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Funktionen Parameterform Integrieren,Sektorformel

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Leipnizsche Sektorformel., Parameterdarstellung

dennis98 aktiv_icon

02:50 Uhr, 31.08.2020

Hallo Leute,

ich bin grade wirklich verzweifeln, irgendwie krieg ich die Aufgabe nicht gelöst, weil ich hier beim Integrieren nicht durchblicke.

Aufgabe:

gegeben Zeichnung Bild im Anhang.

x (t) =

2cos(t)+cos(t)

y (t) =

2cos(t)*sin(t)+sin(t)

t

∈

[0, 2 π]

Berechnen soll ich die Fläche innerhalb der großen, aber außerhalb der kleinen Schleife und soll die leipnizsche Sektorformel verwenden.
Wir lassen mal das einsetzen der Integralgrenzen bei Seite, den das ist ja das geringste Problem am Ende. Mir geht ist nur im das Integral.

Also ich habe schon mal:

x'=-4cos(t)*sin(t)-sin(t)
y'=2cos(t)+cos(t).

Formel:

\frac{1}{2} \int (x \cdot y') - (x' \cdot y)

Wenn ich da alles einsetze bekomme ich einen so großen Term, dass ich da gar nicht mehr durchblicke was ich machen soll.

Daher würde ich mich sehr freuen wenn wir das gemeinsam lösen können, sodass ich es nachvollziehen kann und es auch für meine Vorbereitung nutzen kann.

Vielen Dank im voraus für jede Hilfe.

Liebe Grüße

Dennis

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

09:30 Uhr, 31.08.2020

Bei der Angabe hast du ein Quadrat unterschlagen und dein

y' (t)

solltest du in jedem Fall nochmals überdenken.

Ansonsten - ja, das wird ein etwas unübersichtlicher Intergrand. Du solltest ihn aber mithilfe der Doppelwinkel-Formeln so umschrieben können, dass er sich relativ leicht integrieren lässt.

Du kannst die Doppelwinkelformeln bereits auf die Angabe anwenden:

x (t) = cos (2 t) + 1 + cos (t)

y (t) = sin (2 t) + sin (t)

Durch geschicktes Zusammenfassen und benutzen des trigonometrischen Pythagoras lässt sich der ganze Integrand zu

3 + 2 \cdot cos (2 t) + 4 \cdot cos (t)

vereinfachen. Das lässt sich leicht intgerieren und ausgewertet von 0 bis

\frac{2 π}{3}

(Ausnutzung der Symmetrie) ergibt sich dann die Fläche

2 π + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \approx 8,881

dennis98 aktiv_icon

16:31 Uhr, 31.08.2020

Hi,

zu

y'

hab ich wie du schon bereits erwähnt hast für

2 \cdot cos (t) \cdot sin (t) = sin (2 t)

eingesetzt.

Hab die Ableitung nochmal nachgerechnet und komme auf:

2 \cdot cos (2 t) + cos (t)

.

Für

x

hast du dann

cos (2 x) = 2 \cdot {cos}^{2} (x) - 1

\Rightarrow 2 \cdot {cos}^{2} (x) = cos (2 x) + 1

eingesetzt.

Das war jetzt für mich als Verständnis gedacht.

Wie genau kamst du auf die Integralgrenzen eig? :-D)
Ich hätte von 0 bis 2pi integriert und anschließend die eingeschlossene Fläche abgezogen.

Ich werde das gleich nach der Arbeit nochmals schriftlich alles ausrechnen und mich würde es freuen wenn du drüber schauen könntest.

Das ist für mich eine enorme Hilfe!

Liebe Grüße Dennis

Roman-22

17:48 Uhr, 31.08.2020

>

Ich hätte von 0 bis 2pi integriert und anschließend die eingeschlossene Fläche abgezogen.
Und wie hättest du diese kleine eingeschlossene Fläche ermittelt, ohne zu wissen, für welche Parametergrenzen sie sich ergibt?
Außerdem: Wenn du von 0 bis

2 π

integrierst, dann erhältst du die komplette eingeschlossene Fläche plus nochmals die kleine Fläche! Du müsstest den kleinen Tropfen also doppelt abziehen!
Zur Erläuterung hier der Unterschied zwischen der Integration bis 2pi/3 und bis

π

. Letzteres verdoppelt sich, wenn du bis

2 π

integrierst, der kleine Tropfen geht dann doppelt ins Ergebnis ein.

