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Funktion zu Gradient finden

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Gewöhnliche Differentialgleichungen

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Partielle Differentialgleichungen

Kerstin89 aktiv_icon

22:23 Uhr, 10.06.2011

Hallo Experten,

gesucht ist eine Funktion

f (x, y)

für die gilt : grad

f (x, y) = 2 x + y, 2 y + x)

Ich weiß ja, dass der Gradient aus den partiellen Ableitungen fx und fy besteht...
Muss ich jetzt nunja..partiell integrieren oder wie gehe ich da vor?
Grüße und Danke im Vorraus
Kerstin

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

michaL aktiv_icon

22:58 Uhr, 10.06.2011

Hallo,

ist doch eigentlich ganz einfach. Gesucht ist

f (x, y)

. Gegeben ist dir

grad (f (x, y)) = (f_{x} (x, y), f_{y} (x, y)) = (2 x + y, 2 y + x)

.

Also ist

f_{x} (x, y) = 2 x + y

. Dann muss doch

f (x, y) = \int 2 x + y d x = x^{2} + x y + C

sein, wobei die Integrationskonstante

C

selbst eine Funktion

C (y)

von

y

sein darf (bezogen auf

x

ist

y

konstant).

Um

C (y)

herauszubekommen, muss ja gelten:

2 y + x = f_{y} (x, y) = \frac{d (x^{2} + x y + C (y))}{d y} = x + C ʹ (y)

.

Nun vergleiche selbst den linken und den rechten Term der Gleichungskette und finde ein geeignetes

C (y)

.

Mfg Michael

Kerstin89 aktiv_icon

11:54 Uhr, 11.06.2011

C' (y) = 2 y

dann integriere ich

C' (y)

wieder um

C (y)

zu erhalten und bekomme

C (y) = y^{2} + c

Dann lautet die Funktion

f (x, y) = x^{2} + x \cdot y + y^{2} + c

Sollte passen.
Dickes Danke!

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