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Beweis: f in 0 stetig ist

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: einschließungskriterium, Stetigkeit

anonymous

16:35 Uhr, 06.12.2015

Hallo, ich habe die Funktion

f (x) =

x \cdot sin (\frac{1}{x})

mit x≠0
0 mit

x = 0

Ich soll zeigen, dass die Funktion in 0 stetig ist. Da sollen wir das Einschließungskriterium anwenden.Jedoch weiß ich nicht, wie ich mit der Nullfolge (an) weitermachen soll.
Mein Weg bis jetzt:
Ich habe mir zwei Nullfogen ausgdacht:
(Achtung an und bn sind Nullfolgen, es solle NICHT

a \cdot n

oder

b \cdot n

heißen)
Erste Nullfolge: an: -1/(√1) mit Grenzwert a
Zweite Nullfolge: bn: 1/(√1) mit Grenzwert

b

Mein

x \cdot sin (\frac{1}{x})

ist hier cn.
Daraus folgt laut Einschließungskriterium:
an˂ cn˂ bn,
lim(cn)=

a = b

n->∞

Zuerst bn: 1/(√1) daraus folgt:

lim

bn=0
n->∞

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

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16:44 Uhr, 06.12.2015

Folgen helfen hier nur bedingt, Du hast hier doch Funktionen.
Aber diese Abschätzung hilft:

∣ x \sin (1 / x) ∣ \leq ∣ x ∣

anonymous

17:20 Uhr, 06.12.2015

Ab da komme ich leider nicht mehr weiter. Wissen Sie weiter?

| x \cdot sin (\frac{1}{x}) |

≤

| x |

| x \cdot sin (\frac{1}{x}) |

˂ 1/√2

x \cdot sin (\frac{1}{x})

≤1 mit x≠ 0

\to | x \cdot sin (\frac{1}{x}) |

≤

| x |

mit

x

≠0

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17:36 Uhr, 06.12.2015

Du hattest doch den Hinweis: Einschließungskriterium anwenden.
Und dass

lim_{x \to 0} ∣ x ∣ = 0

, dürfte klar sein.

anonymous

18:42 Uhr, 08.12.2015

Okay, ich hoffe es stimmt. Hast du Verbesserungsvorschläge oder kann ich es so formal so stehen lassen?
Mein f(zn) mit der Folge zn ist hier die Funktion

f (x)

f (x)

steht oben.

Meine Folgen:
xn ≤ zn≤ yn

(Kurze Anmerkung:
f(zn) mit Folge zn

g (x)

mit Folge xn

h (y)

mit Folge yn)

- 1

≤ sin 1/(|zn|) ≤

1 | \cdot | |

(=mal Betrag)

\Leftrightarrow - | 1 |

≤ |zn|* sin1/(|zn|) ≤

| 1 |

\Leftrightarrow - | x |

≤ |zn|* sin1/(|zn|) ≤

| x | \to

lim g (x) = lim h (y) = lim

f(zn)=0 , die werte konvergieren gegen 0

x \to 0

Antowort: f(zn) ist in 0 stetig, da

lim

f(zn)=f(0)

x \to 0

Mein f(zn)mit der Folge zn ist hier die Funktion

f (x)

anonymous

18:48 Uhr, 08.12.2015

Sorry, zn,xn,yn sind keine Folgen. Es sind hier Funktionen

Korrektur:
zn= f(zn)
xn=

g (x)

yn=

h (y)

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20:29 Uhr, 08.12.2015

Vergiss Folgen.
Es muss so stehen:

0 \leq ∣ f (x) ∣ \leq ∣ x ∣

für alle

x \neq 0

lim_{x \to 0} ∣ x ∣ = 0

lim_{x \to 0} f (x) = 0

.
Alles.

anonymous

21:20 Uhr, 08.12.2015

ok. danke. Habe es korrigiert.

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