>

Wie genau kamst du auf die Integralgrenzen eig? :-D))

Für

t = 0

sind wir rechts bei

(3 / 0)

.
Für

t = \frac{π}{2}

sind wir bereits in

(0 / 1)

und für

t = π

im Punkt

(1 / 0)

.
Irgendwann zwischen

t = \frac{π}{2}

und

t = π

durchlaufen wir also den Doppelpunkt in

(0 / 0)

. Diesen t-Wert erhältst du, indem du

x (t) = 0

nach

t

auflöst (hier sinnvollerweise ohne Doppelwinkel, sondern simpel durch Ausklammern von

cos t)

oder wahlweise auch

y (t) = 0

.
Das ergibt (für

x (t) = 0)

abgesehen von

t = \frac{π}{2}

eben auch die Lösung

t = 2 \frac{π}{3}

(und

4 \frac{π}{3}

und

3 \frac{π}{2}, ...)

.
Für

t = 0

bis

t = 2 \frac{π}{3}

überstreichst du also die obere Hälfte des gewünschten Bereichs.

Die kleine Fläche musst du aber trotzdem noch von der von mir oben genannten Fläche abziehen, sodass sich als Endergebnis dann

π + 3 \sqrt{3} \approx 8,338

ergibt.

dennis98 aktiv_icon

18:32 Uhr, 31.08.2020

Hi,

vielen Dank für die ausführliche Erklärung.

Ich hätte evtl. die folgende Tabelle noch mit geben sollen, worauf man am Anfange die

x

und

y

Werte berechnen soll und anschließend die

t

Grenzwerte für die kleine Schleife.

Anhand der Tabelle konnte ich tu

= 0

und to

= \frac{4}{3} \cdot π

ermitteln.
Richtig?

Da wäre mir halt der Gedanke gekommen erst von 0 bis 2pi die Fläche zu berechnen und anschließend mit der Fläche von 0 bis

\frac{4}{3} \cdot π

zu subtrahieren.

Dein Ansatz ist sicherlich richtig, ist mir nur auf dem ersten Blick her etwas kompliziert gewesen.

Liebe Grüße

Dennis.

Roman-22

18:57 Uhr, 31.08.2020

>

Richtig?
Nein!
Ich hatte doch schon geschrieben und du solltest das ja auch schon in der Tabelle eingetragen haben, dass

t = 0

auf den Punkt

(3 / 0)

führt und der hat mit der kleine Schleife der Pascal-Schnecke nichts zu tun.
Ergänze doch einfach wie verlangt die Tabelle und du wirst einen weiteren t-Wert finden, der zum Punkt

(0 / 0)

führt.

Auch dein Ansatz mit der Integration von 0 bis

2 π

weniger jener von 0 bis

4 \frac{π}{3}

liefert nicht das gewünschte Ergebnis.

dennis98 aktiv_icon

20:17 Uhr, 31.08.2020

Ok,

vielen Dank vorerst.

Ich mach mich dann nochmals an die Aufgabe ran und schreibe mir jetzt alles schriftlich auf und ergänze die Tabelle.

Anschließend löse ich das Integral und werden mich dann heute Abend nochmals melden.

Ich vermute, dass du schon dann Offline bist, aber ich kann auch bis morgen auf eine Antwort warte, das ist kein Problem.

dennis98 aktiv_icon

17:09 Uhr, 01.09.2020

Hi,

ich hab das Integral mal aufgeschrieben und versucht es zu berechnen, aber irgendwie hab ich Schwierigkeiten bei der Vereinfachung.

Daher würde ich mich freuen wenn du mir dabei helfen könntest.

Nun ich hab folgendes nach der Sektorformel stehen:

\frac{1}{2} \int (cos (2 t) + 1 + cos (t)) \cdot (2 \cdot cos (2 t) + cos (t)) - (- 2 \cdot sin (2 t) - sin (t)) \cdot (sin (2 t) + sin (t))

Wir würdest du mir empfehlen an so ein Integral ran zu gehen?

Ich scheitere hier wirklich am Integral.

ledum aktiv_icon

23:46 Uhr, 01.09.2020

rechne erst mal die Klammern aus, dann benutze

{sin}^{2} + {cos}^{2} = 1

und es wird VIEL einfacher.
wenn man den Rest dann nicht kann gibts integralrechner.de im Netz
Gruß ledum

Roman-22

01:24 Uhr, 02.09.2020

>

Ich scheitere hier wirklich am Integral.
Nein, tust du nicht. Du scheiterst daran, den Integranden nicht vereinfachen zu wollen.
Ich habe doch schon in meiner ersten Antwort

