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Funktion von mehreren Variablen - Visualisierung

Schüler Abendgymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Extrema, Isoquante, oberfläch, Visualisierung

rational aktiv_icon

21:39 Uhr, 26.12.2016

Guten Tag,

Zuerst einmal wünsche ich euch allen ein frohes Fest! Ich stöbere schon seit geraumer Zeit als stiller Beobachter durch dieses Forum und habe mich nun dazu entschlossen mich endlich hier anzumelden.

Ich muss in naher Zukunft eine kleine Präsentation zum Thema "Extrema von Funktionen mit mehreren Veränderlichen" halten. Ich denke, dass ich das Thema mittlerweile ganz gut durchdrungen habe, allerdings habe ich ein paar Probleme bezüglich der Aufgabenstellung.

Eine Verpackungsfirma soll quaderförmige Schachteln mit einem Fassungsvermögen von

500

cm³ herstellen.

a)

Aus optischen Gründen soll eine der Kantenlängen 6 cm betragen. Berechnen Sie die anderen Kantenlängen so, dass der Materialbedarf minimal wird.

b)

Aus Kostengründen wir die Vorgabe aus

a)

wieder verworfen und erneut nach den idealen Maßen für Länge, Breite und Höhe gesucht. Stellen Sie die Oberfläche als Funktion der beiden Grundkanten

x

und

y

dar. Visualisieren Sie diese Funktion

z

. B. mit dem online Programm Wolframalpha.

c)

Untersuchen Sie mit Hilfe des Programms, für welche Kantenlängen

x, y

und

z

die Oberfläche minimal wird. Verwenden Sie hierzu auch die Darstellung der Isoquanten und geeignete Schnittkurven mit Ebenen parallel zur

(x,

z)-Ebene und

(y,

z)-Ebene.

d)

In welchen Bereichen sind Funktionen mit mehreren Variablen noch relevant? Erläutern Sie ein weiteres Beispiel.

Aufgabe

a)

stellt keine Probleme dar, da es sich um eine einfache Extremwertaufgabe mit einer Hauptbedingung und einer Nebenbedingung handelt und nur Werte für die zwei Variablen gesucht werden.

Aufgabe

b)

bzw.

c)

habe ich zuerst selbst rechnerisch gelöst und kam natürlich zu dem Schluss, dass die Oberfläche bei einem Würfel mit

x = y = z = 3 \sqrt{500}

minimal ist. Ich verstehe es schon richtig, dass die Oberflächenfunktion der beiden Grundkanten = Oberflächenfunktion in Abhängigkeit von

x

und

y

ist, oder? Also:

O (x, y) = 2 (x \cdot y + \frac{500}{y} + \frac{500}{x})

Zudem habe ich leider keinerlei Erfahrungen mit Wolfram Alpha.. Mein ihr, dass als Visualisierung der

3 D

plot ausreicht? www.wolframalpha.com/input/?i=2(xy%2B500%2Fy%2B500%2Fx)
Die Darstellung der Isoquanten und geeignete Schnittkurven mit Ebenen parallel zur xz-Ebene und yz-Ebene stellt für mich persönlich das eigentliche Problem dar. Hier weiß ich leider gar nicht, was ich zeigen soll. Ich ging zuerst davon aus, dass es hier um den contour plot bzw. die Höhenlinien geht, aber hier bin ich mir ganz und gar unsicher.

Aufgabe

d)

ist dann wieder unproblematisch.

Ich hoffe, dass ihr mir hier einige Denkanstöße geben könnt, oder mir etwas mehr Klarheit bezüglich der Aufgabenstellung verschaffen könnt.

Grüße
Andre

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Extrema / Terrassenpunkte

Stephan4

01:47 Uhr, 27.12.2016

Vielleicht hilft dieser Graphical Function Explorer mit Schiebereglern:

http://www.mathopenref.com/graphfunctions.html?fx=2*(x*a+500/x+500/a)&hx=2*(1000/x+x^2)&xh=30&xl=0&yh=1000&yl=0&ah=80&a=7.87

Dabei habe ich eine Oberflächen-Funktion der einen Seite

x

und der mit Schieberegler einstellbaren anderen Seite a dargestellt.

