Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Funktion stetig differenzierbar Beweis

Funktion stetig differenzierbar Beweis

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Stetigkeit

Tags: Differentiation, Stetigkeit

anonymous

09:18 Uhr, 03.06.2020

Hallo,
ich habe folgende Aufgabe:

f (x, y) = \frac{x^{3} y - x y^{3}}{x^{2} + y^{2}}

für

(x, y) \neq (0, 0)

und 0 für

(x, y) = (0, 0)

Ich muss zeigen, dass

f

stetig differenzierbar ist (hier soll ich auch

\partial_{x} f

und

\partial_{y} f

berechnen) und zeigen, dass

f

nicht 2 mal stetig differenzierbar ist.

Muss ich hier erstmal so vorgehen wie in Funktionen auf

ℝ

und

lim_{x \to 0}

berechnen? Oder geht das hier anders?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

09:26 Uhr, 03.06.2020

Es geht nach Definition.
Mit

lim_{x \to 0}

kann man die partielle Ableitung

\partial_{x}

0

berechnen. Für die Gesamtableitung in

0

braucht man

lim_{(x, y) \to (0, 0)}

anonymous

09:48 Uhr, 03.06.2020

Also brauchen wir

lim_{(x, y) \to (0, 0)} f (x, y)

?
Das geht doch über die iterierten Grenzwerte.
Dazu habe ich folgendes berechnet:

lim_{x \to 0} (lim_{y \to 0} f (x, y)) = lim_{x \to 0} (lim_{y \to 0} \frac{x^{3} y - x \cdot y^{3}}{x^{2} + y^{2}}) = lim_{x \to 0} (\frac{x^{3} \cdot 0 - x \cdot 0^{3}}{x^{2} + 0^{2}}) = lim_{x \to 0} (\frac{0}{x^{2}}) - lim_{x \to 0} 0 = 0

und

lim_{y \to 0} (lim_{x \to 0} f (x, y)) = lim_{y \to 0} (lim_{x \to 0} \frac{x^{3} y - x \cdot y^{3}}{x^{2} + y^{2}}) = lim_{y \to 0} (\frac{0^{3} \cdot y - 0 \cdot y^{3}}{0^{2} + y^{2}}) = lim_{y \to 0} (\frac{0}{y^{2}}) - lim_{y \to 0} 0 = 0

und da beide gleich 0 sind existiert der Grenzwert und geht gegen 0

Ist hiermit schon die Differenzierbarkeit gezeigt?

DrBoogie aktiv_icon

09:54 Uhr, 03.06.2020

"Ist hiermit schon die Differenzierbarkeit gezeigt?"

Nein, nur Stetigkeit.
Ich empfehle, dass du zumindest die Definition der Differenzierbarkeit dir anschaust.

pwmeyer aktiv_icon

09:57 Uhr, 03.06.2020

Hallo,

für die Berechnung von

lim_{(x, y) \to (0,0)} f (x, y)

sind die von Dir angegebenen iterierten Grenzwerte allenfalls ein Hinweis auf die Existenz. Für die eigentliche Untersuchung dieses Grenzwertes sind

b e l i e b i g e

Folgen

(x_{n}, y_{n}) \to (0,0)

zu betrachten.

Wenn Du Dir die Mühe machst, mal einen kurzen Blick auf die Definition der Differenzierbarkeit zu werfen, wirst Du sehen, dass das, was Du da gemacht hast, nichts mit Differenzierbarkeit zu tun. Es wäre (wenn es richtig gemacht wäre) der Nachweis der Stetigkeit von

f

im Nullpunkt.

Was zu tun ist, zunächst: Berechnung der partiellen Ableitungen außerhalb des Nullpunkts nach den Rechenregeln für Differenzierbarkeit. Berechnung der partiellen Aleitungen im Nullpunkt aufgrund der Definition....

Gruß pwm

anonymous

10:23 Uhr, 03.06.2020

Muss ich also

\partial_{x} f

und

\partial_{y} f

berechnen?
Dazu habe ich folgendes:

\partial_{x} f = \frac{y (x^{4} + 4 y^{2} x^{2} - y^{4})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}

und

\partial_{y} f = - \frac{x (x^{4} + 4 y^{2} x^{2} - y^{4})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}

Zur Definition mit der Differenzierbarkeit, wir hatten besprochen, dass dann eine lineare Abbildung existiert, aber auch das mit der Jacobimatrix.

DrBoogie aktiv_icon

10:30 Uhr, 03.06.2020

Jacobi-Matrix definiert diese lineare Abbildung.

anonymous

10:44 Uhr, 03.06.2020

ok dann falls ich das richtig verstanden und richtig berechnet habe, müsste die Jacobi-Matrix wie folgt aussehen:

J_{f (x)} = ((\partial_{x} f, \partial_{y} f))

mit den partiellen Ableitungen, die ich schon berechnet habe.

DrBoogie aktiv_icon

11:25 Uhr, 03.06.2020

Du hast bis jetzt nur die Punkte außer

(0, 0)

behandelt, das schwerste Stück Arbeit ist aber gerade der Punkt

(0, 0)

, denn dort geht es nur per Definition, keine "normale" Ableitungsberechnung möglich.

anonymous

16:34 Uhr, 03.06.2020

Wie geht das dann hier? Also welche Definition muss ich benutzen?