(09 : 30

Uhr,

31.08.2020)

geschrieben "Durch geschicktes Zusammenfassen und Benutzen des trigonometrischen Pythagoras lässt sich der ganze Integrand zu 3+2⋅cos(2t)+4⋅cos(t) vereinfachen." und bei diesem Term wirst du doch sicher keinen Integralrechner benötigen, oder?
Also rechne doch die lange Wurst endlich aus, fasse zusammen, wende den Trig.Pyth. an, so wie es dir eben auch ledum geraten hat, und schreib hier dann an, wie weit du gekommen bist.

dennis98 aktiv_icon

10:43 Uhr, 02.09.2020

Wenn ich alles ausrechne:

\Rightarrow \frac{1}{2} \int (2 \cdot {cos}^{2} (2 t) + cos (2 t) \cdot cos (t) + 2 \cdot cos (2 t) + cos (t) + 2 \cdot cos (2 t) \cdot cos (t) + {cos}^{2} (t)

+ 2 \cdot {sin}^{2} (2 t) + 2 \cdot sin (2 t) \cdot sin (t) + sin (t) \cdot sin (2 t) + {sin}^{2} (t))

So dann hab ich erstmal diesen langen Term heraus.
Also ich hab halt 1 mal

{cos}^{2} (t) + {sin}^{2} (t),

wofür ich 1 einsetzen kann.

@ledum, ja ich kenn den Integralrechner, will aber es selber lösen können :-D)
Ist für mich auch als Übung gedacht.

Das zusammengefasste Integral ist kein Problem.

Ich kriege die geschickte Umformung nicht, da ich leider auch keine große Übung dazu hatte.
Man hat halt alles dieses Semester Online gehabt und die Leute antworten einem auch garnicht.

Aufgaben wie

x (t) = sin (t)

und y(t)=2cos(t) werden vorgerechnet Online und leider mehr auch nicht...

Daher bin ich hier in der Hoffnung, dass ich bessere Hilfe bekomme,
sodass ich auch verstehe welche Umformung wo gemacht wurde.

Nochmals lieben Dank für die Hilfe.

Respon

12:21 Uhr, 02.09.2020

[cos (t) + cos (2 \cdot t) + 1] \cdot [cos (t) + 2 \cdot cos (2 \cdot t)] - [- sin (t) - 2 \cdot sin (2 \cdot t)] \cdot [sin (t) + sin (2 \cdot t)] =

= {cos}^{2} (t) + 2 \cdot cos (t) \cdot cos (2 \cdot t) + cos (t) \cdot cos (2 \cdot t) + 2 \cdot {cos}^{2} (2 \cdot t) + cos (t) + 2 \cdot cos (2 \cdot t) +

+ {sin}^{2} (t) + 2 \cdot sin (t) \cdot sin (2 \cdot t) + sin (t) \cdot sin (2 \cdot t) + 2 \cdot {sin}^{2} (2 \cdot t) =

= 3 + 3 \cdot cos (t) \cdot cos (2 \cdot t) + 3 \cdot sin (t) \cdot sin (2 \cdot t) + cos (t) + 2 \cdot cos (2 \cdot t)

3 \cdot cos (t) \cdot cos (2 \cdot t) + 3 \cdot sin (t) \cdot sin (2 \cdot t) =

= 3 \cdot [cos (2 \cdot t) \cdot cos (t) + sin (2 \cdot t) \cdot sin (t)] =

= 3 \cdot cos (2 \cdot t - t) = 3 \cdot cos (t)

\Rightarrow

3 + 3 \cdot cos (t) \cdot cos (2 \cdot t) + 3 \cdot sin (t) \cdot sin (2 \cdot t) + cos (t) + 2 \cdot cos (2 \cdot t) = 3 + 4 \cdot cos (t) + 2 \cdot cos (2 \cdot t)

(Tippfehler suchne, finden, ausbessern)

dennis98 aktiv_icon

16:09 Uhr, 02.09.2020

Hi,

ich hab nochmals alles nachgerechnet.

Bei

3 \cdot cos (2 t) \cdot cos (t) + 3 \cdot sin (2 t) \cdot sin (t),

hast du es in die Winkelfunktion

cos (x 1 - x 2)

umgerechnet, das die beiden Terme addiert werden.