Mit den Seiten

a, x

und

h = \frac{500}{a x}

ist

O (x) = 2 \cdot (x a + \frac{500}{x} + \frac{500}{a})

(blaue Linie)

Jetzt bestimme ich durch Ableiten das

x_{m i n},

das ja immer noch in Beziehung zu a steht (ohne Nebenrechnungen):

O' = 0 \to a = \frac{500}{{(x_{m i n})}^{2}}

x_{m i n}

wandert beim Ändern von

a

in der Gegend umher, und zwar auf der roten Linie.

Diese bekommt man, indem man das

a,

abhängig von

x_{m i n}

bei

O (x)

einsetzt:

O_{m i n} = 2 \cdot (\frac{1000}{x_{m i n}} + {(x_{m i n})}^{2})

(rote Linie)

Alle Tiefpunkte der blauen Linie befinden sich auf der roten Linie.
Davon kannst Du Dich auch rechnerisch überzeugen, indem Du für a einige Werte ausprobierst,

z . B

a = 5

.

Das Minimum der roten Linie erhält man durch Ableiten und bringt das von Dir erwähnte Ergebnis (Würfel)

O_{m i n}' = 0 \to x_{m i n, m i n} = \sqrt[3]{500}

Bringt Dich das weiter? Let me know.

:-)

pleindespoir aktiv_icon

09:58 Uhr, 27.12.2016

GeoGebra ist das Mittel der Wahl - leicht zu bedienen und reicht für (fast) alles.

rational aktiv_icon

03:10 Uhr, 29.12.2016

Hallo,

Ich hatte die letzten Tage viel um die Ohren und konnte deshalb nicht früher antworten, aber danke für die schnelle Rückmeldung und die Bemühungen.

@Stephan4
Da meine Rechenwege ziemlich ähnlich waren, konnte ich deine Ausführungen gut nachvollziehen und meiner Meinung nach könnte auch deine Grafik ziemlich nützlich für die Präsentation sein. Die Funktion

g (x)

stellt die Oberflächenfunktion von

x

mit veränderlichen a-Werten und

h (x)

die Oberflächenfunktion mit a eingesetzt, welches durch Ableitung berechnet wurde, dar? Allerdings weiß ich nun nicht was genau ich damit zeige bzw. auf welche Teilaufgabe sich dies bezieht.
"Verwenden Sie hierzu auch die Darstellung der Isoquanten und geeignete Schnittkurven mit Ebenen parallel zur

(x,

z)-Ebene und

(y,

z)-Ebene." Mein eigentliches Problem ist, dass ich diesen Teil der Aufgabenstellung nicht verstehe. Bisher haben wir keine Isoquanten im Unterricht behandelt. Deshalb kann ich mit dem Begriff nichts anfangen und weiß dementsprechend nicht was hier gefragt ist. Und unter "geeignete Schnittkurven mit den Ebenen aufzuzeigen" kann ich mir auch nichts vorstellen...
Ich bin mir ziemlich sicher, dass wenn ich wüsste was hier überhaupt gefragt ist, ich die Aufgabe ohne weiteres selbst lösen könnte. Hast du eine Idee?

@pleindespoir
GeoGebra kam mir auch zuerst in den Sinn, da ich dieses Programm aus dem Unterricht kenne. Allerdings wurde mir die

3 D

Funktion sehr eigenartig oder fehlerhaft dargestellt und aufgrund dessen bin ich dann auf Wolfram Alpha umgestiegen, welches ja auch in der Aufgabenstellung empfohlen wurde. Eventuell lag dies ja am falschen Umgang meinerseits mit GeoGebra, aber ich habe es nicht hinbekommen. Ich bin dort einfach auf die 3D-Grafik ansicht gegangen und habe die Funktionsgleichung eingegeben. Könntest du, falls du die Zeit findest, kurz überprüfen ob die von mir gegebene Oberflächenfunktion bei dir richtig dargestellt wird?

Vielen herzlichen Dank nochmals für die bisherige Hilfestellung. Ich weiß das wirklich zu schätzen.

