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Funktionen gleichsetzen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Funktion gleichsetzen

zuelly aktiv_icon

20:52 Uhr, 08.05.2014

Hallo :-)

Ich muss eine Aufgabe lösen und zwar den Flächeninhalt eines Logos mithilfe von 2 Funktionen errechnen. Ich wollte zunächst die Funktionen gleichstellen um die Schnittpunkte herauszufinden, damit ich später von diesen Grenzen integrieren kann..aber beim Gleichsetzten hatte ich leider Probleme mit der Wurzel

x

Also die Funktionen lauten:

f (x) =

√x

g (x) = \frac{1}{9} (x^{2} - 8 x + 16)

ich habe die Klammer aufgelöst

\to \frac{1}{9} x^{2} - \frac{8}{9} x - \frac{16}{9}

Zum Gleichsetzten:

muss das so aussehen ?

√x=

\frac{1}{9} x^{2} - \frac{8}{9} x - \frac{16}{9} | -

√x

0 = \frac{1}{9} x^{2} - \frac{8}{9} x - \frac{16}{9}

-√x

ich finde das sieht sehr falsch aus dann dachte ich daran es zu quadrieren:

√x=

\frac{1}{9} x^{2} - \frac{8}{9} x - \frac{16}{9} |^{2}

x = \frac{1}{9} x^{4} - \frac{8}{9} x^{2} -

und jetzt weiß ich nicht ob ich auch die Zahl ohne

x

quadreren soll

(\frac{16}{9})

und wenn ich dann später

x

subtrahiere kann ich die Substitution garnicht mehr verwenden

Ich komme nicht weiter ich hoffe jmd kann mir helfen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Stephan4

21:13 Uhr, 08.05.2014

Erst

+ 16,

dann

- \frac{16}{9}

?
Wenn du quadrierst, dann die ganze Seite als Ganzes, nicht jeden Teil für sich. Siehe "binomischen Formeln"

Ausserdem kann man die Klammer am Anfang in Faktoren zerlegen, mittels binomischen Formeln. Dann geht das quadrieren einfacher.

Kommst Du damit weiter?
Hast Du Deine Fehler gefunden?

Ma-Ma aktiv_icon

21:21 Uhr, 08.05.2014

Das ist sicher eine Aufgabe für den GTR. Per Hand lassen sich die Schnittstellen nur mühsam berechnen.

LG Ma-Ma

zuelly aktiv_icon

11:23 Uhr, 09.05.2014

das mit dem Minuszeichen war ein Flüchtigkeitsfehler, den ich leider immer wieder kopiert habe

also als binomische Formel wäre es ja

\frac{1}{9} {(x - 4)}^{2}

Wenn ich es später nochmal quadriere um das Wurzelzeichen weg zu kriegen

: \frac{1}{9} {(x - 4)}^{4}

zuelly aktiv_icon

11:28 Uhr, 09.05.2014

das mit dem Minuszeichen war ein Flüchtigkeitsfehler, den ich leider immer wieder kopiert habe

also als binomische Formel wäre es ja

\frac{1}{9} {(x - 4)}^{2}

Wenn ich es später nochmal quadriere um das Wurzelzeichen weg zu kriegen

: \frac{1}{9} {(x - 4)}^{4}

funke_61 aktiv_icon

11:30 Uhr, 09.05.2014

die

\frac{1}{9}

musst Du "mitquadieren"!

\sqrt{x} = \frac{1}{9} {(x - 4)}^{2}

x = \frac{1}{81} {(x - 4)}^{4}

(Vorsicht: beim Quadrieren kommen in der Regel Lösungen hinzu!
deshalb alle nach dem Quadrieren gefundenen Lösungen überprüfen!)
Ansonsten schließe ich mich Ma-Ma an.

zuelly aktiv_icon

11:42 Uhr, 09.05.2014

Aber GTR hatte ich vorher nie gehört und es eine Aufgabe vom Kursbuch für eine 11.Klasse

prodomo aktiv_icon

08:24 Uhr, 10.05.2014

Das mag durchaus sein, aber dann ist es gewiss nicht die einfachste - und es kommt natürlich sehr darauf an, welche Hilfsmittel du benutzen darfst. Die Auflösung zu

\frac{1}{9} \cdot {(x - 4)}^{2} = \sqrt{x}

durch Quadrieren wird noch etwas deutlicher, wenn du die

\frac{1}{81}

mit in die Potenz hereinziehst, weil

\frac{1}{81}

{(\frac{1}{3})}^{4}

ist. Dann wird daraus

{(\frac{x}{3} - \frac{4}{3})}^{4} = x,

und jetzt kann man gut erkennen, dass

x = 1

eine Lösung ist. Wenn du einen normalen Rechner mit Wertetabellenfunktion benutzen darfst (haben fast alle zugelassenen Rechner), kannst du auch zunächst eine Zeichnung anfertigen, das geht sogar mit einer Tabelle von Hand. Daraus lässt sich

x = 1

als mögliche Lösung erkennen, die dann noch rechnerisch bestätigt werden muss. Neben

x = 1

erkennt man auch, dass es noch einen zweiten Schnittpunkt bei ca.

x = 9

geben muss. Den kannst du jetzt mit der Polynomdivision, dann mit der Verfeinerung der Tabelle oder mit dem Newton-Verfahren bestimmen

(x \approx 9,226)

. Die Wurzelfunktion liegt im Bild oben, also gilt für die Fläche

A = \int_{1}^{9,226} (\sqrt{x} - \frac{1}{9} \cdot {(x - 4)}^{2}) \cdot d x = {[\frac{2}{3} \cdot x^{1,5} - \frac{1}{27} \cdot {(x - 4)}^{3}]}_{1}^{9,226} = 11,73

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