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Funktionen drehen

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Funktionen

Tags: Brennpunkt, drehmatrix, Funktion

Bruno Math

19:28 Uhr, 19.10.2019

Hi, ich soll von der Hyperbel

f (x) = \frac{1}{x}

die Brennpunkte bestimmen. Dazu drehe ich die Funktion mithilfe der Drehmatrix um -45 Grad, sodass die Scheitelpunkte auf der x-Achse liegen. Dann erhalte ich mit der Drehmatrix:

x ´ = x c o s (α) - y s i n (α)

und

y ´ = x s i n (α) + y c o s (α)

und wenn ich nun

α = - 45

, in der linken Gleichung

y = \frac{1}{x}

und in der rechten Gleichung

x = \frac{1}{y}

setze, erhalte ich:

x ´ = \frac{1}{\sqrt{2}} (x + \frac{1}{x})

y ´ = \frac{1}{\sqrt{2}} (y + \frac{1}{y})

.

Wie berechne ich davon denn die Brennpunkte? Ich bräuchte eigentlich die Form

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

einer Standardhyperbel, wovon ich dann die Brennpunkte mithilfe einer Formel berechnen kann.

Vielen Dank schonmal

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Respon

20:49 Uhr, 19.10.2019

Man könnte auch die elementargeometrischen Eigenschaften der ( gleichseitigen ) Hyperbel und ihrer Brennpunkte verwenden.

f (x) = \frac{1}{x}

Schnittpunkt mit der ersten Mediane

\Rightarrow

Scheitel und Halbachse

\frac{1}{x} = x \Rightarrow x = \pm 1 \Rightarrow a = b = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}

Berechnung der lineare Exzentrizität

e

e^{2} = a^{2} + b^{2} = a^{2} + a^{2} = 2 + 2 \Rightarrow e = 2

Schnitt von

x^{2} + y^{2} = 2^{2}

mit der Mediane

\Rightarrow

Brennpunkte

(\sqrt{2} | \sqrt{2})

bzw,

(- \sqrt{2} | - \sqrt{2})

Bruno Math

14:13 Uhr, 20.10.2019

Vielen Dank für deine Antwort. Wir haben jedoch weder Mediane noch die lineare Exzentrizität besprochen...

Wieso folgerst du aus

x = 1

, dass

a = b = \sqrt{2}

ledum aktiv_icon

17:57 Uhr, 20.10.2019

Hallo
seine 2 Gl haben einen Vorzeichenfehler,

x' = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (x - \frac{1}{x}), y' = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (x + \frac{1}{x})

jetzt

x'^{2} - y'^{2}

bilden und siehe da

: = 2

(aber man kann das auch direkt sehen, da du es ja mit einer rechtwinkligen Hyperbel zu tun hast also 2 gleiche Achsen , und die doppelte Achse geht von

(- 1,1)

nach

(1,1)

hat also die Länge

2 \cdot \sqrt{2})

Gruß ledum

Bruno Math

21:34 Uhr, 20.10.2019

Oh, dann ist mir da ein Fehler unterlaufen. Aber wie kommst du denn darauf, dass ich $x‘^

{

2}-y^{2}$ bilden muss?

Respon

21:42 Uhr, 20.10.2019

Die Eigenschaft einer Hyperbel bzw. die Grundgleichung der Hyperbel

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

sind simpler Schulstoff.
Dabei gilt
Der Abstand des Brennpunktes vom Mittelpunkt ist

e = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

.
Natürlich kannst du auch "drehen", ist hier aber nur unnötige Arbeit.

Bruno Math

09:42 Uhr, 22.10.2019

1. Ich erhalte

x ´^{2} - y ´^{2} = \frac{1}{2} (x - \frac{1}{x})^{2} - \frac{1}{2} (x + \frac{1}{x})^{2} = \frac{1}{2} (x^{2} - 2 + \frac{1}{x^{2}}) - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}}) = \frac{1}{2} x^{2} - 1 + \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{1}{2} x^{2} - 1 - \frac{1}{2 x^{2}} = - 2

2. Aber nach der Definition soll doch

x ´^{2} - y ´^{2} = 1

rauskommen, damit ich dann

a = b = 1

habe?

Respon

10:05 Uhr, 22.10.2019

Wenn du den Graph deiner Ausgangsfunktion

f (x) = \frac{1}{x}

um 45° im Uhrzeigersinn drehst, dann bekommst du eine gleichseitige Hyperbel mit

a = b = \sqrt{2}

mit der Gleichung

\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1

bzw.

x^{2} - y^{2} = 2

und den ( rechtsseitigen ) Brennpunkt

F_{1} (2 | 0)

( siehe Graph )

Bruno Math

15:39 Uhr, 23.10.2019

Jetzt habe ich es verstanden, danke. Wenn ich dann jetzt den Brennpunkt der Standardhyperbel

F_{1} = (2, 0)

habe, muss ich doch noch den entsprechenden Brennpunkt von

f (x) = \frac{1}{x}

ermitteln. Dazu drehe ich den Punkt um -45 Grad zurück, aber erhalte dann:

x = c o s (- 45) * 2 - s i n (- 45) * 0 = \sqrt{2}

y = s i n (- 45) * 2 + c o s (- 45) * 0 = - \sqrt{2}

Der Punkt erfüllt aber nicht die Bedingung an einen Brennpunkt und du hast ja bereits oben geschrieben, das die Brennpunkte

(\sqrt{2}, \sqrt{2})

und

(- \sqrt{2}, - \sqrt{2})

sind. Was habe ich denn jetzt wieder für einen Fehler gemacht?