Grüße
Andre

Roman-22

12:07 Uhr, 29.12.2016

>

Mein ihr, dass als Visualisierung der

3 D

plot ausreicht?
Ja und nein. Onkel Wolfram wählt hier selbständig einen kleinen Ausschnitt, bei dem sich

x

und

y

nur in etwa zwischen 7 und 9 bewegen, da dies der Bereich um das erreichbare Minimum ist, welches ja bei

(5 \cdot \sqrt[3]{4} / 5 \cdot \sqrt[3]{4} / 300 \cdot \sqrt[3]{2}) \approx (7,937 / 7,937 / 377,976)

liegt.
Ein Ergebnis, welches dir auch Wolfram zumindest numerisch mittels
http://www.wolframalpha.com/input/?i=minimize++2(xy%2B500%2Fy%2B500%2Fx)+with+x%3E0,+x%3C500+,+y%3E0,y%3C500,+z%3E0
liefert.
Im Grunde könnten sich die

x -

und y-Werte im Bereich von 0 bis

500

bewegen (EDIT: das ist falsch

- x

und

y

können beliebig groß sein) und die Fläche sind dann optisch gänzlich anders aus
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot3D++2(xy%2B500%2Fy%2B500%2Fx)+,x%3D10%5E-2..500,y%3D10%5E-2..500
weil der relevante Teil um das Minimum hier kaum mehr erkennbar ist.
Außerdem ist ein sehr großer Teil der dargestellten Fläche nun für das Problem überhaupt nicht relevant, weil natürlich nur

x -

und y-Werte zulässig wären, für die

x \cdot y < 500

gilt. EDIT: Auch das stimmt nicht. Die einzige Beschränkung ist

x > 0

und

y > 0

.

So gesehen ist wohl die automatische Ausschnittswahl von Onkel Wolfram durchaus vernünftig und brauchbar.
Denkbar wäre noch, dass du selbst einen weiteren Ausschnitt wählst, zB
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot3D++2(xy%2B500%2Fy%2B500%2Fx)+,x%3D3..15,y%3D3..15
um zu demonstrieren, wie die Fläche iW aussieht und das sie keinesfalls (wie es der Ausschnitt von Wolfram vl vermuten lässt) ein simples Paraboloid ist.

>

Die Darstellung der Isoquanten und geeignete Schnittkurven mit Ebenen parallel zur xz-Ebene und yz-Ebene stellt für mich persönlich das eigentliche Problem dar.
Nun, die Isoquanten sind einfach jene Linien auf der Fläche, bei denen der Funktionswert gleich ist. Es sind also ganz simpel die Höhenlinien, Schichtenlinien oder Contourlinien und die zeigt dir Wolfram ganz bequem an, wenn du den Button "Show contour lines" neben der 3D-Grafik drückst. Außerdem sind sie ja auch darunter im Contourplot dargestellt.

Was die (wozu auch immer) geforderten Schnitte mit den zweiten und dritten Hauptebenen anlangt, so sind diese ja bloß die Gitterlinien, die Wolfram angezeigt hat, bevor du auf "Show contour lines" gedrückt hast ;-)
Vielleicht ist aber auch gewollt, dass du ausgewählte Exemplare dieser Kurven einfach in einem 2D-Diagramm zeichnest. Wähle dazu zB einen festen Wert für

x,

etwa

x = 5

und setze diesen in die Funktion

O (x, y)

ein. Du erhältst eine Funktion in

y,

die du nun in einem

2 D

y-z-Koordinatensystem plotten kannst.

Mir ist nicht ganz klar, wie diese ganzen Kurven in Hinblick auf die Bestimmung des Minimums helfen sollten. Dieses wird doch einfach bestimmt, indem man die beiden ersten partiellen Ableitungen der Zielfunktion Null setzt.
Natürlich sieht man an den Höhenlinien, dass sie sich um einen Punkt "zusammenschnüren" und auch bei den beiden anderen Schnittkurven ist bei jeder ein eindeutiges Minumum erkennbar. Etwa für die Schnitte in zweiter Hauptlage parallel zur yz-Ebene, also für x=const, stellt sich das Minumum immer bei

y = \sqrt{\frac{500}{x}}

ein.
Vielleicht ist bei der ganzen Aufgabe auch nur das gemeint.

pleindespoir aktiv_icon

17:23 Uhr, 29.12.2016

Du musst die z-Achse in einen anderen Maßstab bringen - die Funktion ist viel zu steil für 1:1 Darstellung. 1:1000 sieht so aus:

www.geogebra.org/m/XBpaT5vA

gefällt's Dir ?