Wäre es eine Subtraktion so hätte man

cos (x 1 + x 2)

gerchnet. (für mich als Verständnis)

Aus

2 \cdot ({cos}^{2} (2 t) + {sin}^{2} (2 t))

hast du dementsprechend den Pythagoras verwendet, sodass

2 \cdot 1

gilt
und für den Term dann nur noch eine 2 steht und mit dem

{sin}^{2} (t) + {cos}^{2} (t)

haben wir noch einen Term der 1 ergibt und somit

2 + 1 = 3

An dieser Stelle muss ich sagen, hatte ich nicht im Kopf, dass

{cos}^{2} (2 t) + {sin}^{2} (2 t) = 1

gilt.
Wieso? Wegen den

2 t,

wobei es ja eigentlich egal ist was drinnen steht, Hauptsache es ist das selbe, sodass 1 rauskommt.

Somit bleibt am Ende

\frac{1}{2} \int (3 + 3 \cdot cos (t) + cos (t) + 2 \cdot cos (2 t) d t

\Rightarrow \frac{1}{2} \int (3 + 4 \cdot cos (t) + 2 \cdot cos (2 t) d t

\Rightarrow \frac{1}{2} \cdot [3 t - 4 \cdot sin (t) + sin (2 t)]

NR:

\int (2 \cdot cos (2 t) d t

\Rightarrow

Substitution:

u = 2 t,

du/dt

= 2; d t =

1/2*du

\Rightarrow 2 \cdot \int (cos (u) \cdot \frac{1}{2}

\Rightarrow \int (cos (u)

\Rightarrow sin (u) \Rightarrow sin (2 t)

Wenn ich mir das Ergebnis jetzt so anschaue denke ich einfach nur wie dumm ich war und diese
Beziehungen nicht erkennen konnte.

Vielen Dank an euch alle, das hier ist einfach die beste Community was Mathe angeht:-D)

Roman-22

16:41 Uhr, 02.09.2020

>

Bei 3⋅cos(2t)⋅cos(t)+3⋅sin(2t)⋅sin(t), hast du es in die Winkelfunktion cos(x1−x2) umgerechnet,
Ja, wenn man das Additionstheorem "sieht" ist das vermutlich der schnellste Weg.
Man kann aber auch wieder stur die Doppelwinkelformeln verwenden:

cos (2 t) \cdot cos t + sin (2 t) \cdot sin t = (1 - 2 \cdot {sin}^{2} t) \cdot cos t + 2 \cdot sin t \cdot cos t \cdot sin t =

= cos t - 2 \cdot {sin}^{2} t \cdot cos t + 2 \cdot {sin}^{2} t \cdot cos t = cos t

Mit "dumm" hat das übrigens nichts zu tun, wenn man, vor allem bei trigonometrischen Funktionen, geschickte Umformungen nicht sieht - eher mit (noch) mangelnder Übung und Erfahrung ;-)

Hast du nun das richtige Endergebnis

(π + 3 \sqrt{3})

raus?

dennis98 aktiv_icon

17:12 Uhr, 02.09.2020

Für die obere Fläche berechne ich im Intervall von tu=0 bis to=2/3pi

Da erhalte ich:

\frac{1}{2} \cdot [(3 \cdot \frac{2}{3} \cdot π + 4 \cdot sin (\frac{2}{3} \cdot π) + sin (2 \cdot \frac{2}{3} \cdot π)) - 0]

= \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot π + 2 \cdot \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = 4,44

Nun muss ja noch der eine Teil der abgeschlossenen Fläche davon abgezogen werden.
Hier setze ich dann, tu=2/3pi und to=pi ein und erhalte:

1/2*

[

8,88-3pi]=-0,27 bzw.

0,27

Dann

4,44 - 0,27 = 4,17

Dein Ergebnis ist das doppelte von meinem, hab ich da irgendwo einen Fehler gemacht?

Roman-22

18:05 Uhr, 02.09.2020

>

Dein Ergebnis ist das doppelte von meinem, hab ich da irgendwo einen Fehler gemacht?
Naja, du hast ja auch nur die obere Hälfte der gesuchten Fläche berechnet, da kann es schon helfen, das Ergebnis zu verdoppeln ;-)

dennis98 aktiv_icon

18:07 Uhr, 02.09.2020

Oh,

ich hatte irgendwie im Kopf nur die obere hälfte zu berechnen.

Aber für die Obere Fläche habe ich nun

4.17

und das mit 2 multipliziert ergibt ja die gesamte Flächer ohne der eingeschlossenen Fläche :-D)

Roman-22

22:49 Uhr, 02.09.2020

>

Aber für die Obere Fläche habe ich nun

4.17

und das mit 2 multipliziert ergibt ja die gesamte Flächer ohne der eingeschlossenen Fläche :-D))

Ja, aber ich würde beim exakten Ausdruck bleiben und nicht nur numerische Näherungen angeben.