ermanus aktiv_icon

16:10 Uhr, 23.10.2019

Hallo,
Respon hat im Uhrzeigersinn gedreht (

- 4 5^{o}

).
Du musst also mit

+ 4 5^{o}

zurückdrehen.
Gruß ermanus

Bruno Math

16:35 Uhr, 23.10.2019

Jetzt bin ich etwas verwirrt. Ich dachte, Respon hätte zuerst um 45 Grad gedreht und deshalb

x ‘ = \frac{1}{\sqrt{2}} (x - y)

und

y ‘ = \frac{1}{\sqrt{2}} (x + y)

erhalten?
Wenn sie um -45 Grad gedreht hätte, käme doch

x ‘ = \frac{1}{\sqrt{2}} (x - y)

und

y ‘ = \frac{1}{\sqrt{2}} (y - x)

raus.

ermanus aktiv_icon

16:56 Uhr, 23.10.2019

Nach ihrer Zeichung dreht sie den Punkt

(1, 1)

in den Punkt

(\sqrt{2}, 0)

.
Ledum - nicht Respon - hat am Anfang um

4 5^{o}

gedreht. Daher kam ja auch

- 2

heraus.

Bruno Math

18:07 Uhr, 23.10.2019

Aber wieso funktioniert das nicht mit -45 Grad? Da kommt ja quasi

x^{2} - y^{2} = - 2

raus und wenn ich das in die normale Hyperbelschreibweise umändern würde, wäre

a^{2} = b^{2} = - 2

ermanus aktiv_icon

18:11 Uhr, 23.10.2019

Weil dann

x

und

y

vertauscht werden. Das kannst du doch an
Respons Graphik gut erkennen.

Bruno Math

19:01 Uhr, 23.10.2019

Aber wenn ich die Funktion dann um 45 Grad drehe, kommen als Brennpunkte

(2, 0)

und

(- 2, 0)

raus. Dann muss ich die doch um -45 Grad „zurückdrehen“ und dann kommen als Punkte

(\sqrt{2}, - \sqrt{2})

und

(- \sqrt{2}, \sqrt{2})

raus, die aber die Bedingung an Brennpunkte nicht erfüllen...

ermanus aktiv_icon

19:18 Uhr, 23.10.2019

4 5^{o}

drehen, heißt im Gegenuhrzeigersinn (linksrum) drehen,

- 4 5^{o}

bedeutet im Uhrzeigersinn drehen (rechtsrum).
Ich habe den Eindruck, dass du das durcheinander bringst.

Bruno Math

19:30 Uhr, 23.10.2019

Aber Respon dreht die Ausgangsfunktion

f (x) = \frac{1}{x}

doch auch rechtsrum, also um -45 Grad. Aber egal wie ich anfange, ich muss den Punkt doch wieder „zurückdrehen“?

ledum aktiv_icon

19:57 Uhr, 23.10.2019

Hallo
x^2−y^2=−2 besser als

y^{2} - x^{2} = 2

schreiben also eine Hyperbel mit Symmetrie Achs

y

-Achse.
nicht

a^{2} = - 2

Gruß ledum

Respon

20:02 Uhr, 23.10.2019

Du willst also unbedingt drehen. Einfacher wäre es ohne Drehung - siehe weiter oben.

Möglicher Weg:
Die Drehmatrix sieht für -45° so aus

: (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ - \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix})

\Rightarrow

x^{'} = \frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{y}{\sqrt{2}}

y^{'} = - \frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{y}{\sqrt{2}}

\Rightarrow

x = \frac{x^{'}}{\sqrt{2}} - \frac{y^{'}}{\sqrt{2}}

y = \frac{x^{'}}{\sqrt{2}} + \frac{y^{'}}{\sqrt{2}}

Einsetzen in die ursprüngliche Funktion

y = \frac{1}{x}

\frac{x^{'}}{\sqrt{2}} + \frac{y^{'}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\frac{x^{'}}{\sqrt{2}} - \frac{y^{'}}{\sqrt{2}}} \Rightarrow \frac{{(x^{'})}^{2}}{2} - \frac{{(y^{'})}^{2}}{2} = 1 (

Was wir schon hatten. )
Diese Hyperbel hat den ( rechtsseitigen ) Brennpunkt

F_{1} (2 | 0)

Drehung mit +45° mit der Matrix

(\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \sqrt{2} \\ \sqrt{2} \end{matrix})

( Was wir weiter oben auch schon hatten. )

( Tippfehelr suchen, finden, ausbessern. )

Bruno Math

16:22 Uhr, 24.10.2019

Danke für deine ausführliche Antwort. Aber wie kommst du denn auf die eingekreiste Implikation?

Respon

18:28 Uhr, 24.10.2019

-"Aber wie kommst du denn auf die eingekreiste Implikation?"

x^{'} = \frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{y}{\sqrt{2}}

y^{'} = - \frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{y}{\sqrt{2}}

Beide Gleichungen addieren

x^{'} + y^{'} = \frac{2 \cdot y}{\sqrt{2}} \Rightarrow x^{'} + y^{'} = \sqrt{2} \cdot y \Rightarrow y = \frac{x^{'}}{\sqrt{2}} + \frac{y^{'}}{\sqrt{2}}

1. Gleichung minus 2. Gleichung

x^{'} - y^{'} = \frac{2 \cdot x}{\sqrt{2}} \Rightarrow x^{'} - y^{'} = \sqrt{2} \cdot x \Rightarrow x = \frac{x^{'}}{\sqrt{2}} - \frac{y^{'}}{\sqrt{2}}

Bruno Math

08:44 Uhr, 25.10.2019

Vielen Dank für eure Gedult und ausführlichen Erklärungen.

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