Um bei Onkel Wolfi Darstellungen ändern zu können braucht man 1. Ahnung und 2. einen PRO-Zugang und 3. Geld um den zu löhnen.

Ich würde einen screenshot von WA nicht mit Pluspunkten küren, wenn ich Dein Lehrer wäre!

Roman-22

19:17 Uhr, 29.12.2016

Lieber pleindespoir!
Bei Onkel Wolfram kann man den zu plottenden Bereich auch ohne Einwurf kleiner Münzen frei wählen und damit einen Plot, der iW dem deinen entspricht, erzeugen. Wie es geht, hab ich ja durch die Links in meinem obigen Beitrag auch beschrieben, für dich jetzt extra noch ein Bild.
Bild1

Wie man Onkel Wolfram dazu bringt, für die Gesamthöhe des Plots mehr Raum zu veranschlagen (so wie er es ja auch macht, wenn man keine Plotgrenzen angibt), ist mir leider nicht bekannt.

Leider muss ich dir aber sagen, dass, wäre ich der Lehrer von rational, ich deinen Plot mit Minuspunkten "küren" müsste, da er so eine Art Themenverfehlung darstellt bzw. ich dem Studenten unterstellen müsste, nicht sonderlich viel nachgedacht zu haben.
Grund ist, dass das Dargestellte kaum etwas mit der Aufgabenstellung zu tun hat, da es die Grenzen für

x

und

y

(beide nur sinnvoll von 0 bis

500)

und auch deren Zusammenhang

(x \cdot y

kann ebenfalls

500

nicht übersteigen) nicht berücksichtigt. Dein Plot, bei dem sich

x

und

y

im Bereich von

- 6

bis

+ 6

bewegen, zeigt einfach einen extrem falschen/unpassenden Ausschnitt. Nichtmal das gesuchte Minimum liegt im dargestellten Bereich. Vorschläge für passendere Ausschnitte findest du in meinem obigen Beitrag.
Naja, und dass du einfach die Funktion änderst, also etwas anderes zeichnest, als gefordert, nur weil du in dem Programm die Skalierung der z-Achse nicht ändern kannst, das ist schon recht grober Pfusch, oder?

Geogebra ist sicher ein sehr nettes Programm, aber für diese Aufgabe müsste das 3D-Modul noch kräftig nachrüsten, denke ich. Der lehrer von rational, der ja offenbar auch Geogebra seinen Schülern näher brachte, wird sich vielleicht etwas dabie gedacht haben, als er für diese Aufgabe Onkel Wolfram vorgeschlagen hatte. Kann Geogebra eigentlich automatisch die Schichtenlinien einzeichnen oder einen Konturplot erstellen?

R

pleindespoir aktiv_icon

19:41 Uhr, 29.12.2016

GeoGebra ist recht leicht zu bedienen - das reduziert die Benutzungshürde.

Es gibt auch wesentlich "bessere" Programme - darunter sogar eine Freeware, die dem Münzenhungrigen kaum nachsteht. Nach einer Woche Intensivtraining bekommt man schon einen Kreis und eine Linie auf den Schirm - knapp 10.000 Seiten A4 als pdf wollen eben erstmal gelesen werden.

Anbetrachts der Fragen über einfachste Bedienung von Standerd-TRs hier im Forum ist so ein Profiprogramm sicher nicht der grosse Wurf für jemanden der bis zum Abi vielleicht ein Dutzend Mal eine 3D-Funktion malt und danach nur noch einen Stift in die Hand nimmt, um seinen Antrag zu unterschreiben.