pwmeyer aktiv_icon

18:09 Uhr, 03.06.2020

Die Definition der partiellen Ableitung in einem Punkt, hier im Punkt

(0,0)

anonymous

20:37 Uhr, 03.06.2020

Also

\partial_{e_{j}} f (a) = lim_{t \to 0} \frac{f (a + t e_{j}) - f (a)}{t}

DrBoogie aktiv_icon

22:49 Uhr, 03.06.2020

Ja, wobei für die Ableitung nach

x

man

e_{j} = (1, 0)

nimmt und für die Ableitung nach

y

dann

e_{j} = (0, 1)

anonymous

09:19 Uhr, 04.06.2020

So habe ich dann:

lim_{t \to 0} \frac{f (0,1) - f (0,0)}{t} = lim_{t \to} \frac{\frac{0}{y^{2}} - 0}{t} = lim_{t \to 0} \frac{0}{t} = 0

lim_{t \to 0} \frac{f (1,0) - f (0,0)}{t} = lim_{t \to} \frac{\frac{0}{x^{2}} - 0}{t} = lim_{t \to 0} \frac{0}{t} = 0

DrBoogie aktiv_icon

09:26 Uhr, 04.06.2020

Jetzt musst du noch zeigen, dass die Funktion in

(0, 0)

differenzierbar ist. Dafür reichen partielle Ableitungen alleine nicht. Es geht nach der Definition, mit Jacobi-Matrix (in diesem Fall ist diese Matrix einfach Gradient).
Dann musst du zeigen, dass die Ableitung (also Gradient) stetig in

(0, 0)

ist.

anonymous

09:41 Uhr, 04.06.2020

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich das richtig verstanden habe; muss ich zeigen, dass die partiellen Ableitungen, die ich gestern um

10 : 23

Uhr berechnet habe, gegen die partielle Ableitungen von

9 : 19

Uhr konvergieren für

(x, y) \to (0,0)

DrBoogie aktiv_icon

09:53 Uhr, 04.06.2020

Das musst du in der Tat, unter anderem.

DrBoogie aktiv_icon

10:07 Uhr, 04.06.2020

Noch einmal einfach als Programm, was hier alles gezeigt werden muss.

1. Dass

f

stetig differenzierbar außer im Punkt

(0, 0)

, ist recht billig, man kann einfach den Gradienten nach der bekannten Vorschrift berechnen, und das er stetig ist, ist offensichtlich. Also spielt die ganze Musik im Punkt

(0, 0)

.

2. Im Punkt

(0, 0)

soll man zuerst per Definition Gradienten berechnen, also partielle Ableitungen. Sie sind

0

. Wenn die Funktion differenzierbar sein soll, muss ihre Ableitung in

(0, 0)

also

0

sein.

3. Man prüft die Differenzierbarkeit im Punkt

(0, 0)

: also prüft, dass

\frac{f (x, y) - f (0, 0) - \nabla f (0, 0) (x, y)}{∥ (x, y) ∥} \to 0

wenn

(x, y) \to 0

.

4. Man prüft, dass der Gradient stetig in

0

ist.

5. Man berechnet die 2. Ableitungen (es gibt 4 davon), einmal außer

(0, 0)

und dann im Punkt

(0, 0)

.

6. Man prüft die Stetigkeit der 2. Ableitungen (wenn die Funktion im Punkt

(0, 0)

überhaupt differenzierbar ist).

3,4,5,6 muss du noch machen

pwmeyer aktiv_icon

11:34 Uhr, 04.06.2020

Hallo,

bei Deiner Antwort von

9 : 19

hätte es heißen müssen:

\frac{f (0, t) - f (0,0)}{t}

Wirkt sich zwar nicht aus - wegen der ganzen Nullen

-,

aber so wäre es richtig.

Gruß pwm

anonymous

12:20 Uhr, 04.06.2020

Also zu Schritt 3 wäre es also

\frac{\frac{x^{3} y - x y^{3}}{x^{2} + y^{2}} - 0 - 0 \cdot (x, y)}{| | (x, y) | |}

oder? Wenn das stimmt, dann konnte ich das wie folgt vereinfachen:

= \frac{\frac{x^{3} y - x y^{3}}{x^{2} + y^{2}}}{| | (x, y) | |} = \frac{x^{3} y - x y^{3}}{x^{2} + y^{2}} \cdot \frac{1}{| | (x, y) | |} = \frac{- x y (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} \cdot \frac{1}{| | (x, y) | |} = - \frac{x y}{| | (x, y) | |}

Falls das alles soweit stimmt, weiß ich nicht, wie ich weiter gehen könnte. Ich bin mir nicht ganz sicher wie man den Grenzwert berechnet hier.

DrBoogie aktiv_icon

16:47 Uhr, 04.06.2020

Das stimmt nicht, du hast Vorzeichenfehler.

x^{2} + y^{2}

kann man nicht kürzen.

DrBoogie aktiv_icon

16:51 Uhr, 04.06.2020

Aber du kannst so abschätzen:

∣ \frac{x y^{3} - x^{3} y}{x^{2} + y^{2}} ∣ \leq ∣ \frac{x y^{3}}{x^{2} + y^{2}} ∣ + ∣ \frac{x^{3} y}{x^{2} + y^{2}} ∣ = \frac{∣ x y ∣ y^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{∣ x y ∣ x^{2}}{x^{2} + y^{2}} = ∣ x y ∣

.

Und weiter kann man die Ungleichung

∣ x y ∣ \leq \frac{x^{2} + y^{2}}{2}

nutzen, die aus

(x - y)^{2} \geq 0

folgt.

anonymous

17:24 Uhr, 04.06.2020

Für was brauchen wir die letzte Ungleichung?

DrBoogie aktiv_icon

18:04 Uhr, 04.06.2020

Um zu beweisen, dass

\frac{f (x, y) - f (0, 0) - 0 \cdot (x, y)}{∥ (x, y) ∥} \to 0

geht.
Es ist an der Zeit, dass du etwas auch mal selbst versucht und nicht darauf wartest, dass die alles vorgekaut wird.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1505213

1504976

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?