an.

Aufgabe drei ist eine gute Idee. Wie müsste sowas aussehen, wenn man annimmt:
1 kg des Baumes kosten auf dem Markt

50

euro. (Die Preise sind tatsächlich so hoch, es handelt sich um eine exotische Fruchtsorte die im Gewächshaus angebaut wird)
Die Rodung und die neue Pflanzung zusammen pro Baum kosten etwa

100

€.

Danke ☺️
Liebe Grüße
Vegetto

HAL9000

14:31 Uhr, 09.01.2022

Naja, um daraus ein vernünftig gestelltes Optimierungsproblem zu machen, reicht natürlich nicht allein die Kostenseite, sondern man braucht auch Informationen über die Ertragsseite, d.h. wieviel (Netto-)Ertrag bringt ein kg Früchte...

vegetto aktiv_icon

12:39 Uhr, 11.01.2022

Für Aufgabe 1 habe ich mir jetzt eine Excel-Tabelle gemacht und die Werte dann genommen um aus Einzeldaten einen Graph zu basteln. Das hat funktioniert :-)

Zu der Optimierungsaufgabe sind der Ertrag

50

Euro/Kg, Beispiel im Jahr 2 Wäre dann der Umsatz 1100kg*50Euro/kg

= 55000

Euro. Die Kosten sind wie gesagt ca.

100

Euro zur Rodung und Neupflanzung pro Baum.

vielleicht klapt das jetzt damit :-)
danke schonmal.

liebe Grüße Vegetto

HAL9000

13:05 Uhr, 11.01.2022

Ich beziehe das einfach wieder auf die Gesamtlebenszeit eines einzigen Baumes:

Statt wie in Aufgabe 2 den Quotient Lebensgesamtertragsmenge/Lebensjahre zu maximieren, wird man hier nun (Lebensgesamtertrag-Pflanzundrodungskosten)/Lebensjahre maximieren, das ergibt

g (k) = f (k) \cdot 50 - \frac{100}{k}

, was für

25 \leq k \leq 50

dann

g (k) = 25 (99 - k) - \frac{19300}{k}

g' (k) = - 25 + \frac{19300}{k^{2}}

und damit Nullstelle bei

\sqrt{772} \approx 27.78

. Das ist also so nah an dem Resultat der Aufgabe 2, dass sich im Ergebnis nichts ändert, d.h., auch hier ist 28 Jahre die optimale Nutzungszeit.

Damit sich das wirklich weiter nach hinten verschiebt, müssten die Bäume wohl deutlich teuerer sein als 100 Euro (entspricht ja nur 2kg Ertragsmenge), also eher 1000 Euro oder noch mehr.

vegetto aktiv_icon

08:40 Uhr, 12.01.2022

Klasse! Vielen Dank für die Antwort! Dann kanns nächstes Jahr mit der Pflanzung losgehen.

liebe Grüße
vegetto

HAL9000

11:28 Uhr, 12.01.2022

Wenn man mal indiskret fragen darf: Welch edle Frucht bringt bereits dem Erzeuger (Landwirt) 50 EUR/kg?

vegetto aktiv_icon

14:40 Uhr, 12.01.2022

Hallo,
Klar natürlich kann man das fragen. :-)
Es handelt sich um spezielle Limettensorten die ausschließlich in Thailand angebaut werden. Die Obstanlage kann natürlich nur im Gewächshaus angebaut werden. Der Verkaufspreis ist deshalb so hoch, da die Anbaukosten allgemein auch recht hoch sind. Beziehungsweise die ImportKosten ebenfalls recht hoch sind.

Liebe Grüße Vegetto

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