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Funktion ohne Satz der impliziten Funktion

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, implizite Funktion

 
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Baumstamm

Baumstamm aktiv_icon

12:06 Uhr, 24.03.2020

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Hallo zusammen

Ich habe hier mal wieder eine Aufgabe, bei der ich nicht so ganz verstehe, was da überhaupt verlangt ist.
Sei F:3 die Funktion gegeben durch
F(x,y,z)=z3+3z+ xy -2
Ich soll nun zeigen, dass für alle (x,y)2 genau ein z existiert, mit F(x,y,z)=0
Mein Ansatz hier ist:
Ich definiere f(z):=z3+3z
Somit ist F(x,y,z)=0f(z)=2- xy
Reicht es, wenn ich jetzt einfach Monotonie von f(z) zeige? Oder gibt es da einen anderen empfehlenswerten Weg?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

12:10 Uhr, 24.03.2020

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Hallo,

Monotonie ist gut, das sichert Dir die Eindeutigkeit.

Aber Du musst auch zeigen, dass f surjektiv ist.

Gruß pwm
Baumstamm

Baumstamm aktiv_icon

16:00 Uhr, 24.03.2020

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Hallo pwm

Vielen Dank für deinen Tipp. Monotonie und Surjektivität konnte ich zeigen.
Diese Aufgabe hat noch eine weitere Teilaufgabe, bei der ich ein Problem habe.

Sei f(x,y)=z die eindeutig bestimmte Lösung, so dass
F(x,y,f(x,y))=0
ist. Ich soll zeigen, dass f stetig differenzierbar ist und den Gradienten f(-1,2) berechnen
Bei dieser Teilaufgabe darf ich den Satz über die impliziten Funktionen verwenden, jedoch sagt mir der nur, dass f stetig ist und da ich f nicht explizit berechnen kann, verstehe ich nicht, wie ich da stetige Differenzierbarkeit prüfen soll.
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

16:39 Uhr, 24.03.2020

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Hallo,

der Satz über implizite Funktionen garantiert dir, dass die Funktion f in einer Umgebung der Stelle (-12) stetig differenzierbar ist.
Ich denke, mehr wird wohl nicht zu machen sein, als dass die Funktion f stückweise stetig differenzierbar ist.

Was die Ableitung anbelangt, dafür musst du eben implizit differenzieren.
Dazu gehört, dass du berechnest, welches z=f(-1;2) zu x=-1, y=2 gehört. Das sollte nicht so schwierig sein, schlimmstenfalls müsstest du dir den Graphen der Funktion g:;zF(z;-1;2) plotten lassen und den passenden (scheint ja nur einen zu geben!) z-Wert ablesen. Da er ganzzahlig ist, wird das nicht schwierig werden.

Dann hast du das Set x=-1, y=2, z passend und dort die implizite Ableitung berechnen. Wenn ihr den Satz über die impliziten Funktionen hattet, ist der Satz über das implizite Differenzieren eigentlich ein Korollar. Stimmt's?

Mfg Michael
Frage beantwortet
Baumstamm

Baumstamm aktiv_icon

11:53 Uhr, 26.03.2020

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Jetzt hat alles geklappt. Vielen Dank. Das Korollar über implizites Differenzieren hatten wir tatsächlich, allerdings nur am Rande, so dass ich es einige Male überlesen habe, bevor ich es im Skript gefunden habe.
Vielen herzlichen Dank für eure Hilfe
Mfg Baumstamm