---

Ich hatte die Skalierung zu extrem gemacht - hier eine entschärfte Version mit Definitionsbereichsberücksichtigung:

www.geogebra.org/m/tG2DdFbU

Jetzt sieht man schön die "Pfütze", die sich unter dem Niveau 5 (mal hundert) bildet.

automatisch kann man bei Geogebra übrigens alles machen lassen, was nicht manuell eingegeben werden muss - es erinnert mich irgendwie an ein Computerprogramm - die blöden Teile können noch immer keine Gedanken lesen ...

Roman-22

21:02 Uhr, 29.12.2016

>

GeoGebra ist recht leicht zu bedienen - das reduziert die Benutzungshürde.
Auch wenn "leicht" relativ ist und man als Erfahrener idR sehr schwer die Einstiegshürden abschätzen kann - Geogebra ist in sehr vielen Bereichen, vor allem dort, wo zum genialen Konzept später noch was dazugepfriemelt wurde, wie eben

3 D,

aber auch im Bereich Symbolik (CAS), alles andere als intuitiv zu bedienen.
Trotzdem geb ich dir Recht, dass bei Geogebra die Einstiegshürden zum Teil niedriger sind als bei professionellen Programmen.
Und dennoch - für DIESEN Job ist es halt doch nicht das bevorzugte Werkzeug. Wolfram wurde wohl aus gutem Grund in der Aufgabenstellung extra erwähnt und wenn der Lehrer das macht, sollte man dem Fragsteller nicht unbedingt ein weniger geeignetes Programm unterjubeln. Wie du gesehen hast, bekommt man bei Onkel

W

sogar ohne zusätzliche Eingabe einen für die Aufgabe sehr brauchbaren Ausschnitt (wiewohl ich solchen automatischen "lass mal, ich mach das schon für dich" sonst eher skeptisch gegenüberstehe).

>

Es gibt auch wesentlich "bessere" Programme - darunter sogar eine Freeware, die dem Münzenhungrigen kaum nachsteht.
?? Du meinst jetzt aber nicht etwas Maxima, oder?

>

hier eine entschärfte Version mit Definitionsbereichsberücksichtigung:
Ja, das sieht deutlich besser aus - auch wenn es um keine "Dose" und auch um keinen "Umfang" geht ;-)

>

automatisch kann man bei Geogebra übrigens alles machen lassen, was nicht manuell eingegeben werden muss
Also nicht gar so viel, meinst du?. Ich entnehme deiner Antwort ein "Nein" als Antwort auf meine Frage, ob man in Geogebra in einem 3D-Plot, der in kartesischen Koordinaten gegeben ist, automatisch (=durch Drücken eines Knöpfchens wie bei Wolfram, setzen eines Häkchens, eingeben eines Parameters/Argumenst,...) die Schichtenlinien (die ja in der Aufgabe auch verlangt sind) einzeichnen lassen kann. Die Fläche mit einer Schar paralleler Ebenen zu schneiden, die Ebenen dann auszublenden und nur die Schnittlinien zu zeigen wird, wie ich vermute, funktionieren, ist aber nicht das, was ich mir unter "automatisch" wünschen würde.

>

es erinnert mich irgendwie an ein Computerprogramm - die blöden Teile können noch immer keine Gedanken lesen

. .

.
Du bist nicht am Laufenden - da gibts durchaus schon Ansätze.

pleindespoir aktiv_icon

21:29 Uhr, 29.12.2016

"da gibts durchaus schon Ansätze"

Ich kenne die Ansätze - allein die Spracheingabe ist in den letzten 3 Jahrzehnten erheblich besser geworden, aber meine Erwartungen sind noch immer nicht wirklich erfüllt, was dieses Thema angeht.