Streng genommen subtrahierst du ja die falsche kleine Fläche, aber wegen der Symmetrie ist das egal.

Das Integral von 0 bis

2 \frac{π}{3}

liegfert die im Bild links gelb markierte Fläche, das integral von

2 \frac{π}{3}

bis

π

liefert aber die rechts gelb markierte Fläche.

P . S . :

Hab ich dich da vorhin richtg verstanden, dass du für das Integral von

2 \frac{π}{3}

bis

π

einen negativen Wert rausbekommen hast? Das wäre falsch.

dennis98 aktiv_icon

00:06 Uhr, 03.09.2020

Ups,

das war ein Fehler von mir. Habe ausversehen die Werte beim Integrieren vertauscht.
Habe

8.88 - 3 \cdot π

berechnen statt

3 \cdot π - 8,88

.

Das erklärt meinen negativen Wert von

- 0,27

.

Also ich hab die Werte in den Taschenrechner eingeben.
Vom Wert her ähnelt es ja deinem Wert, jedoch kam der Taschenrechner nicht auf

π + 3 \sqrt{3}

.
Wobei vermute mal, dass du die Werte nicht direkt zusammengerechnet hast, sondern erst als du alle Werte hattest, einfach schön zusammengefasst.

Hast du es eigentlich mit Matlab gelöst?
Oder wie kamst du auf das Ergebnis?

Roman-22

01:01 Uhr, 03.09.2020

Also für dieses Integral solltest du wirklich keinen TR und auch kein Matheprogramm benötigen!

Integriert hast du ja schon, und dass

sin (2 \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}

und

cos (2 \frac{π}{3}) = - \frac{1}{2}

sind, könnte/sollte man schon parat haben, oder?.
Und

sin

und

cos

von 0 und von

π

sollten auch bekannt sein.
Damit hast du dann

\int_{0}^{\frac{2 π}{3}} ...

d t = 2 π + \frac{3 \sqrt{3}}{2}

und

\int_{\frac{2 π}{3}}^{π} . .

d t = π - \frac{3 \sqrt{3}}{2}

. Und die Differenz ist dann ja kein Mirakel mehr.

dennis98 aktiv_icon

01:19 Uhr, 03.09.2020

Stimmt!

Dann kann ich ja

(2 \cdot π + \frac{3}{2} \cdot \sqrt{3}) - (π - \frac{3}{2} \cdot \sqrt{3})

rechnen, sodass man ganz bequem auf

π \cdot 3 \cdot \sqrt{3}

kommt.

Noch eine kurze Frage.

Die

\frac{1}{2}

vor dem Integral hat man ja mit 2 multipliziert, da man sich die Symmetrie der Skizze zum vorteil nutzt richtig?

Also ich denke man hätte das

\frac{1}{2}

auch stehen lassen können, jedoch müsse man am Ende mit 2 multiplizieren, da wir ja nur die obere Fläche berechnet haben.
Aber wie mein Dozent immer sagt, Mathematiker sind faul^^

Ich bedanke mich wirklich herzlich bei dir und natürlich auch bei den anderen!
Das wir die Aufgabe auch so ausführlich mit Skizze und Erklärungen gemeinsam gelöst haben, hat mir sehr geholfen und auch Spaß gemacht :-D)

Ich hab halt meine Mathe 3 Prüfung in 2 Wochen und das war eine Altklausuraufgabe, die mich einfach zum verzweifeln gebracht hat und so ein Aufgabentyp kommt immer vor...am Ende denkt man sich mhhh war doch einfacher als gedacht^^

Roman-22

08:20 Uhr, 03.09.2020

>

Die

12

vor dem Integral hat man ja mit 2 multipliziert, da man sich die Symmetrie der Skizze zum vorteil nutzt richtig?
So ist es, ja.

>

Also ich denke man hätte das

12

auch stehen lassen können, jedoch müsse man am Ende mit 2 multiplizieren, da wir ja nur die obere Fläche berechnet haben.
Natürlich, ja. Ist ja das Gleiche.

>

Aber wie mein Dozent immer sagt, Mathematiker sind faul^^
Definitiv. Warum sich das Leben schwerer machen als nötig?
Man sollte es dabei allerdings mit Einstein halten, dem folgendes Zitat zugeschrieben wird: "Man muss die Dinge so einfach wie möglich machen. Aber nicht einfacher."

dennis98 aktiv_icon

15:09 Uhr, 03.09.2020

Ja, das ist schon ein sehr schönes Zitat!

Nochmals danke für die Hilfe, ich weiß das wirklich sehr zu schätzen.

Viele Grüße

Dennis

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