Was das "Denken" von Computern angeht - das wird wohl noch dauern. Immerhin arbeitet unsere Bildungspolitik schon mal mit grosser Energie daran, die kommenden Generationen sehr stark zu verblöden, dass der Anspruch an die Technik nicht mehr sooo groß sein wird ...

rational aktiv_icon

23:18 Uhr, 29.12.2016

@Roman-22
Vielen Dank! Deine Antwort war mir eine große Hilfe und hat mir einiges an Klarheit verschafft. Ich habe mitunter einfach keinen weiteren Sinn in den verschiedenen Teilaufgaben bezogen auf die eigentliche Aufgabenstellung gesehen und nehme an, dass ich deshalb einige Probleme mit der Aufgabenstellung hatte. :-)

@pleindespoir
Vielen Dank auch dir! Das mit dem Maßstab ergibt für mich Sinn, deshalb wahrscheinlich die eigenartige Darstellung. Allerdings muss ich dir im Bezug auf "Ich würde einen screenshot von WA nicht mit Pluspunkten küren, wenn ich Dein Lehrer wäre!" widersprechen. Wenn mir eine Lehrkraft explizit ein gewisses Programm für eine Aufgabenstellung empfiehlt, kann diese ja nicht davon ausgehen, dass ich mir als Schüler einen kostenpflichtigen Zugang zu diesem verschaffe. Dementsprechend muss die Lehrkraft sich doch darüber im Klaren sein, dass ich zur Bearbeitung der Aufgabe nur die kostenlosen Funktionen nutzen werde. Ich denke also schon, dass die Empfehlung dieses speziellen Programms einen gewissen Sinn hat und es nicht ohne Grund gewählt wurde.

Ich muss sagen, dass ich das Thema eigentlich recht interessant finde. Allerdings frage ich mich wieso ich mehr Zeit für das Studieren von mir völlig unbekannten Programmen, als für das Lösen des eigentlichen Problems aufbringen muss. Aber das ist wohl eine andere Sache..

Vielen Dank nochmals für die Hilfe von euch allen!

Roman-22

01:49 Uhr, 30.12.2016

>

@Roman-22

>

Vielen Dank!
Gern geschehen.

Allerdings fällt mir nun auf, dass ich in einer gewissen geistigen Umnachtung Unfug geschrieben habe, was die Grenzen für

x

und

y

anlangt.
Dass beide größer Null sein müssen, das ist klar. Aber es ist keinesfalls so, dass es für irgendeinen der beiden eine Obergrenze (ich hatte

500

behauptet) gäbe und auch das behauptete

x \cdot y < 500

ist Unfug. Es ist vielmehr so, dass

x

und

y

beliebig groß werden dürfen, ein entsprechend kleines

z

gleicht das dann schon wieder aus.

rational aktiv_icon

15:27 Uhr, 30.12.2016

Hallo Roman-22,

Achso hier hatte ich jetzt wohl auch einen Denkfehler. Ich nahm auch an, dass

x \cdot y < 500

sein müssten, da ja das Volumen 500cm³ betragen sollte. Für den Fall, dass

z < 1

wäre, könnte bzw müsste ja

x \cdot y > 500

sein.
Danke, dass du mich nochmal darauf hingewiesen hast!

Grüße
Andre

Roman-22

15:55 Uhr, 30.12.2016

Genau so ist es. In die gleiche Denk-Fallgrube bin ich wohl auch geplumpst.
Aber es gibt nach oben keine Grenzen für

x

und

y

und es gibt auch keinen Zusammenhang zwischen den beiden Größen, der beachtet werden müsste. Man darf beide unabhängig voneinander beliebig groß wählen. Das Einzige, das es zu beachten gilt, ist, dass beide positiv sein müssen.
Natürlich bewirken große Werte für

x

und/oder

y

auch eine große Oberfläche (daran ändert das kleine

z

auch nicht mehr viel) und das zeigt sich ja auch im 3D-Plot. Sehr kleine x-Werte sorgen für eine große Oberfläche wegen des Ausdrucks

\frac{500}{x}

und sehr große Werte ebenfalls wegen des Summanden

x \cdot y

.
Dieses Verhalten zeigt sich schön in den Schnittkurven parallel zur xz- oder yz-Ebene.
Etwa y=const.: Für kleine

x

nahe 0 saust die Kurve steil nach oben (senkrechte Asymptote), während sie für wachsende x-Werte eher gemächlich gegen unendlich strebt (lineare Asymptote mit Anstieg

2 y)

.
Und zwischen sehr groß und sehr klein lieht eben der Wert

x = y \approx 7,937,

der für die kleinstmögliche Oberfläche sorgt.

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